Вывод формула Пуазёйля методом размерностей

Вывод формулы Пуазёйля методом размерностейВ.С. Булыгин17 ноября 2013 г.Метод размерностей позволяет найти функциональную зависимость между физическимивеличинами 0 , 1 , 2 , . . . (1)0 ∼ 11 22 . . . с точностью до безразмерного множителя, являющегося или неопределённой константой, илинеопределённой безразмерной функцией, аргументами которой являются безразмерные комбинации из физических величин 1 , 2 , . . . .

То, что функциональная связь в (1) являетсяименно степенно́й, следует из требования независимости этой связи от выбора масштабов основных единиц измерения ([1, § 4], [2, § 87], [3, гл. 2.]), соображения размерности также требуют,чтобы размерность левой части выражения (1) совпадала с размерностью его правой части:[0 ] = [1 ]1 [2 ]2 . . . [ ] .Среди (как правило, простых) задач, предлагаемых в дополнение к билету на заключительном устном госэкзамене по физике уже в течение долгого времени фигурирует такая задача:С помощью соображений размерности получить зависимость скорости течениявязкой жидкости на оси горизонтальной цилиндрической трубы от длины трубы ,её радиуса,перепада давлений∆и вязкости жидкости.Так как объёмный расход жидкости = 2 ⟨⟩ = const · 2 ,(2)где ⟨⟩ — средняя по сечению трубы скорость течения жидкости, то получение из соображений размерности выражения для скорости на оси трубы позволяет одновременно получить исоответствующее выражение для , т.

е. получить из соображений размерности формулу Пуазёйля.1Разберём же, как решается задача — определить показатели степеней , , , в выражении ∼ (∆ ) (3)с помощью метода размерностей.Стандартная теория размерностиВ обычной теории метода размерностей мы используем наши 3 основных размерных единицыизмерения: длину , [] ≡ , массу , [] ≡ и время , [] ≡ . В качестве первого шага мы1 Закон,экспериментально установленный в 1840 г. французским врачом Жаном Луи Мари Пуазёйлем (1799–1869), был в 1839 г. выведен немецким инженером-гидростроителем Готхильфом Генрихом Людвигом Хагеном(1797–1884).1должны обнаружить все безразмерные комбинации исходных величин задачи, т.

е. выяснить,когда комбинация[] [∆ ] [] [](4)будет безразмерной.Размерность силы, в соответствии со 2-м законом Ньютона[︂ ]︂[][] [][] []==== −2 ,[ ] =[][][]2(5)размерность давления, с учётом (5),[∆ ] =[д ] −2== −1 −2 ,[⊥ ]2(6)здесь ⊥ — величина перпендикулярной течению площадки, на которую действует сила давления д . Размерность длины трубы:[] = (7)и её радиуса[] = ,(8)размерность вязкости находится из закона Ньютона для величины силы вязкого сопротивления при течении вдоль оси :⃒⃒⃒ ⃒⃒ бок ,(9) = ⃒⃒ ⃒где бок — величина выделенной поверхности, расположенной вдоль течения, на которой вычисляется сила вязкого трения. Из этого выражения, с учётом (5),[] =[ ] −2[︀ ]︀ == −1 −1 .2 [бок ] Таким образом, размерность выражения (4) имеет вид:(︀)︀ (︀ −1)︀[] [∆ ] [] [] = −1 −1 −2 = −−++ + −−2 .(10)(11)Это выражение не зависит от массы при + = 0 и не зависит от времени при + 2 = 0, чтовозможно только при = = 0 и, следовательно, это выражение не будет зависеть также и отдлины при = −.

Таким образом, безразмерной комбинацией будет /, одна из длин поэтомуисключается и искомая зависимость должна иметь вид(︂ )︂ ,(12) = (∆ ) · (︀ )︀где — произвольная функция. Отсюда из уравнения размерностей(︀)︀ (︀ −1)︀ −1 = −1 −1 −2 = −−+ + −−2получаем систему уравнений:⎧⎪⎨ − − + = 1+=0⎪⎩ + 2 = 1откуда следует: = −1, = 1, = 1.

