ЛР 1.4.5. Изучелние колебаний струны

Лабораторная работа 1.4.5Изучение колебаний струныЦель работы: изучение поперечных стоячих волн на струне; определение собственных частот колебаний струны; исследование зависимости скорости распространенияпоперечных волн на струне в зависимости от её натяжения.В работе используются: закрепленная на станине стальная струна, набор грузов,электромагнитные датчики, звуковой генератор, двухканальный осциллограф, частотомер.ВведениеСтруной в акустике называют однородную тонкую гибкую упругую нить.Примерами могут служить сильно натянутый шнур или трос, струны гитары,скрипки и других музыкальных инструментов.

В данной работе изучаютсяпоперечные колебания стальной гитарной струны, натянутой горизонтальнои закрепленной между двумя неподвижными зажимами.Основное свойство струны — гибкость — обусловлено тем, что её поперечные размеры малы по сравнению с длиной. Это означает, что напряжениев струне может быть направлено только вдоль неё, и позволяет не учитыватьизгибные напряжения, которые могли бы возникать при поперечных деформациях (то есть, при изгибе струны) *.В натянутой струне возникает поперечная упругость, т.е. способность сопротивляться всякому изменению формы, происходящему без измененияобъема.

При вертикальном смещении произвольного элемента струны, возникают силы, действующие на соседние элементы, и в результате вся струнаприходит в движение в вертикальной плоскости, т.е. возбуждение «бежит» поструне. Передача возбуждения представляет собой поперечные бегущиеволны, распространяющиеся с некоторой скоростью в обе стороны от меставозбуждения. В ненатянутом состоянии струна не обладает свойством поперечной упругости и поперечные волны на ней невозможны.*Следует подчеркнуть, что поперечные колебания тонких стержней отличаются от колебаний струны, что связано именно с возникновением изгибных напряжений. К примеру, гитарнаяструна диаметром ~0,3 мм и длиной 1 м является гибким объектом, а изготовленный из той жестали метровый стержень при диаметре 3-4 мм уже не обладает гибкостью.

В нем существеннуюроль играют внутренние изгибные напряжения, препятствующие изменению его формы, поэтомуего нельзя рассматривать как струну. Поперечные колебания стержней описываются существенно более сложными дифференциальными уравнениями 4 порядка (см.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. — Гл. 3.).1Волны на струне *Рис. 1. К выводу уравнения колебаний струныРассмотрим гибкую однородную струну, в которой создано натяжение T,и получим дифференциальное уравнение, описывающее её малые поперечные свободные колебания.

Отметим, что если струна расположена горизонтально в поле тяжести, величина T должна быть достаточна для того, чтобы всостоянии равновесия струна не провисала, т. е. сила натяжения должна существенно превышать вес струны.Направим ось вдоль струны в положении равновесия. Форму струны будем описывать функцией (, ), определяющей её вертикальное смещение вточке в момент времени (см. рис.

1). Угол наклона касательной к струне вточке относительно горизонтального направления обозначим как . В любой момент этот угол совпадает углом наклона касательной к графику функции (), то есть tg = .Рассмотрим элементарный участок струны, находящийся в точке , имеющий длину δ и массу δ = , где — погонная плотность струны(масса на единицу длины). При отклонении от равновесия на выделенныйэлемент действуют силы натяжения 1 и 2 , направленные по касательной кструне.

Их вертикальная составляющая будет стремиться вернуть рассматриваемый участок струны к положению равновесия, придавая элементу некото2 рое вертикальное ускорение 2 . Заметим, что угол зависит от координаты вдоль струны и различен в точках приложения сил 1 и 2 . Таким образом,второй закон Ньютона для вертикального движения элемента струны запишется в следующем виде: 2 (1) 2 = −1 sin 1 + 2 sin 2 .*При первом чтении вывод волнового уравнения можно пропустить.2Основываясь на предположении, что отклонения струны от положенияравновесия малы, можем сделать ряд упрощений:1. Длина участка струны в изогнутом состоянии практически равнадлине участка в положении равновесия *, поэтому добавочным напряжением вследствие удлинения струны можно пренебречь. Следовательно, силы T1 и T2 по модулю равны силе натяжения струны: 1 ≈2 ≈ .2.

Углы наклона малы, поэтому tg ≈ sin ≈ и, следовательно,можно положить ≈ .Разделим обе части уравнения движения (1) на и устремим размер элемента к нулю, → 0. Тогда правая часть (1) примет вид 2 2 sin 2 − 1 sin 12 − 1≈ → 2 =(в последнем переходе использовано определение производной функции какпредела отношения приращения функции к приращению аргумента). Наконец, подставляя = , и вводя обозначение = �,(2)что, как мы увидим далее, есть скорость распространения волн на струне,находим окончательно уравнение свободных малых поперечных колебанийструны: 2 2 2(3)=. 2 2Уравнение (3) называют волновым уравнением.

