metoda_ter_mex1298_2 (Метода по термеху № 1298), страница 2

Закон переносного вращательного движения задан уравнениемϕ = t3- 2t2 .(1)Определим угловую скорость и угловое ускорение переносноговращения как алгебраические величины:ω e = ϕ& = 3t 2 − 4t;ε e = ω& e = 6t − 4.В момент времени t1= 1 сек.ωe=-1 c-1;εe= 2 c-2.(2)Знак угловой скорости определяет направление вращения тела вокругнеподвижной оси.

В рассматриваемом случае ωe<О. Это означает, чтовращение в момент времени t1= 1 сек. происходит в направлении убыванияугла ϕ (то есть в отрицательном направлении отсчета ϕ ). Путемсопоставления знаков угловой скорости и углового ускорения можноустановить характер вращательного движения, то есть является оноускоренным или замедленным. В рассматриваемом случае, как следует из (2),знаки угловой скорости и углового ускорения разные (ωe<0 , εe>0).

Это10aDBMa+- Oo30AO1RϕMD+ OϕРис. 2.1Рис. 2.2MMRaϕO1R+-O+ O-O1DDϕРис. 2.3Рис. 2.4aBAaaaM-a30DAO1oO+MDϕBϕРис. 2.5a+- OРис. 2.611z, z1_Vr_τ_O2 aenM1_ak_τae_n_VeαR_arτ_arnO1y_ωex-O+MϕωeεeO3y1x1Рис. 2.7показывает, что в момент времени t1=1 сек. абсолютная величина угловойскорости убывает, то есть вращение диска является замедленным. Угловая12скорость и угловое ускорение на рисунке 2.5 условно показаны дуговымистрелками вокруг оси вращения.2. Относительное движение точки M задано естественным способом,так как известны: траектория относительного движения (окружность радиусаR=0,5 м с центром в точке О1), начало и положительное направление отсчетадуговых координат S, а также закон движения точки по траектории,определяемый уравнениемπRS=7t − 2t 2м .(3)6Сначала установим положение точки M на дуге окружности в моментвремени t1=1 сек.

Подставляя в уравнение (3) t1=1 сек., получим5πRS1 =(м)(4)6Центральный угол, соответствующий дуге окружности (4),определится по формулеS5π∠OO1 M 1 = 1 =рад.R6Таким образом, как следует из рисунка 2.5, угол5π πα =π −=рад.66rrВ положении точки M1, покажем орты двух естественных осей τ и nr(орт τ направляется по касательной к окружности радиуса R в сторонуrвозрастания дуговых координат S, а орт главной нормали n - к центруокружности O1).3. Найдем абсолютную скоростьrrточкиr М по формуле:Va = Ve + Vr,(5)rrгде Ve и Vr соответственно переносная и относительная скороститочки.Для определения переносной скорости точки в момент времени t1=1сек. нужно мысленно остановить относительное движение точки вположении M1, и определить ее скорость как точки, жестко связанной сподвижной системой координат, то есть с диском.

Диск, как было указановыше, совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси O3z1. Всилу этого величина переносной скорости (Ve ) определится по формулеVe = ω e h(6)где h - расстояние от точки M1 до оси вращения. Из прямоугольноготреугольника O1M1O2 (рис.2.5)πh = M 1O2 = R ⋅ sin α = 0,5 ⋅ sin = 0,25 м.(7)6Таким образом, на основании (6) с учетом (2) и (7) величинапереносной скорости точки М в момент t1=1 сек. будетVe=0,25 м/с.(8)()13rВектор Ve направлен перпендикулярно плоскости диска (значитпараллельно оси O1x ) в направлении вращения, указанному дуговойстрелкой ωe.rДля определения относительной скорости точки M1 ( Vr ) нужномысленно остановить переносное движение (вращательное движение диска)и найти скорость точки rпри ее движении по окружности радиуса R по законуr(3).

Проекция вектора Vr на направление орта τ определяется по формуле:πRVrτ = S& =(7 − 4t ) .(9)6В момент времени t1=1 секундаπR π=Vrτ =м/с.(10)24rПоложительный знак проекции Vrτ указывает, что вектор Vr направленrв сторону τ . В общем случае величина относительной скорости (Vr)определяется по формулеπVr = Vrτ = ≈ 0,785м/с.(11)4rrrТак как векторы Ve и Vr взаимно перпендикулярны (вектор Vrrрасположен в координатной плоскости O1yz, а вектор Ve параллелен осиO1x), величина абсолютной скорости (Va) может быть определена наосновании теоремы Пифагора.

В момент времени t1=1 сек.Va = Ve2 + Vr2 = 0,82 м/с.(12)4. Определим абсолютное ускорение точки M.В рассматриваемом случае переносное движение не являетсяпоступательным. В силу этого найдем абсолютное ускорение точки наосновании теоремы Кориолиса по формулеrr rrаa = ae + ar + ak ,(13)rrrгде a e , a r , a k - соответственно переносное, относительное икориолисово ускорения точки.rПри определении абсолютного ускорения целесообразно разложить a erи a r на нормальную и касательную составляющиеrrrrrra e = aen + a eτ,a r = a rn + a rτ.При этом соотношение (13) примет видrrrrrra a = aen + a eτ + a rn + a rτ + a k(14)При определении переносного ускорения точки в момент времени t1=1сек.

