X2 (Методические указание К ДЗ №1)

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждениеВысшего профессионального образования«Московский государственный технический университетимени Н.Э.Баумана»(МГТУ им. Н.Э.Баумана)_____________________________________________________________________________Факультет Э «Энергомашиностроение»Кафедра Э-10 «Гидромеханика, гидромашины и гидропневмоавтоматика»В.П.ХАРИТОНОВПРЕОБРАЗОВАНИЕ Н.Е.ЖУКОВСКОГОИ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЕЙВизуализация обтекания круга, пластины, эллипса, руля и аэродинамического профиляН.Е.Жуковского в имитационном лотке Хил-ШоуЭлектронные методические указанияк лабораторным работам по курсу «Механика жидкости и газа»(С) 2010 МГТУ им.

Н.Э. БАУМАНА1МоскваУДК 532.5.031Данные методические указания соответствуют учебному плану специальности:101700 «Холодильная, криогенная техника и кондиционирование»Рассмотрены и одобрены:кафедрой Э-10 «Гидромеханика, гидромашины и гидропневмоавтоматика»Рецензенты:Д.т.н., профессор А.А.ЖердевД.т.н., профессор И.С.Шумилов2ОГЛАВЛЕНИЕ1. Общие сведения ………………………………………………………………… 62. Течение Хил-Шоу (Hele Shaw H.S., 1898 г.) ………………………………… 83.

Об идентичности траекторий в лотке Хил-Шоу и траекторийобтекания цилиндрических тел безвихревым потоком идеальнойнесжимаемой жидкости. ………………………………………………………. 94. Основные понятия и соотношения…………………………………………… 114.1. Функция тока4.2. Физический смысл функции тока4.3. Потенциал скорости4.4. Преобразование Н.Е.Жуковского5.

Описание экспериментального стенда……………………………………….. 145.1. Схема экспериментального стенда5.2. Измерительные приборы5.3. Измеряемые величины6. Лабораторная работа № 1. Комплексный потенциали траектории обтекания кругового цилиндра………………………………… 176.1. Цель и задачи работы6.2. Вычисление траекторий бесциркуляционного обтеканиякругового цилиндра радиуса R потоком вдоль оси Ох ( Θ = 0 )6.3. Подготовка к выполнению работы.6.4.

Выполнение работы6.5. Методика обработки результатов работы и оформление отчёта .7. Лабораторная работа № 2. Преобразование Н.Е.Жуковского ибесциркуляционное обтекание пластины…………………………………... 207.1. Цель и задачи работы7.2. Обтекание тонкой пластины7.3. Подготовка к выполнению работы.7.4. Выполнение работы7.5. Методика обработки результатов работы и оформление отчёта .7.6.

Содержание отчёта8. Лабораторная работа № 3. Преобразование Н.Е.Жуковского ибесциркуляционное обтекание эллипса……………………………………. 238.1. Цель и задачи работы8.2. Обтекание эллипса8.3. Подготовка к выполнению работы.8.4. Выполнение работы8.5. Методика обработки результатов работы и оформление отчёта .8.6. Содержание отчёта39. Лабораторная работа № 4. Преобразование Н.Е.Жуковского ибесциркуляционное обтекание симметричногопрофиля («руля Н.Е.Жуковского») …………………………………. 279.1. Цель и задачи работы9.2.Обтекание симметричного профиля (руля) Н.Е.Жуковского.9.3.

Подготовка к выполнению работы.9.4. Выполнение работы9.5. Методика обработки результатов работы и оформление отчёта .9.6. Содержание отчёта10. Лабораторная работа № 5. Преобразование Н.Е.Жуковского ибесциркуляционное обтекание асимметричногокрылового профиля Н.Е. Жуковского ………………………………… 3010.1. Цель и задачи работы10.2.Обтекание асимметричного профиля(крылового профиля) Н.Е.Жуковского.10.3. Подготовка к выполнению работы.10.4. Выполнение работы10.5. Методика обработки результатов работы и оформление отчёта .10.6. Содержание отчёта11.