Таким образом, стандартная теория размерностей даёт:(︂ )︂∆=·,(13)2т. е. теория размерностей (в стандартном варианте) предсказывает, что искомая скорость течения на оси трубы пропорциональна разности давлений ∆ на концах трубы и обратнопропорциональна вязкости текущей жидкости , но этот вариант теории размерностей ничегоне может сказать о зависимости скорости от линейных размеров трубы и . Например,глядя на выражение (13) нельзя утверждать, что скорость пропорциональна длине трубы ,поскольку(︀ )︀(︂ )︂(︂ )︂ = · = · 1,·(︀ )︀(︀ )︀где 1 — тоже произвольная функция, как и .Такой, не очень конкретный физический результат обусловлен чисто математическими причинами: число физических величин (, ∆, , ) превышает число использованных единицизмерения (, , ) и, следовательно, число уравнений стандартной теории размерностей,равное числу единиц измерения (три) меньше числа неизвестных показателей степени физических величин (четыре), что не позволяет однозначно определить эти показатели.В учебнике Д.В.

Сивухина [2, § 97] эта трудность обходится следующим образом: автор отмечает, что в уравнения гидродинамики вязкой жидкости (уравнения Навье–Стокса) входят несами давления, а только градиенты давления. Благодаря этому наблюдению в [2] число физи, , и выражение (3) дляческих величин в задаче уменьшено с 4-х: , ∆, , , до 3-х: , Δскорости теперь принимает вид:∼(︂∆)︂ .(14)Так как, с учётом (6), размерность[︂∆]︂= −2 −2 ,то с помощью (10) и (8) получаем из (14) следующее уравнение размерностей(︀)︀ (︀ −2)︀ −1 = −1 −1 −2 = −−2+ + −−2 ,откуда следует система уравнений⎧⎪⎨ − − 2 + = 1+=0 ,⎪⎩ + 2 = 1имеющая решение: = −1, = 1, = 2.

Таким образом, из (14) получаем ответ: = 0 ·∆ 2 ,(15)где 0 — неопределённая константа, численное значение которой не может быть определенос помощью метода размерностей; прямой расчёт [2, § 97, формула (97.3)] даёт0 =1.4Теперь с помощью (2) можно получить формулу Пуазёйля для объёма вязкой жидкости, протекающего через трубу за единицу времени (объёмного расхода жидкости):=·∆ 4 ,3(16)где, согласно прямому расчёту [2, § 97, формула (97.4)],= .8Попутно заметим, что с помощью точных выражений для объёмного расхода и скорости жидкости на оси трубы можно получить выражение для средней по сечению трубы скорости ⟨⟩.Из (2) находим:∆ 2 1⟨⟩ = = .(17)=282Расширенная (обобщённая) теория размерностиВ расширенной теории метода размерностей (см.

[4, гл. 6]), учитывая физические особенностизадачи, стараются увеличить число основных единиц измерения и сделать, по возможности,количество единиц измерения равным количеству заданных физических параметров — в этомслучае удаётся однозначно определить все показатели степеней в выражении (1).Простейший анализ физики процесса течения по трубе показывает, что в нашей задачепродольные и поперечные размеры трубы играют разную роль: всё движение происходит в направлении оси трубы, а давление дополнительно определяется и поперечными к оси размерамитрубы.

