metoda_ter_mex1298_2 (Метода по термеху № 1298), страница 3

При этомнаправление угловой скорости соответствует направлению вращательногодвижения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловойскорости при ускоренном вращении и в противоположную - призамедленном. Необходимые данные приведены в таблице 3.№варианта12345678910111213141516171819202122232425№рисунка3.13.23.33.43.53.63.13.23.33.43.53.63.13.23.33.43.53.63.13.23.33.43.53.63.1ωOA(с-1)1122233344235123454567418εOA(с-2)9876355432461121792121812R1(м)0,50,60,70,80,60,70,90,50,60,70,70,70,80,50,50,60,80,80,60,70,70,80,80,50,8R2(м)0,10,10,20,20,10,20,30,50,40,40,20,20,50,10,20,30,30,30,40,50,10,20,30,10,3Таблица 3α(град.)030609060120120150180210901502400306018024090120150180210021017№варианта2627282930№рисунка3.23.33.43.53.6ωOA(с-1)91112εOA(с-2)11223R1(м)0,90,60,60,60,6R2(м)0,40,10,10,20,3α(град.)2400303060Пример выполнения задания К-3Дано: кинематическая схема планетарного механизма (рис.3.7);R1= 0,6 м ; R2= 0,4 м ; ωOA = 1 с-1 ; εOA = 1 с-2.

Определить скорости иускорения точек A и B, показанных на рисунке, если α = 60°.Решение: Рассмотрим последовательно движения каждого из двухподвижных звеньев планетарного механизма. Начинать при этомнеобходимо со звена, угловая скорость и угловое ускорение которогозаданы. Таким образом, начнем исследование кинематики механизма скривошипа.1. Кривошип OA совершает вращательное движение вокругнеподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскостирисунка. Определим скорость и ускорение точки А кривошипа, котораяодновременно принадлежит и подвижной шестерне II.Абсолютная величина скорости точки А (VA) определяется по формулеV A = ω OA ⋅ OA = ω OA ⋅ (R1 + R2 ) .(1)Для заданного положения механизмаV A = 1 ⋅ (0,6 + 0,4 ) = 1 м/с .(2)rВектор скорости V A направлен перпендикулярно ОА (радиусу вращения) внаправлении вращения, указанному на рис.3.5 дуговой стрелкой ωOA.Ускорение точки А представим разложенным на касательную инормальную составляющиеrrra A = a An + a τA .(3)Величины нормального ( a An ) и касательного ( a τA )определяются соответственно по формулам:22a nA = ω OA⋅ OA = ω OA⋅ (R1 + R2 ) ,aτA = ε OA ⋅ OA = ε OA ⋅ (R1 + R2 ) .Для заданного положения механизмаa nA = 12 (0,6 + 0,4 ) = 1 м/с2 .ускорений(4)(5)(6)a τA = 1 ⋅ (0,6 + 0,4 ) = 1 м/с2 .(7)rnПри этом нормальное ускорение точки А ( a A ) направлено по радиусуокружности, описываемой точкой к центру этой окружности - к точке О.18II R2εOAR1ωOAOIIR2AαIA αR1BεOAωOAIOРис.

3.1R1OωOAεOAРис. 3.2IIαR2OωOAεOAIAαR1BIR2AIIРис. 3.3Рис. 3.4ωOAR2R1OAIIBαεOABРис. 3.5R2IAR1II ωOA εOAαOBIРис. 3.619ε2ω2−VAAa−AnωOAIαCVεOAOyII−τaBAR2−VBna−BAa−AτBxR1Рис. 3.7rКасательное ускорение ( a τA ) направлено по касательной к этой окружности(перпендикулярно OA) в сторону, указанную дуговой стрелкой εOA. Этообъясняется тем, что при замедленном вращении (по условию задачикривошип ОА вращается замедленно) касательное ускорение направляетсяв сторону, противоположную направлению вращения, указанного дуговойстрелкой ωOA . В то же время при замедленном вращении угловое ускорениенаправляется также в сторону, противоположную направлению угловойскорости.Величина ускорения точки А в соответствии с соотношением (3) и сучетом (6) и (7) для заданного положения механизма определится поформуле:( ) ( )22a A = a An + a τA = 12 + 12 = 2 м/с2 .2.

