Электричество и магнетизм

àçäåë IÈÇÌÅÅÍÈÅ ÝËÅÊÒÈ×ÅÑÊÈÕÈ ÌÀÍÈÒÍÛÕ ÏÎËÅÉÝËÅÊÒÈ×ÅÑÒÂÎÈÌÀÍÅÒÈÇÌ1. Î ñèñòåìàõ åäèíèö â êëàññè÷åñêîéýëåêòðîäèíàìèêåÏðè èçìåðåíèè èçè÷åñêîé âåëè÷èíû x å¼ ÷èñëîâîå çíà÷åíèå {x}ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ñêîëüêî ðàç â x ñîäåðæèòñÿ íåêîòîðàÿ åäèíèöàèçìåðåíèÿ [x]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî{x} =x.[x](1.1)Åñëè, íàïðèìåð, ñèëà òîêà I = 10 À, òî {I} = 10, [I] = 1 À. Ñîîòíîøåíèå(1.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåx = {x}[x].(1.2)Ïðè óìåíüøåíèè åäèíèöû èçìåðåíèÿ â α ðàç[x] → [X] =1[x],α{x} → {X} = α{x}.Ñàìà èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ïðè ýòîì íå èçìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêóx = {x}[x] = {X}[X].(1.3)Äëÿ êàæäîé èçè÷åñêîé âåëè÷èíû ìîæíî â ïðèíöèïå óñòàíîâèòüñâîþ åäèíèöó, íèêàê íå ñâÿçàííóþ ñ åäèíèöàìè äðóãèõ âåëè÷èí. Ýòîïðèâîäèò, îäíàêî, ê òîìó, ÷òî â óðàâíåíèÿõ, âûðàæàþùèõ èçè÷åñêèåçàêîíû, ïîÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ÷èñëåííûõ êîýèöèåíòîâ.

Óðàâíåíèÿñòàíîâÿòñÿ íåîáîçðèìûìè, îðìóëû ñëèøêîì ñëîæíûìè. ×òîáû èçáåæàòü ýòîãî, â èçèêå óæå äàâíî îòêàçàëèñü îò íåçàâèñèìîãî âûáîðàåäèíèö âñåõ èçè÷åñêèõ âåëè÷èí è ñòàëè ïðèìåíÿòü ñèñòåìû åäèíèö,4Èçìåðåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåéïîñòðîåííûå ïî îïðåäåë¼ííîìó ïðèíöèïó, êîòîðûé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Íåêîòîðûå âåëè÷èíû ïðèíèìàþòñÿ çà áàçèñíûå, ò.å. òàêèå, äëÿêîòîðûõ åäèíèöû óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðîèçâîëüíî. Òàê, íàïðèìåð, â ìåõàíèêå ïðèìåíÿåòñÿ ñèñòåìà (L, M , T ), â êîòîðîé çà áàçèñíûå âåëè÷èíûïðèíèìàþòñÿ äëèíà L, ìàññà M è âðåìÿ T . Âûáîð áàçèñíûõ âåëè÷èí èèõ ÷èñëî ïðîèçâîëüíû. Ýòî âîïðîñ ñîãëàøåíèÿ.  ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìå ÑÈ â êà÷åñòâå áàçèñíûõ âåëè÷èí ïðèíÿòû äåâÿòü âåëè÷èí: äëèíà,ìàññà, âðåìÿ, ñèëà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, òåìïåðàòóðà, ñèëà ñâåòà, êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, ïëîñêèé óãîë, òåëåñíûé óãîë.

Âåëè÷èíû, íå ÿâëÿþùèåñÿ áàçèñíûìè, íàçûâàþòñÿ ïðîèçâîäíûìè. Äëÿ ïðîèçâîäíûõ âåëè÷èíåäèíèöû óñòàíàâëèâàþòñÿ íà îñíîâå îðìóë, ñëóæàùèõ èõ îïðåäåëåíèåì.Çäåñü âîçíèêàåò ïîíÿòèå ðàçìåðíîñòè. Åñëè, íàïðèìåð, ÷èñëî áàçèñíûõ âåëè÷èí ðàâíî òð¼ì è çà íèõ ïðèíÿòû äëèíà L, ìàññà M è âðåìÿT , òî äëÿ ðàçìåðíîñòè ïðîèçâîäíîé âåëè÷èíû y èìååìpqrdim y = L · M · T ,(1.4)ãäå p, q , r ïîñòîÿííûå ÷èñëà. Ôîðìóëà (1.4) ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè åäèíèöû äëèíû, ìàññû è âðåìåíè óìåíüøèòü â α, β è γ ðàç, òî åäèíèöàïðîèçâîäíîé âåëè÷èíû y óìåíüøèòñÿ â αp β q γ r ðàç, è, ñëåäîâàòåëüíî, å¼÷èñëîâîå çíà÷åíèå óâåëè÷èòñÿ â òàêîå æå ÷èñëî ðàç.