Поэтому в нашей задаче физически оправдано вместе с единицами массы и времени ввести две единицы длины : продольную (вдоль оси трубы) ‖ и поперечную ⊥ ,2 что делаетравным количество основных единиц измерения и число заданных физических параметров.Искомая осевая скорость будет иметь теперь размерность[︂ ]︂= ‖ −1(18)[] =Так как и сила давления, и сила вязкого трения направлены вдоль оси трубы, то сила (5)имеет теперь размерность[ ] =[] []= ‖ −2 .[](19)Размерность поперечной площадки [⊥ ] = 2⊥ , поэтому размерность давления, с учётом (19),‖ −2[ ]−2== ‖ −2,[∆ ] =⊥ 2[⊥ ]⊥(20)[] = ‖(21)[] = ⊥ .(22)размерность длины трубы:и размерность её радиусаРазмерность поперечного градиента скорости[︂ ]︂[]−1== ‖ −1,⊥ ⊥размерность площади боковой поверхности, на которой развивается вязкое трение [бок ] == ‖ ⊥ , поэтому размерность вязкости (10) теперь будет‖ −2[ ]−1−1[︀]︀[] =.=−1 −1 = ‖ ‖ ⊥ · ‖ ⊥ [бок ] (23)2 Заметим, что введение продольной и поперечной длин, в частности, делает различными размерность работыили энергии 2‖ −2 (сила на продольное расстояние) и размерность момента силы ‖ ⊥ −2 (сила на плечо— поперечное расстояние).4Из уравнения размерностей, получаемого из (3),[] = [] [∆ ] [] [](24)и с учётом выражений (18), (23), (20), (21) и (22) принимающего вид(︁)︁ (︀)︀−2−1−2+ + −−2‖ −1 = −1‖ ⊥ −2 ‖ ⊥ = −++⊥‖‖следует система уравнений⎧− + + = 1⎪⎪⎪⎨ −2 + = 0,⎪+=0⎪⎪⎩ + 2 = 1имеющая решение: = −1, = 1, = −1, = 2.

Таким образом, расширенная теория размерностей из выражения (3) (или (24)) позволяет получить из 4-х физических параметров , ∆, , правильный ответ для скорости жидкости на оси трубы: = 0 ·∆ 2 ,(25)совпадающий с (15). Следовательно, таким же будет и выражение для объёмного расхода жидкости (формула Пуазёйля (16)):∆ 4 .=·Число Рейнольдса для течения в трубеФормула Пуазёйля, как и формула для скорости течения на оси трубы, справедлива при ламинарном течении жидкости в трубе, когда выполняется ньютоновский закон вязкого трения (9).Английский физик Осборн Рейнольдс (1842–1912) в 1876–1883 годах опытным путём установилзакон подобия, согласно которому переход от ламинарного течения к турбулентному в каждомклассе течений происходит при приблизительно одинаковых значениях параметра, названноговпоследствии числом Рейнольдса.

Число Рейнольдса Re является безразмерным и определяетсявыражением:Re = хар ,(26)где и — плотность и вязкость жидкости, и хар — характерная скорость и характерныйлинейный размер течения.Расширенная теория размерностей позволяет выяснить, что является характерным линейным размером хар для течения жидкости по трубе длиной и радиусом . Так как, с учётом (21)и (22), размерность плотности равна[] =[︀]︀−1[]−2= [] · 2 = −1‖ ⊥ ,[ ]то с помощью (23) и (18) из (26) находим для размерности характерного линейного размера:−1−1[]2⊥‖ [хар ] == −1 −2=,[] []‖‖ ⊥ · ‖ −1и, таким образом, расширенная теория размерностей указывает, что в качестве характерноголинейного размера в выражении для числа Рейнольдса (26) в случае течения по трубе следуетбрать следующую комбинацию из радиуса трубы и её длины :хар =52,этот результат другим путём получен в [2, § 98.2].

Выбирая в качестве характерной скоростискорость течения на оси трубы (см. (25)) получаем из (26):Re =2 · ∆ 4=22— выражение для числа Рейнольдса, которое следует использовать когда и сравнимы повеличине. При большой длине трубы ( ≫ ) параметры течения уже не будут зависеть от= const), длина исчезает из параметров задачи, радиус трубы остадлины трубы (при Δётся единственной величиной с размерностью длины и число Рейнольдса для такого течения,согласно (26), принимает вид: ⟨⟩ Re ==,где = 2 — диаметр трубы и ⟨⟩ = /⊥ = /(2 ) = 12 — среднее значение скороститечения по трубе (17). В опытах с длинными трубами О. Рейнольдсом было установлено, чтокритическое значение Reкр такого числа Рейнольдса составляет 2300 (при Re > Reкр ламинарное течение переходит в турбулентное). В последующих экспериментах других исследователей,при тщательном уменьшении возмущений тока жидкости при входе в трубу, значение Reкр было сначала увеличено до 2·104 , а потом и до 4·104 .