Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (В.А. Бесекерский, Е.П. Попов - Теория систем автоматического управления), страница 103

При этом точно так же, как восновном способе, здесь на основании уравнений (18.48) и (18.49) можно строить графикизависимостей ап и wп от одного параметра системы или на плоскости двух параметров сцелью их выбора.Если гармонически линеаризованное уравнение (18.33) нелинейной системы имеетчетвертую степень относительно р:(18.50)то условие наличия пары чисто мнимых корней согласно § 6.2 будет(18.51)Кроме того, записывая уравнение (18.50) в видераскрывая здесь скобки и приравнивая полученные коэффициенты соответствующимкоэффициентам (18.50), находим(18.52)С помощью двух уравнений (18.51) и (18.52) решаются все вышеуказанные задачи длянелинейной системы четвертого порядка.Заметим, что для систем с нелинейностью вида х2 = F(х1) без гистерезисной петли частотасо не входит в коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому из уравнения(18.48) или (18.51) сразу определяется амплитуда ап, а затем из (18.49) или (18.52) —частота wп.

Для систем с более сложными нелинейностями получаются два уравнения сдвумя неизвестными.Учет временного запаздывания в нелинейной системе. В нелинейной системе, как и влинейной, может иметься постоянное по времени запаздывание τ .При этом уравнение линейной части (18.31) получит видВыражение (18.34) при этом будет(18.53)К уравнению (18.53) можно применить основной способ отыскания периодическихрешений или другой из изложенных выше.Устойчивость периодических решений.

Выше уже указывалось, что не всякоепериодическое решение уравнений собственного движения нелинейной системы будетсоответствовать автоколебаниям, а только устойчивое. В конкретных задачах часто изфизических соображений бывает сразу видно, возникают автоколебания или нет. Поэтомуиногда нет нужды в математическом исследовании устойчивости найденногопериодического решения. Однако в ряде случаев все же приходится этот вопросисследовать.Задача исследования устойчивости периодического решения сводится, вообще говоря, канализу линейного уравнения с периодическими переменными коэффициентами. А. М.Ляпуновым [82] разработаны соответствующие методы. Но их использование во многихслучаях представляет пока еще большие трудности.

Поэтому здесь строгое исследованиеустойчивости периодических решений излагаться не будет.Опишем три приближенных способа исследования устойчивости периодическогорешения: 1) осреднение коэффициентов, 2) использование кривой Михайлова, 3)аналитический критерий.Осреднение коэффициентов при исследовании устойчивости периодическогорешения.

Запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы в малыхотклонениях ∆x : от исследуемого периодического решения: х =ап sinwп. Для линейнойчасти системы на основании уравнения (18.31) получим(18.54)Уравнение нелинейного звена, например х2 =F(x1, px1), примет при этом для малыхотклонений вид(аналогично и для других типов нелинейных уравнений), где индекс «п» означает, что вчастные производные нужно подставить х2 = ап sinwпt и рх1= апwпcoswпt.

Эти частныепроизводные и являются периодическими переменными коэффициентами. В задачахтеории регулирования они могут меняться как плавно, так и скачками (см. примеры в §18.3). Осредним полученные периодические коэффициенты, после чего вместо (18.55)будем иметь линейное уравнение с постоянными коэффициентами(18.56)где(18.57)Характеристическое уравнение системы, определяющее устойчивостьпериодического решения, согласно (18.54) и (18.56) будет(18.58)Если оно удовлетворяет линейному критерию устойчивости, то исследуемоепериодическое решение устойчиво.В случаях, когда нелинейное звено описывается уравнением вида х2= F(х1) (сгистерезисной петлей или без нее), осредненное характеристическое уравнение дляисследования периодического решения будет(18.59)где(18.60)Использование кривой Михайлова для исследования устойчивости периодическогорешения.

Каждому конкретному значению а будет соответствовать определенная криваяМихайлова (18.45). При а = ап она пройдет через начало координат (рис. 18.9).Для исследования устойчивости периодического решения с амплитудой а = ап дадиммалое приращение амплитуде ∆ а. Тогда при а =ап + ∆ а кривая Михайлова займет либоположение 1, либо положение 2 (рис.

18.9). При этом, как известно из линейной теории (§6.3), кривая 1, охватывающая начало координат, соответствует затухающим колебаниямпереходного процесса, а кривая 2 — расходящимся колебаниям.Поэтому, если при ∆ а > 0 кривая Михайлова займет положение 1, а при ∆ а < 0 положение 2, то переходный процесс в системе будет таким, что колебания с амплитудой,большей чем ап, затухают, а колебания с амплитудой, меньшей чем ап, расходятся.Следовательно, переходный процесс с обеих сторонсходится к исследуемому периодическому процессу с амплитудой ап. Это означаетустойчивость последнего, т.