 ýòîì è ñîñòîèòñìûñë ïîíÿòèÿ ðàçìåðíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû zdim z = 1.Íà ïðàêòèêå âåëè÷èíû p, q , r îêàçûâàþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè.Ýòî îáóñëîâëåíî ñîîòâåòñòâóþùèìè îïðåäåëåíèÿìè èçè÷åñêèõ âåëè÷èí.×àñòî ðàçìåðíîñòü èçè÷åñêîé âåëè÷èíû îòîæäåñòâëÿþò ñ å¼ åäèíèöåé â ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìå åäèíèö. Òàê, íàïðèìåð, ãîâîðÿò, ÷òîñêîðîñòü èìååò ðàçìåðíîñòü ì/ñ, à äàâëåíèå Í/ì2 .  ýòîì íåò áîëüøîéáåäû, õîòÿ, ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòî íåâåðíî: ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè LT −1 ,à äàâëåíèÿ M L−1 T −2 .àññìîòðèì âîïðîñ î ñèñòåìàõ åäèíèö â ýëåêòðîäèíàìèêå. Çàêîíûìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè îïðåäåëÿþòñÿ å¼ óíäàìåíòàëüíûìè àêñèîìàìè óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîíöåíòðèðîâàííûì îáîáùåíèåì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ àêòîâ èç îáëàñòèýëåêòðè÷åñòâà è ìàãíåòèçìà.

Çàïèøåì óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ âàêóóìà â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå åäèíèö:àçäåë IISI5ZEdS = α ρ dV,div E = αρ,(1.5)div B = 0,(1.6)VBdS = 0,SIEdl = −βLILZ∂BdS,∂trot E = −β∂B,∂t(1.7)SZZSSBdl = γ j dS + δ∂EdS,∂trot B = γj +δF = ξqE + ηqv × B,dF = ξdqE + ηIdl × B.∂E;∂t(1.8)(1.9)(1.10)Çäåñü ïðèíÿòû ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ.

Óðàâíåíèå (1.9) èëè (1.10)ñëóæèò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèëîâûõ âåêòîðîâ E è B . Ìíîæåñòâî êîýèöèåíòîâ (α, β , γ , δ , ξ , η ) ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî äëÿ êàæäîéèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, âõîäÿùåé â ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.5) (1.10),ïðèíÿòà ñîáñòâåííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ, íåçàâèñèìàÿ îò åäèíèö äðóãèõ âåëè÷èí.Íàïîìíèì èçè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Óðàâíåíèå(1.5) ïîêàçûâàåò, ÷òî èñòî÷íèêîì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Èç íåãî ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîí Êóëîíà:F 12 = αq1 q23 r 12 .4πr12(1.11)Óðàâíåíèå (1.6) ãîâîðèò î òîì, ÷òî â ïðèðîäå îòñóòñòâóþò, íàñêîëüêî èçâåñòíî â íàñòîÿùåå âðåìÿ, ìàãíèòíûå çàðÿäû.

Óðàâíåíèå (1.7) ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ îðìóëèðîâêà çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Îíîñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî èçìåíÿþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåòâèõðåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Óðàâíåíèå (1.8) ïîêàçûâàåò, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå B âñåãäà âèõðåâîå (ñèëîâûå ëèíèè çàìêíóòû), è åãî èñòî÷íèêîì ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî äâèæóùèåñÿ çàðÿäû, íî è ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Äëÿ ïîñòîÿííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ïîìîùüþ (1.8) ìîæíîïîëó÷èòü çàêîí ÁèîÑàâàðà (ñì. Ïðèëîæåíèå):dB =γ I dl × r.4π r3(1.12)6Èçìåðåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåéÑ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿIàçäåë IIZB · dl = γ j · S7BdS = 0,ìîæíî íàéòè îòíåñ¼ííóþ ê åäèíèöå äëèíû ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäóäâóìÿ òîêàìè I1 è I2 , òåêóùèìè ïî äâóì áåñêîíå÷íî äëèííûì ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäàì:I1 I2dF= γη.(1.13)dl2πràññìîòðèì ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â îáëàñòè, ãäå íåò èñòî÷íèêîâ,ò.å.