Шестерня II совершает плоскопараллельное (плоское) движение.Учитывая, что шестерня II катится без скольжения по неподвижной шестернеI, мгновенный центр скоростей (точка СV) подвижной шестерни будетнаходиться в точке соприкосновения двух шестерен (рис.3.5).Для заданного положения планетарного механизма выше определенаскорость центра шестерни II (точки А). Таким образом, зная величинускорости одной из точек и положение мгновенного центра скоростейподвижной шестерни, можно определить величину ее мгновенной угловойскорости (ω2) по формуле20ω2 =VA,ACV(7)где расстояние ACV= R2 .В результате подстановки значения ACV= R2 и (1) в соотношение (7)получимω ⋅ (R1 + R2 )ω 2 = OA.(8)R2Для заданного положения механизма1 ⋅ (0,6 + 0,4 )ω2 == 2,5 c-1 .(9)0,4Направление мгновенного вращения шестерни II вокруг мгновенногоцентраскоростей (точки CV), определяемое направлением скорости точки Аr( V A ), условно показано на рис.3.5 дуговой стрелкой ω2 .Шестерня II в указанном положении движется замедленно.

Это следуетrrиз сопоставления направлений векторов V A и a τA (они направлены впротивоположные стороны). Следовательно угловое ускорение шестерни II(ε2) направлено в сторону, противоположную направлению угловой скоростиω2 , что условно показано на рис.3.5 дуговой стрелкой ε2 .Величину углового ускорения ε2 определим по формулеε 2 = ω& 2 .(10)Учитывая (8), на основании (10) получимω& ⋅ (R1 + R2 ) ε OA ⋅ (R1 + R2 )ε 2 = OA=.(11)R2R2где εOA - величина углового ускорения кривошипа ОА.

Длязаданного положения механизма1 ⋅ (0,6 + 0,4 )ε2 == 2,5 с-2 .(12)0,4Таким образом, для некоторого момента времени найдены положениемгновенного центра скоростей, угловая скорость, угловое ускорениеподвижной шестерни II, а также ускорение точки А.

Это позволяет найтискорость и ускорение любой точки шестерни.Прежде всего определим абсолютную величину скорости точки B (VB)по формулеVB = ω 2 ⋅ BCV ,(13)где BCV - расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей.Расстояние ВСV определим из треугольника ABCV . Этот треугольникравносторонний и, следовательно,BCV= R2= 0,4 м .(14)Для заданного положения механизма, учитывая (9) и (14), на основании(13) получимVB= 2,5 . 0,4 = 1 м/с .(15)21rВектор скорости V B направлен перпендикулярно прямой BCV.Ускорение точки B можно найти на основании теоремы об ускорениях точекплоской фигуры, приняв точку A за полюсrrrnrτ+ a BA,(16)a B = a A + a BArnrτгде a BA и a BA - соответственно нормальное и касательное ускоренияточки B при относительном вращательном движении шестерни II вокругполюса А.

Учитывая (3), формулу (16) представим в видеrrrrnrτ+ a BA.(17)a B = a An + a τA + a BAnВеличины нормального ( a BA) и касательного ( a τBA ) ускорений точки Bпри относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса Aопределяются по формуламna BA= ω 22 ⋅ BA = ω 22 ⋅ R2 ,(18)a τBA = ε 2 ⋅ BA = ε 2 ⋅ R2 .(19)Для заданного положения механизма на основании (18) и (19) с учетом(9) и (12) получимna BA= 2,5 2 ⋅ 0,4 = 2,5 м/с2 ,(20)a τBA = 2,5 ⋅ 0,4 = 1 м/с2 .(21)rnПри этом нормальное ускорение a BAнаправлено вдоль ВА к центруrотносительного вращения (к полюсу А), а касательное ускорение a τBAнаправлено перпендикулярно прямой АВ в сторону, указанную дуговойстрелкой ε2.Таким образом, найдены модули четырех векторов ускорений, стоящихв правой части векторного равенства (17), и показаны их направления в точкеВ на рис.

3.5. Найдем ускорение точки В как геометрическую сумму четырехпоказанных в точке ускорений аналитическим способом. Для этогоспроектируем векторы, стоящие в правой и левой части равенства (17), на двеоси координат x, y (рис.3.5)na Bx = a τA − a BA⋅ cos 30° − a τBA ⋅ cos 60° ,(22)na By = −a An + a BA⋅ cos 60° − a τBA ⋅ cos 30° .(23)Учитывая (6), (7) (20) и (21), на основании (22) и (23) найдем длязаданного положения механизма проекции ускорения точки В на оси x, y31a Bx = 1 − 2,5 ⋅− 1 ⋅ = −1,665 м/с2 ,2213a By = −1 + 2,5 ⋅ − 1 ⋅= −0,616 м/с2 .2 r 2Проекции вектора ускорения a B (лежащего в плоскости xy ) на две осикоординат полностью определяют его модуль и направление.

Итак, величина22a B = a Bx+ a By= 1,665 2 + 0,616 2 = 1,775 м/с2 .22Задание К-4В дифференциальном механизме (рис. 4.1-4.6) шестерня I радиуса R1 икривошип OA вращаются независимо друг от друга вокруг неподвижной осиO. Кривошип OA приводит в движение свободно насаженную на его конецшестерню II радиуса R2.