Демонстрационная лабораторная работа.Визуализация обтекания цилиндрических тел потокомидеальной несжимаемой жидкости в лотке Хил-Шоу. ……………………… 3411.1. Цель и задачи работы11.2. Подготовка к выполнению работы.11.3. Выполнение работы12. Литература …………………………………………………………………….. 3541. Общие сведения.Теория авиастроения начиналась сизучения простейшего вида течения:установившегося безвихревого (потенциального) течения несжимаемой идеальной жидкости.При полётах самолётов с малой скоростью на небольшой высоте воздух, имеющийкоэффициент кинематической вязкости всего 1,5 ⋅ 10 −5 м 2 / с и практически постояннуюплотность, можно было считать именно такой средой.Счастливыми особенностями этого раздела науки являются,во-первых, возможность применения теории функций комплексного переменного иполучения с её помощью точных решений обтекания цилиндрических тел (крыловогопрофиля, руля, цилиндра, пластины, эллипса),во-вторых, возможность визуализации процесса обтекания твёрдых тел, например, ваэродинамических трубах и в лотке Хил-Шоу.Визуализация течений требует больших затрат времени и средств, но она играет важнуюроль для качественного понимания физической сути явлений и получения количественныхрезультатов.Одним из необычных способов визуализации картины обтекания цилиндрических телявляется лоток Хил-Шоу, предложенный более ста лет назад английским профессором иисследователем Henry Selby Hele-Shaw (1854-1940) и названный в честь его имени [1].Приведенные ниже картины обтекания получены различными исследователями в разныхстранах на лотках Хил-Шоу [2].В приведенных фотографиях, графиках и рисунках направление потока жидкостиосуществляется слева направо.Рис.

1. Обтекание круговогоцилиндра. Линии тока в воде,текущей со скоростью 1 мм/с междудвумя стеклянными пластинками,отстоящими на расстоянии одногомиллиметра.Фото D. Н. РегеgrineРис. 2. Обтекание наклоннойпластинки в лотке Хил-Шоу.Фото D. Н. Регеgrine5Рис . 3. Визуализация линийтока обтекания профиляNACA 64А015 под угломатаки 13º. Модельрасположена междустеклянными пластинками,отстоящими на 1 мм, впотоке масла.Фото Werle, 1973.Рис. 4.

Ползущее течение приобтекании двухрасположенных рядомкругов. Число Рейнольдсаравно 0,011; зазор междуцилиндрами составляет 0,2 ихдиаметра. Визуализациядостигается с помощьюалюминиевого порошка вглицерине.Фото Taneda, 1979.Рис. 5. Обтеканиепрямоугольного выступа влотке Хил-Шоу.Фото D. H. Peregrine62. Течение Хил-Шоу (Hele Shaw H.S., 1898 г.)Течение Хил-Шоу, или ползущее течение, получают в лотке Хил-Шоу, которыйиспользуют для визуализациипроцессаобтеканияцилиндрическихтелспроизвольнымпоперечнымсечением.ЛотокХил-Шоупредставляетсобойприбор,состоящий из двух параллельныхстёкол, расположенных одно наддругим на малом расстоянии 2h,менее 1 мм.Рис.

6. Принципиальная схемалотка Хил-Шоу: 1 – модель излистовой резины толщиной 1 мм,2 – верхнее стекло,3 – нижнее стекло,4 – игла с краской,5 – траектория.Между стёклами помещают цилиндрическую пластину нужной формы, котораявплотную прилегает своими основаниями к стёклам. Через зазор между стёкламипропускают равномерный поток жидкости с такой малой скоростью, чтобы приведенноечисло Рейнольдса было существенно меньше единицы.V ⋅L  h (1)Re =⋅   << 1ν LВ лотке Хил-Шоу, как и в случае течения смазочного масла в узкой щели, отношениесил инерции к силам трения определяется приведенным числом Рейнольдса, где 2h – зазормежду стёклами, а L – характерный линейный размер модели.