е. в системе имеют место автоколебания. Если же при ∆ а >0получится кривая 2, а при ∆ а < 0 — кривая 7, то переходный процесс в обе сторонырасходится, т. е. исследуемое периодическое решение неустойчиво (система устойчива вмалом и неустойчива в большом, как на рис. 16.3, б).Аналитический критерий устойчивости периодического решения. Развиваяпредыдущий способ, видим, что нет необходимости строить сами кривые Михайлова. Всеисследование можно произвести аналитически. В самом деле, для того чтобы узнать,примет ли кривая Михайлова при ∆ а > 0 положение 1 (рис. 18.9), достаточно определить,куда будет перемещаться с увеличением а та точка кривой Михайлова (w = wп) котораяпри а = ап находится в начале координат.

Если она будет перемещаться по направлениямОА1, ОА2 или ОА3 (рис. 18.10, а), то периодический процесс с амплитудой: а = апустойчив, а если по направлениям ОА4 или ОА5 — неустойчив.Это направление перемещения точки w= wп из начала координат с увеличением аопределяется, очевидно, следующими проекциями на координатные оси X и У:(18.61)где X и У обозначают вещественную и мнимую части аналитического выражения кривойМихайлова, а индекс «п» означает подстановку а = ап, w = wп.

Как видно из рис. 18.10, а,для устойчивости исследуемого периодического решения вектор, определяемыйпроекциями (18.61), должен лежать с определенной стороны от касательной МN к кривойМихайлова, направление которой в свою очередь определяется проекциями(18.62)Из расположения вектора с проекциями (18.61) по отношению к вектору с проекциями(18.62) и видна непосредственно устойчивость или неустойчивость данногопериодического решения с амплитудой ап.На рис. 18.10, б и в показаны те же векторы, что и на рис.

18.10, а, но для других видовкривых Михайлова. Видно, что во всех случаях для устойчивости исследуемогопериодического решения требуется, чтобы вектор с проекциями (18.61) лежал справа откасательной МN, если смотреть вдоль кривой Михайлова в сторону возрастания со,причем направление касательной MN определяется вектором с проекциями (18.62).

Этогеометрическое условие устойчивости периодического решения можно записать вследующем аналитическом виде:(18.63)или иначе:Здесь важно, что частные производные берутся не по частоте со, а по текущему параметрукривой Михайлова w, т. е. имеются в виду выражения X и У не в форме (18.35), а каквещественная и мнимая части выражения (18.45) в функции от со при w = const (если онавходит в коэффициенты, стоящие в квадратных скобках этого выражения).Выполнение условия (18.63) устойчивости периодического решения во всякой конкретнойзадаче можно проверить аналитически, без построения кривых.

Этого достаточно длясистем третьего и четвертого порядков, если все коэффициенты гармоническилинеаризованного характеристического уравнения положительны. Для систем же пятого иболее высокого порядков требуется дополнительно проверить общий ход кривойМихайлова, чтобы убедиться, что имеет место случай, например, рис. 18.11, а, но не рис.18.11, б. Заметим, что вместо построения кривой Михайлова можно и тут воспользоватьсяаналитическим дополнительным условием, потребовав выполнения критерия Гурвица длямногочлена(18.64)где D (р) — левая часть гармонически линеаризованного характеристического уравнения(18.33) при а = ап и w = wп. При этом если D(р) имеет пятую или шестую степень,достаточно убедиться в положительности коэффициентов D(р).Устойчивость равновесного состояния системы.

Приведенные в начале данногопараграфа гармонически линеаризованные уравнения нелинейной системы годятся толькодля колебательных процессов, определяемых периодическими решениями, и дляколебательных переходных процессов в непосредственной близости от указанныхпериодических решений. Поэтому, строго говоря, с помощью этих приближенныхуравнений можно анализировать только сами периодические решения и их устойчивостьили неустойчивость при малых отклонениях от исследуемого колебательного режима, чтовыше и делалось.Практически же из анализа полученных приближенных уравнений нелинейной системычасто можно делать значительно более широкие выводы.

В частности, можно оцениватьустойчивость системы в тех областях ее параметров, в которых периодические решенияотсутствуют вовсе.Пусть, например, определено, что периодическое решение, амплитуда которого показанана рис. 18.5, а, устойчиво (оно соответствует автоколебаниям). Условимся фактустойчивости периодического решения обозначать на графике вертикальными стрелками,сходящимися к<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.