Кроме волн на струне, ономожет описывать волновые процессы в самых разных системах, в том числеволны в сплошных средах (звук), электромагнитные волны и т.д.Бегущие волныКак показывается в математических курсах, общее решение дифференциального уравнения в частных производных (3) представимо в виде суммыдвух волн произвольной формы, бегущих в противоположные стороны соскоростями ±:(4)(, ) = 1 ( − ) + 2 ( + ),где u — скорость распространения волны (2), 1 и 2 — произвольные функции, вид которых в конкретной задаче определяется из начальных и граничных условий.*Нетрудно убедиться, что поправка к длине элемента имеет второй (квадратичный) порядок1малости по углу : = � 2 + 2 = �1 + tg 2 ≈ �1 + 2 � ≈ .32Упражнение. Прямой подстановкой убедитесь, что (4) есть решение (3).Особый интерес представляет случай гармонических волн *:(, ) = cos[( − )] + cos[( + )] =(5)= cos( − ) + cos( + ).Выражение (5) представляет собой суперпозицию двух гармонических волн,бегущих навстречу друг другу со скоростью = = .(6)22Их длина волны = , частота = .

Величина = называется волно2вым числом или пространственной частотой волны.Заметим, что формула (2) означает, что скорость распространения поперечных волн на струне зависит только от силы натяжения струны и её погонной плотности .Собственные колебания струны. Стоячие волныНайдем вид свободных колебаний струны с закрепленными концами.Пусть струна закреплена в точках = 0 и = . Концы струны не колеблются, поэтому (0, ) = 0 и (, ) = 0 для любых . Используя (5), находим(0, ) = cos + cos = 0,откуда следует, что = −. Тогда после тригонометрических преобразований выражение (5) примет вид(7)(, ) = 2 sin ⋅ sin .Колебания струны, описываемые функцией (7), называются стоячими волнами. Видно, что стоячая волна может быть получена как сумма (интерференция) двух гармонических бегущих волн, имеющих равную амплитуду и движущихся навстречу друг другу.Как видно из (7), точки струны, в которых sin = 0, в любой моментвремени неподвижны.

Такие точки называются узлам. Остальные точки совершают в вертикальной плоскости гармонические колебания с частотой= . =2 Амплитуда колебаний распределена вдоль струны по гармоническому закону: 0 () = 2 sin . В точках, где sin = 1, амплитуда колебаний максимальна — они называются пучностями. Между двумя соседними узламивсе участки струны колеблются в фазе (их скорости имеют одинаковоенаправление), а при переходе через узел фаза колебаний меняется на вследствие изменения знака sin .*Известно, что любую периодическую функцию можно представить в виде суперпозициигармонических функций («гармоник») с разными частотами.4Используя второе граничное условие (, ) = 0 (точки крепления струныдолжны быть узлами стоячей волны), найдём условие образования стоячихволн на струне: (, ) = 2 sin sin = 0, откуда ∈ ℕ.sin = 0 → = ,2Таким образом, стоячие волны на струне с закреплёнными концами могут образовываться только если на длине струны укладывается целое число полуволн:(8) = .2Поскольку длина волны однозначно связана с её частотой, струна можетколебаться только с определёнными частотами: = � ,= 2 ∈ ℕ.(9)Набор (спектр) разрешённых частот называют собственными частотамиколебаний струны.

Режим колебаний, соответствующий каждой из частот ,называется собственной (или нормальной) модой колебаний (от англ. mode —режим). Произвольное колебание струны может быть представлено в виде суперпозиции её собственных колебаний. Наименьшая частота 1 называетсятакже основным тоном (или первой гармоникой), а остальные (2 = 21 , 3 =3ν1 , …) — обертонами (высшими гармониками). Термин «гармоника» иногдаупотребляется в обобщенном смысле — как элементарная составляющаясложного гармонического колебания.На Рис.

2 показана картина стоячих волн для = 1, 2, 3. Заметим, чточисло определяет число пучностей (но не узлов!) колеблющейся струны.Таким образом, спектр собственных частот струны определён её погоннойплотностью , силой натяжения и длиной струны (отдельно отметим, чтособственные частоты не зависят от модуля Юнга материала струны).Рис. 2. Стоячие волны (собственные моды колебаний струны) для = 1, 2, 35Возбуждение колебаний струныПри колебаниях реальной струны всегда имеет место потеря энергии(часть теряется вследствие трения о воздух; другая часть уходит через неидеально закрепленные концы струны и т.д.).

Поддержание незатухающих колебаний в струне может осуществляться точечным источником, в качестве которого в данной работе используется электромагнитный вибратор. При этомвозникает необходимость переноса энергии от источника по всей струне.Рассмотрим вопрос о передаче энергии по струне. В стоячей волне потокэнергии вдоль струны отсутствует — колебательная энергия, заключеннаяв отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно *. Передача энергии между различными участками струны возможнатолько благодаря бегущим волнам, которые, однако, в рассмотренной вышеидеальной модели струны не возникают.

Парадокс снимается, если учесть,что из-за потерь энергии при отражении волны от концов не происходит полной компенсации падающей и отраженной волны, поэтому к стоячей волнена струне добавляется малая бегущая компонента — именно она служит «разносчиком» энергии по всей системе.Для эффективной раскачки колебаний используется явление резонанса —вынуждающая частота должна совпадать с одной из собственных частотструны (см. (9)). Когда потери энергии в точности компенсируются энергией, поступающей от вибратора, колебания струны становятся стационарными и на ней можно наблюдать стоячие волны.