Для круга радиусом Rприведенное число Рейнольдса в лотке Хил-Шоу определяется по формуле:V ⋅ h2(2)Re * =ν ⋅RВизуализация течения в лотке Хил-Шоу достигается обычно введением краски спомощью тонкого медицинского шприца на входе потока в зазор. В установившемся режимев лотке Хил-Шоу появляется неподвижный рисунок траектории, форма которой зависит отформы модели и координаты ввода краски по оси y.Траектории в лотке Хил-Шоу в точности совпадают с траекториями частиц приобтекании цилиндрических тел плоским потоком идеального газа, например, крыласамолёта. Это кажется парадоксальным, так как физическая природа вязкого течения в лоткеХил-Шоу принципиально отличается от течения идеальной жидкости.2*73. Об идентичности траекторий в лотке Хил-Шоу и траекторий обтеканияцилиндрических тел безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости [3]..Первоначальные аэродинамические расчёты крыла самолёта были основаны наизучении безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости.

Для экспериментальногоопределения подъёмной силы крыла самолёта использовали аэродинамические трубы. Внекоторых простейших случаях удалось найти и аналитическое решение. При отсутствиимассовых сил математическая модель установившегося потенциального плоского(двухмерного) течения идеальной несжимаемой жидкости может быть представлена вследующем виде:Vx ⋅1 ∂p∂Vx∂Vx+ Vy ⋅= − ⋅∂x∂yρ ∂x(3)Vx ⋅1 ∂p∂Vy∂Vy+ Vy ⋅= − ⋅∂x∂yρ ∂y(4)∂Vx ∂Vy+= 0∂x∂y(5)Альтернативой аэродинамических труб в некоторых случаях могут служить лоткиХил-Шоу. При отсутствии массовых сил математическая модель установившегосятрёхмерного течения вязкой жидкости при очень малых скоростях (когда инерционнымисилами можно пренебречь) может быть представлена в следующем виде: ∂ 2Vx ∂ 2Vx ∂ 2Vx ∂p= µ ⋅  2 + 2 + 2 ∂x∂y∂z  ∂x ∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂p= µ ⋅  2 ++ 2 2∂y∂∂∂z xy ∂ 2Vz ∂ 2Vz ∂ 2Vz ∂p= µ ⋅  2 + 2 + 2 ∂z∂y∂z  ∂x∂Vx ∂Vy∂Vz++= 0∂x∂y∂z(6)(7)(8)(9)Обозначим решение задачи (3-5) :Vxo = Vxo( x, y ); Vyo = Vyo( x, y ) ; p = p o ( x, y )(10)Как показал Г.С.Хил-Шоу, задача (6-9) имеет решение, которое выражается черезформулы (10) следующим образом:Vx = Vxo( x, y ) ⋅ (1 −z2z2);Vy=Vyo(x,y)⋅(1−);h2h22µ2µp = − 2 ∫ Vxo( x, y ) ⋅ dx = − 2 ∫ Vyo( x, y ) ⋅ dyh xoh yox8y(11)Действительно, при подстановке решения (11) в систему уравнений (6-9) уравнение (9)выполняется, так как Vz = 0 и выполняется уравнение (5).Уравнение (8) выполняется, так как Vz = 0 и p не зависит от z .Поскольку функции (10) являются решением потенциального (безвихревого) течения,то справедливо равенство:∂ 2Vxo ∂ 2Vxo∂ 2Vyo ∂ 2Vyo+=(12)+0;=0∂x 2∂y 2∂x 2∂y 2Поэтому уравнения (7-8) можно преобразовать к виду:∂p∂ 2Vx ∂p∂ 2Vy= µ⋅ 2 ;= µ⋅ 2∂x∂y∂z∂z(13)Из уравнений (13) и (11) следует:∂p2µ∂p2µ= − 2 ⋅ Vxo( x, y );= − 2 ⋅ Vyo( x, y )∂x∂yhh(14)Используя уравнение (11), вычислим вторые частные производные по z от функцийVx( x, y ) и Vy ( x, y ) :∂Vx2z= − 2 ⋅ Vxo( x, y );∂zh∂Vy2z= − 2 ⋅ Vyo( x, y );∂zh∂ 2Vx2 ⋅ Vxo( x, y )=−2∂zh2∂ 2Vy2 ⋅ Vyo( x, y )=−2∂zh2(15)(16)Подставив выражения (13, 15 и 16) в уравнения (6-7), убеждаемся в том, что функции(11) являются решением системы уравнений (6-9).Таким образом, доказано, что для любой точки (x, y, z ) в лотке Хил-Шоу направлениевектора скорости будет в точности таким же, как и в случае обтекания тела потокомидеальной жидкости.