Для указанного на рисунке положения механизманайти скорости и ускорения точек A и B, если для момента времени,соответствующего указанному положению механизма, известны абсолютныевеличины угловой скорости и углового ускорения шестерни I (ω1 , ε1) икривошипа OA (ωOA , εOA). На рисунке условно показаны направленияугловых скоростей и угловых ускорений дуговыми стрелками вокруг осейвращения. При этом направления угловых скоростей соответствуютнаправлениям вращательных движений. Угловые ускорения направлены всторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположнуюсторону - при замедленном.

Необходимые данные приведены в таблице 4.№варианта12345678910111213141516171819202122232425№рисунка4.14.24.34.44.54.64.14.24.34.44.54.64.14.24.34.44.54.64.14.24.34.44.54.64.1ω1(c-1)0,10,20,30,40,30,50,50,60,70,80,40,60,91210,70,922210,821ε1(c-2)1212211212111212211112212ωOA(c-1)1122233344235123454567418εOA(c-2)9876355432461121792121812R1(м)0,50,60,70,80,60,70,90,50,60,70,70,70,80,50,50,60,80,80,60,70,70,80,80,50,8Таблица 4R2α(м) (град.)0,100,1300,2600,2900,1600,21200,31200,31500,41800,42100,2900,21500,52400,100,2300,3600,31800,32400,4900,51200,11500,21800,32100,100,321023№варианта2627282930№рисунка4.24.34.44.54.6ω1(c-1)20,10,220,3ε1(c-2)11211ωOA(c-1)91112εOA(c-2)11222R1(м)0,90,60,60,50,7R2(м)0,40,10,10,20,3α(град.)2400303045Пример выполнения задания К-4Дано: кинематическая схема дифференциального механизма (рис.4.5);R1= 0,2 м ; R2= 0.1 м ; ωOA = 2 с-1 ; εOA = 2 с-2; ω1= 1 с-1 ; ε1= 1 с-2.Определить скорости и ускорения точек A и B, показанных на рисунке, еслиα= 90° .Решение.

Рассмотрим последовательно движение каждого из трехзвеньев дифференциального механизма, начиная с одного из ведущихзвеньев, то есть, начиная со звена, угловая скорость и угловое ускорениекоторого заданы.1. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокругнеподвижной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскостирисунка. Определим скорость и ускорение точки A кривошипа,принадлежащей одновременно шестерне II. Величину скорости точки A (VA)определим по формулеV A = ω OA ⋅ OA = ω OA ⋅ (R1 + R2 ) .(1)Для заданного положения механизмаV A = 2 ⋅ (0,1 + 0,2 ) = 0,6 м/с .(2)rВектор скорости точки А ( V A ) направлен перпендикулярно радиусувращения (ОА) в направлении вращения кривошипа, указанному на рисунке4.5 дуговой стрелкой ωOA.Ускорение точки A представим в виде геометрической суммынормального и касательного ускоренийrrra A = a An + a τA .(3)Величины нормального ( a An ) и касательного ( a τA ) ускорений определимсоответственно по формулам:22a nA = ω OA⋅ OA = ω OA⋅ (R1 + R2 ) ,(4)aτA = ε OA ⋅ OA = ε OA ⋅ (R1 + R2 ) .Для заданного положения механизмаa nA = 2 2 (0,2 + 0,1) = 1,2 м/с2 .a τA = 2 ⋅ (0,2 + 0,1) = 0,6 м/с2 .(5)(6)(7)24R1εOAωOAOIIω1IωOAIIOAαε1R2IR1ω1ε1BAαεOAR2BРис.

4.2Рис. 4.1IIR1Oω1ωOAIIαεOAR2AR1Oω1ωOAεOABε1IIR2AαBε1Рис. 4.4Рис. 4.3Iω1R1IεOAωOAOIIR1ω1Oαε1R2BРис. 4.5ωOAAεOAIIαBε1Рис. 4.6R2A25ω2− IIVAε2a−Aτ−aAn−VKIεOAωOAαy−VBA−τaBAna−BABKCVR2xOε1R1ω1Рис. 4.7rПри этом нормальное ускорение точки А ( a An ) направлено по радиусуокружности, описываемой точкой А, к центру этой окружности - к точке О, аrкасательное ускорение ( a τA ) - по касательной к этой окружности,перпендикулярно ОА, в сторону, указанную дуговой стрелкой εOA.Величина ускорения точки A в соответствии с (3) и с учетом (6) и (7)будет равна( ) ( )22a A = a An + a τA = 1,2 2 + 0,6 2 = 1,8 м/с2 .2..