аналогично, как и при определении переносной скорости, мысленноостанавливаем относительное движение и определяем ускорение точки M1как точки, неизменно связанной с диском(с подвижной системойкоординат). При вращательном движении диска вокруг неподвижной оси14O3z1 величины нормального и касательного ускорения точки М1 дискаопределяются соответственно по формуламraen = ω e2 h = 0,25 м/с2 ,(15)raeτ = ε e h = 0,5 м/с2 .(16)rВектор a en направлен по радиусу окружности, описываемой точкой М1rдиска, к центру этой окружности - точке O2 ( a en параллелен оси O1y).rУскорение a eτ направлено по касательной к этой окружности, то естьrrперпендикулярно a en ( a eτ параллелен оси O1x).

Так как диск в указанныйrrмомент времени t1=1 сек. вращается замедленно, то векторы Ve и a eτrнаправлены в противоположные стороны, то есть направление вектора a eτопределяется направлением углового ускорения εe , которое показано на рис.2.7 дуговой стрелкой.Относительное движение, как было подчеркнуто выше, заданоестественным способом. При этом проекции относительного ускоренияточки на естественные оси, положительные направления которыхr rопределяются ортами τ и n , можно найти по формулам2πa rτ = S&& = − πR = − = −1,047м/с2 ,(17)33Vr2 Vr2a rn === 1,232м/с2 .(18)ρRrОтрицательный знак проекции arτ указывает, что вектор a rτ направленrв противоположную сторону орта τ .

Нормальное ускорение всегдаrнаправлено в сторону орта n , то есть по главной нормали к центру кривизныrтраектории точки. Таким образом, в рассматриваемом случае вектор a rnнаправлен к центру O1, окружности радиуса R, являющейся траекториейотносительного движения точки. Величины относительного касательногоrr( a rτ ) и относительного нормального ( a rn ) ускорений согласно (17) и (18)будут соответственно равныra rτ = a rτ = 1,047 м/с2 ,ra rn = a rn = 1,232 м/с2 .(19)(20)rУскорение Кориолиса ( ak ) определяется по формулеrrra k = 2ω e × Vr .(21)rВектор угловой скорости переносного вращения ω e направлен по осивращения в ту сторону, откуда вращение наблюдается против хода часовойстрелки (рис.2.5). В момент времени t1=1 сек., учитывая (2),rω e = 1 сек-1.(22)15rМодуль ускорения Кориолиса ( a k ) на основании свойств векторногопроизведения двух векторов, очевидно, равенrrrr ra k = 2 ⋅ ω e ⋅ Vr ⋅ sin ω e^Vr .(23)()Учитывая (22), (11), на основании (23) получим:ra k = 2 ⋅ 1 ⋅ 0,785 ⋅ sin 120° = 1,36 м/с2.(24)Направление ускорения Кориолиса определяетсянаправлениемrrвекторного произведения векторов ω e и Vr , то есть направленоrrrперпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ω e и Vr (вектор ω eпри этом нужно rперевести в точку M1) в сторону, откуда кратчайшееrrсовмещение ω e с Vr видно против хода часовой стрелки.

Так как векторы ω errи Vr расположены в координатной плоскости O1yz, то a k направленопараллельно оси O1x в сторону, противоположную оси O1x.Направление ускорения Кориолиса можно найти другим способом,применив правило Н.Е.Жуковского. Суть правила Н.Е.Жуковскогосостоит вrследующем. Прежде всего нужно найти проекцию вектора Vr на плоскость,перпендикулярную оси вращения (на плоскость O1xy).

В данном случае этаrпроекция направлена также, как вектор a en . Затем необходимо повернутьнайденную проекцию в направлении вращения, указанному дуговойстрелкой ωe, на угол π/2. Полученное в результате поворота направлениеrпроекции относительной скорости будет соответствовать направлению a k .Для определения абсолютного ускорения найдем его проекции на осикоординат x, y, z. Согласно (14) проекция абсолютного ускорения на любуюr r r r rось равна алгебраической сумме проекций ускорений a en , a eτ , a rn , a rτ , a k нату же ось. Проекции этих ускорений на оси координат легко найти изчертежа. Таким образом, для момента времени t1=1 сек.rra ax = − aeτ − a k = −0,5 − 1,36 = −1,86 М/С2 ,rrr13a ay = − aen − a rn ⋅ cos 60° + a rτ ⋅ cos 30° = −0,25 − 1,232 ⋅ + 1,047 ⋅= 0,04 М/С2,22rr31a az = a rn ⋅ cos 30° − a rτ ⋅ cos 60° = −1,232 ⋅− 1,047 ⋅ = −1,59 м/с2 .22По найденным трем проекциям абсолютного ускорения нетрудно найти егомодуль и направление.

Модуль абсолютного ускорения222a a = a ax+ a ay+ a az= 1,86 2 + 0,04 2 + 1,59 2 = 2,45м/с2 .16ЗАДАНИЕ К-3В планетарном механизме (рис.3.1-3.6) шестерня I радиуса R1неподвижна, а кривошип OA, вращаясь вокруг неподвижной оси,проходящей через точку O перпендикулярно плоскости рисунка, приводит вдвижение свободно насаженную на его конец A шестерню II радиуса R2 . Дляуказанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускоренияточек A и B, если для соответствующего момента времени известныабсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа(ωOA, εOA). На рисунках условно показаны направления угловой скорости иуглового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения.