МУ Механические колебания Гаврикова, Ворона

ruминистерство образования и науки российской федерацииpt.Московский физико-технический институт(государственный университет). miКафедра общей физикиА. В. Гавриков, Н. А. ВоронаsicsМеханические колебанияУчебно-методическое пособиеphyпо курсу Общая физикаМОСКВАМФТИ2011rupt.УДК 531:534. miРецензентКандидат физико-математических наук, доцент В.С. БулыгинГавриков А. В., Ворона Н. А.Механические колебания: учебно-методическое пособие покурсу Общая физика. — М.: МФТИ, 2011.

— 37 с.physicsВ систематической и доступной форме рассмотрены основныефизические свойства механических колебательных систем. Разобраны примеры колебательных систем и изложены основные подходык их описанию. Может служить учебным пособием, методическимруководством и справочником.Для студентов и преподавателей физики университетов и технических вузов.УДК 531:534c Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2011rupt.1. Свободные незатухающиегармонические колебания1.1. Общий вид уравнения и его решениеРассмотрим несколько примеров механических систем, совершающихсвободные незатухающие гармонические колебания.. miПример 1. Грузик на пружинеsicsРассмотрим грузик на пружине, лежащий на горизонтальном столе (рис. 1). Трение в системе отсутствует.

Выведем системуиз состояния равновесия. Запишемвторой закон Ньютона для грузика в проекции на ось x:mẍ = −kx,phyk,mm0x~ упрF(1)где m — масса грузика, k — жесткость пружинки, x — отклонение грузика от положения равновесия (соответственно ẍ — ускорениегрузика). Введя обозначениеω0 2 =kРис. 1. Грузик на пружинев горизонтальной плоскости(2)представим это уравнение в видеẍ + ω0 2 x = 0.(3)Решением этого уравнения является следующая функция:x(t) = x0 cos(ω0 t + ϕ),(4)где ω0 — частотой колебаний, T = 2π/ω0 — период колебаний, x0 — амплитуда колебаний, ϕ — начальная фаза колебаний, которые определяютсяиз начальных условий.3rupt.Например, если оттянуть грузик из положения равновесия на расстояние xmax и отпустить без начального толчка, то x0 = xmax , а ϕ = 0.

Еслиже покоящемуся в положении равновесия грузику сообщить начальнуюскорость v0 , то x0 = v0 /ω0 , а ϕ = −π/2. Действительно, продифференцируем уравнение (4):ẋ(t) = −x0 ω0 sin(ω0 t + ϕ). miи учтем начальное условие ẋ(0) = v0 . В результате получим значенияамплитуды и фазы, указанные выше.Иногда вместо формы (4) решение уравнения (3) удобнее представитьв видеx(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t),(5)sicsгде величины A и B определяются из начальных условий.Для описания движения данной колебательной системы можно вместо второго закона Ньютона воспользоваться законом сохранения энергии. Запишем закон сохранения энергии в произвольный момент времени движения грузика (т. е. когда его скорость равна v, а грузик смещениз положения равновесия на расстояние x):mv 2 kx2+= E0 ,22(6)phyгде E0 — полная энергия системы (которая определяется начальнымиусловиями).

Представим это уравнение в видеẋ2 +k 2 2E0x =mmи продифференцируем его по времени:2ẋẍ + 2kxẋ = 0,mследовательно,илиk2ẋ ẍ + xm= 0,kx = 0.mУчитывая обозначение (2), вновь получаем уравнение (3).ẍ +4ruПример 2. Математический маятникpt.Рассмотрим математическиймаятник: небольшой1 грузик массы m на нерастяжимой невесомойнити длины l. Пусть этот маятник совершает малые колебаниявблизи положения равновесияи в некоторый момент временинить маятника составляет угол αс вертикалью (рис. 2). Трение,включая сопротивление среды,в системе отсутствует. Учитывая, что сила натяжения нитивсегда перпендикулярна скоростидвижения маятника и поэтомуне совершает работу, запишем дляданной колебательной системызакон сохранения энергии:sics.

milαmРис. 2. Математический маятникmv 2+ mgl(1 − cos α) = E0 ,2(7)phyгде ноль потенциальной энергии принят в положении равновесия. Воспользовавшись условием, что колебания происходят с малой амплитудой(т. е. угол α мал), используем приближение cos α ≈ 1 − α2 /2. Скоростьдвижения грузика v = ωl = α̇l, где ω — мгновенная угловая скоростьвращения. Тогда уравнение (7) принимает видml2 α̇2 mglα2+= E0 ,22илиg2E0α̇2 + α2 =.lml2Аналогично Примеру 1 после дифференцирования имеемgα̈ + α = 0l1Небольшой — означает, что его линейные размеры много меньше, чем длинанити, на которой он подвешен.5ruили, вводя обозначение ω0 2 = g/l, получаемα̈ + ω0 2 α = 0,pt.(8)аналогичное уравнению (3). Период колебаний такого маятника:s2πlT == 2π.ω0g(9).

miПример 3. Физический маятникРассмотрим физический маятник, совершающий малые колебания вблизи положения равновесияв поле тяжести, т. е. твердое тело,совершающее малые колебания относительно неподвижной оси (илиточки) (рис. 3). Трение в системеотсутствует. Точка O — неподвижная точка2 , т. C — центр масс тела.Пусть OC = l и в некоторыймомент времени прямая OC составляет угол α с вертикалью. Запишем уравнение моментов относительно т. O:OphysicslI0 ω̇ = −mgl sin α,Cmαl′A(10)Рис.

3. Физический маятникгде I0 — момент инерции тела относительно т. O, m — масса тела.Учитывая, что ω = α̇, а sin α ≈ α (т.к. колебания малые), преобразуем (10) к следующему виду:α̈ +mglα = 0,I0и, вводя обозначение ω0 2 = mgl/I0 , получаем уравнение, аналогичное (8):α̈ + ω0 2 α = 0.2Неподвижная ось вращения проходит через т. O перпендикулярно плоскости рисунка.6ruПериод колебаний физическогомаятника:s2πI0T == 2π.(11)ω0mglpt.x0Величина lпр = I0 /ml называется приведенной длиной физического маятника и равна длинетакого математического маятника, период колебаний которого (9)равен периоду колебаний данного физического маятника (11).По теореме Гюйгенса–ШтейнераI0 = IC + ml2 , где IC — моментинерции тела относительно центрамасс т.

C. В результате получаемI0IC=+ l.mlmltv. misicslпр =TtРис. 4. Зависимость координаты x и скорости v от времени(12)phyОтложим на прямой OC т. A, находящуюся на расстоянии lпр от т. Oподвеса маятника. Точка A называется центром качания. Рассмотрим малые колебания данного твердого тела относительно этой точки.′ = I /ml′ ,Пусть AC = l′ , тогда приведенная длина такого маятника lпрAгде IA — момент инерции тела относительно т. A. Учитывая теоремуГюйгенса–Штейнера, соотношение (12) и равенство l′ = lпр − l, получаем′lпр=IAICIC=+ l′ =+ (lпр − l) = l + (lпр − l) = lпр .ml′ml′m(lпр − l)Таким образом, если точку подвеса и центр качания поменять местами,то приведенная длина, а с ней и период колебаний физического маятника останутся прежними. Более подробное рассмотрение этого вопроса выможете найти, например, в [1].Как видно из приведенных примеров, простейшие свободные незатухающие гармонические колебания различных колебательных системописываются уравнениемẍ + ω0 2 x = 0.(13)7ruЕще раз отметим, что его решением является функция типаpt.x(t) = x0 cos(ω0 t + ϕ),(14)где величины x0 — амплитуда колебаний и ϕ — начальная фаза колебаний определяются из начальных условий.

При этомv(t) = ẋ(t) = −x0 ω0 sin(ω0 t + ϕ) = x0 ω0 cos(ω0 t + ϕ − π/2).(15). miГрафики колебаний координаты и скорости приведены на рис. 4.1.2. Фазовые диаграммыphysicsОписание движения различvxных физических систем часто бывает удобно и наглядно вести в фазовом пространстве. Фазовое пространство — это такое пространство, на котором представленомножество всех состояний систеxмы, т. е. каждая точка такого пространства задает состояние рассматриваемой физической системы. Рассмотрим движение материальной точки. Напомним, что задать состояние материальной точРис. 5. Пример фазовой траки — значит задать ее положение ~rекториии скорость ~v (импульс ~p) в каждый момент времени. Таким образом, фазовым пространством для материальной точки будет пространство, по осям которого отложены координаты и скорости (т. е.

6-мерноепространство (x,y,z,vx ,vy ,vz )). Пример фазовой траектории материальной точки, двигающейся только вдоль оси x, представлен на рис. 5.Для описания различных физических систем, вообще говоря, требуются различные фазовые пространства. Так, например, для описания системы из N невзаимодействующих материальных точек потребуется 6N -мерное фазовое пространство: 6 осей для каждой точки (трипространственные координаты, три скоростные).

Если система описывается при помощи M обобщенных координат qi , то потребуется 2M -мерноефазовое пространство, по осям которого будут отложены qi и q̇i .8rupt.Посмотрим, как будет выглядеть в фазовом пространстве движениесистемы, описываемой уравнением (13). Так как данная система описывается при помощи одной обобщенной координаты (x в примере 1 (с. 3),α в примерах 2 (с. 5) и 3 (с. 6)), то для представления этой колеба-.

miтельной системы понадобится двухмерное фазовое пространство —фазовая плоскость, причем фазовая траектория осциллятора будетпредставлять собой эллипс (см. рис. 6а). Действительно, из (14)и (15) получаемx(t)x022= cos (ω0 t + ϕ),v(t)x0 ω02= sin2 (ω0 t + ϕ).(16)Складывая выражения (16), найдём каноническое уравнение эллипса в координатах (x,v), т. е. в фазовом пространстве:x(t)x0sics+vv(t)x0 ω0б)x2= 1.vxphyа)2Рис. 6. Фазовая траектория гармонических колебаний заданнойамплитуды (а) и различных амплитуд (б)На рис. 6б представлены фазовые траектории колебательной системы, описываемой уравнением (13), соответствующие различнымамплитудам колебаний.