ρ = 0 è j = 0.  ñèëó (1.7) è (1.8) èìååìZI∂BB0dS,E0 l Edl = −β l2τ∂tgrad div E − ∇2 E = −βδò.å.LSSF0 F = ξq0 qE0 E + ηq0 qv0 B0 v × B.∂2E,∂t2ff0èëèf = f ′ ·f0 .l, j0 = ρ0 v0 .τÈç (1.17) (1.21) ñëåäóåò, ÷òîÇäåñü v0 =∂2E(1.14).∂t2Âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.14) îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèò√íûõ âîëí â âàêóóìå.√ Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ðàâíà 1/ βδ . Èçìåðåíèÿ äàþò 1/ βδ = c, ãäå c ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Òàêèìîáðàçîì, èç îïûòà ñëåäóåò, ÷òî βδ = 1/c2 , ãäå c óíèâåðñàëüíàÿ óíäàìåíòàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (1.5) (1.9) â áåçðàçìåðíîì âèäå. Äëÿ êàæäîéèçè÷åñêîé âåëè÷èíû f , âõîäÿùåé â ýòó ñèñòåìó, ââåä¼ì ñëåäóþùèåîáîçíà÷åíèÿ:f′ =(1.15)dim α = dimdim β = dimdimr = r · l,′t = t · τ.E0 l2ISEdS = αρ0 l3ZVρ dV,E0div E = αρ0 ρ,l(1.17)B0,j0 lρ0 v0 τρ0 lj0 τδ= dim= dim,= dimγE0E0E0dim δ = dimdim(1.16)Ïîäñòàâëÿÿ (1.15) è (1.16) â ñèñòåìó (1.5) (1.9) è îïóñêàÿ øòðèõè,íàõîäèìE0,ρ0 l1 E0,v0 B0dim γ = dimÄëÿ åäèíèö äëèíû l è âðåìåíè τ èìååì′(1.19)(1.20)B0δE0 ∂Erot B = γj0 j +,lτ ∂t∇2 E = βδ{f } ≡ f ′ , [f ] ≡ f0 , ò.å.E0βB0 ∂Brot E = −,lτ ∂tIZZE0 l2 ∂EB0 l Bdl = γj0 l2 j dS + δdS,τ∂t∂∂ Erot B = −βδ 2∂t∂tèëè(1.18)SL2rot rot E = −βdiv B = 0,S1 B0,v0 E0ξB0.= dim v0ηE0Îòñþäà ìîæíî âèäåòü, ÷òîdimαδ= 1,γdimdim δβ = dimξβ= 1,η1.v02(1.21)8Èçìåðåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåéàçäåë I9Ïîñëåäíåå ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òîÒàáëèöà 11δβ = 2 .cÍåêîòîðûå ñèñòåìû åäèíèö, èñïîëüçóåìûå ïðèèçó÷åíèè ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêèÏðè âûáîðå áàçèñíûõ åäèíèö åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òîαδ= 1,γξβ1= 1, δβ = 2 .ηcαβγδξηαδγξβηδβ(1.22)ÑÑÝ4π14πc21c211111c2 òàáëèöå 1 ïîêàçàíî, êàê â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ ïîëüçóþòñÿ ïðîèçâîëîì, êîòîðûé äàþò ñîîòíîøåíèÿ (1.22).

 íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðèíÿòîñ÷èòàòü, ÷òî c = 299 792 458 ì/ñ (òî÷íî). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî áàçèñíûååäèíèöû ¾ïðèâÿçàíû¿ ê ýòîé âåëè÷èíå. Ýòî, êîíå÷íî, ñîãëàøåíèå. Ìûïîëàãàåì â ëàáîðàòîðèè c ∼= 3·108 ì/ñ. îáùåé èçèêå â íàñòîÿùåå âðåìÿ èñïîëüçóþòñÿ â îñíîâíîì äâåñèñòåìû åäèíèö: ãàóññîâà ñèñòåìà ÑÑ (äàëåå ñèñòåìà ÑÑ) è ìåæäóíàðîäíàÿ ñèñòåìà ÑÈ (äàëåå ñèñòåìà ÑÈ). Ñèñòåìà ÑÑ, â êîòîðîéâ êà÷åñòâå áàçèñíûõ âåëè÷èí ïðèíÿòû äëèíà, ìàññà è âðåìÿ, ðàçðàáîòàíà íà îñíîâå çàêîíîâ ìåõàíèêè Íüþòîíà.

Ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûåâåëè÷èíû ââîäÿòñÿ â íåé êàê ïðîèçâîäíûå ìåõàíè÷åñêèõ. Ïîñòðîåííûåïî òàêîìó ïðèíöèïó ñèñòåìû åäèíèö íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíûìè.  ñèñòåìå ÑÑ ýëåêòðè÷åñêèå âåëè÷èíû èçìåðÿþòñÿ â åäèíèöàõ ÑÑÝ, àìàãíèòíûå â åäèíèöàõ ÑÑÌ. ñèñòåìå ÑÈ ê òð¼ì áàçèñíûì ìåõàíè÷åñêèì âåëè÷èíàì äëèíå,âðåìåíè è ìàññå â ýëåêòðîäèíàìèêå äîáàâëåíà íåçàâèñèìàÿ ÷èñòîýëåêòðè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ñîáñòâåííóþ ðàçìåðíîñòü.

 êà÷åñòâå òàêîâîé âûáðàíà ñèëà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, à å¼ åäèíèöåé âûáðàíàìïåð. Åäèíèöåé çàðÿäà ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ àìïåð-ñåêóíäà, íàçûâàåìàÿêóëîíîì.Ýòàëîí ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà óñòàíàâëèâàåòñÿ íà îñíîâå îðìóëû (1.13).  ñèñòåìå ÑÈ γ = ε01c2 , η = 1, ïîýòîìóÑÑÌ4πc214π1c211111c2ÑÑ4π1c4πc1c11c111c2ÑÈ1ε011ε0 c21c211111c2ÌÊÑ111c21c211111c21 I1 I2∆l.∆F =ε0 c2 2πrc = 299 792 458 ì/ñ (òî÷íî);ε0 = 8,854·10−12 Ô/ì; µ0 == 4π·10−7 í/ì.Ïîëàãàÿ â (1.23) I1 = I2 = 1 À, èìååì2·10−7 Í =ò.å.1 1Í,ε0 c2 2π1= 4π·10−7 åä. ÑÈε 0 c2èëè107≈ 8,85·10−12 åä. ÑÈ.4πc2 ñèñòåìå ÑÑ åäèíèö îðìóëà (1.13) èìååò âèäε0 =∆F =(1.23)Íà îñíîâàíèè ìåæäóíàðîäíîãî ñîãëàøåíèÿ ïðèíÿòî ïî îïðåäåëåíèþ,÷òî àìïåð ýòî åäèíèöà ñèëû òîêà, êîòîðûé, ïðîõîäÿ ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìîëèíåéíûì ïðîâîäíèêàì áåñêîíå÷íîé äëèíû è èñ÷åçàþùå ìàëîãî êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííûì íà ðàññòîÿíèè 1 ìäðóã îò äðóãà â âàêóóìå, âûçûâàë áû ìåæäó ïðîâîäíèêàìè ñèëó, ðàâíóþ 2·10−7 Í íà êàæäûé ìåòð äëèíû.

åàëèçîâàòü ýòó åäèíèöó ìîæíîíåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè, íàïðèìåð, èçìåðÿÿ ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõêàòóøåê ñ ïîñòîÿííûì òîêîì.1ε0 c24π I1 I2∆l.c2 2πr(1.24)Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèå ìåæäó åäèíèöàìè ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà â ñèñòåìå ÑÑ è ñèñòåìå ÑÈ.

Ïîëàãàÿ â (1.23) I1 = I2 = 1 À, r == ∆l = 1 ì, íàõîäèì∆F = 2·10−7 Í.(1.25)Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü äëÿ âû÷èñëåíèÿ òîé æå ñèëû îðìóëîé (1.24).Ïîëàãàÿ â ýòîé îðìóëå I1 = I2 = I , r = ∆l = 100 ñì, íàõîäèì∆F =4π I 22I 2 −52I 2äèí=10 Í.=c2 2πc2c2(1.26)10Èçìåðåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåéàçäåë I11Ïðèðàâíèâàÿ (1.25) è (1.26), èìååì2·10−7 =2I 2 −510 ,c2Òàáëèöà 2Ïåðåâîä ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé èçè÷åñêèõ âåëè÷èíò.å.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî10[I]ÑÈ = c[I]ÑÑ ,ãäå c = 3·10â âèäå10èç ñèñòåìû ÑÈ â ñèñòåìó ÑÑI = 3·109 åä. ÑÑ.(1.27)ñì/ñ, [I]ÑÈ = 1 À.

Ñîîòíîøåíèå (1.27) ìîæíî ïðåäñòàâèòü[I]ÑÈ = 3·109 [I]ÑÑèëèc = 10{I}ÑÑ ñì ,{I}ÑÈñ(1.28)÷òî ìîæåò áûòü ïðîâåðåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî (ñì. ðàáîòó  3.1.1). ñèëó (1.27) äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà èìååì9[q]ÑÈ = 3·10 [q]ÑÑ .Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèå ìåæäó åäèíèöàìè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ â ñèñòåìå ÑÑ è ñèñòåìå ÑÈ. Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîãî îðìóëîé äëÿ îòñ÷èòûâàåìîãî îò áåñêîíå÷íî óäàë¼ííîé òî÷êè ïîòåíöèàëà òî÷å÷íîãî çàðÿäà:q1 qϕ=ϕ=(ÑÑ),(ÑÈ).r4πε0 rÏóñòü q = 1 åä. ÑÑ, à r = 1 ñì, òîãäà ϕ = 1 åä.