X2 (563040), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Например, пусть z = z1 . Тогда в лотке Хил-Шоу соблюдаютсясоотношения для любой точки в этой плоскости:z12(17)Vx( x, y ) = C1 ⋅ Vxo( x, y ); Vy ( x, y ) = C1 ⋅ Vyo( x, y ); C1 = 1 − 2hЭто, в свою очередь, доказывает, что траектории частиц при обтеканиицилиндрического тела при плоском безвихревом течении несжимаемой жидкости итраектории в лотке Хил-Шоу совпадают.Такое замечательное свойство лотка Хил-Шоу позволяет простыми и дешёвымисредствами получить экспериментально картины обтекания тел любой цилиндрическойформы (пластины, эллипса, кругового цилиндра, руля, крылового профиля, любогозамкнутого профиля и др.).94.
Основные понятия и соотношения.4.1. Функция тока.При установившемся движении жидкости линии тока совпадают с траекториями.Дифференциальное уравнение траектории можно получить, выразив тангенса угла наклонакасательной к траектории двумя разными способами (вектор скорости направлен покасательной к линии тока):VyVxИли=dydx(18)− V y ⋅ dx + V x ⋅ dy = 0(19)Известно, что для того, чтобы выражение P ( x, y ) ⋅ dx + Q( x, y ) .dy являлось полнымдифференциалом функции U ( x, y ) , необходимо и достаточно выполнение условия:∂P ∂Q=(20)∂y ∂xСледовательно, левая часть выражения (19) является полным дифференциалом функцииΨ ( x, y ) лишь в том случае, когда выполнены условия:∂V y∂V y∂V x∂V x(21)−=или+=0∂y∂x∂x∂yУсловие (21) всегда выполняется для движения несжимаемой жидкости, так как оноявляется уравнением неразрывности, и, следовательно, функция Ψ ( x, y ) , называемаяфункцией тока, всегда существует.Полный дифференциал функции тока можно записать двумя способами:dΨ ( x, y ) = − V y ⋅ dx + V x .dy∂Ψ∂Ψ⋅ dx +.dy∂x∂yСопоставляя выражения (22) и (23), получим:dΨ ( x, y ) =Vx =∂Ψ∂yVy = −∂Ψ∂x(22)(23)(24)Семейство траекторий в конкретном поле скоростей имеет вид:Ψ ( x, y ) = const10(25)4.2.
Физический смысл функции тока [4]Рассмотрим плоское движение жидкости в координатах x – y (ось z направленаперпендикулярно плоскости рисунка). Выделим внутри потока две близкие траектории,проходящие через точки М и N.ΨM ( x, y ) = C1ΨN ( x − dx, y + dy ) = C 2(26)Эти траектории можно рассматривать как проекции на плоскость x – y двухвертикальных поверхностей тока, параллельных оси z, и проходящих через эти точки.Поток жидкости между поверхностями тока не изменяется по величине (вектор скорости влюбой точке поверхности тока направлен по касательной к ней) и, следовательно,поперечная составляющая скорости на поверхности тока равна нулю – поверхность токанепроницаема для жидкости.Расход жидкости между поверхностями тока, походящими через точки М и N, можноподсчитать следующим образом:(27)dQ = V x ⋅ dy + V y ⋅ (−dx)или, используя (24):dQ =∂Ψ∂Ψ⋅ dy +⋅ dx = dΨ∂y∂y(28)Это означает, что расход жидкости, протекающей между поверхностями тока можетбыть вычислен как разность значений функции тока, соответствующим этим поверхностям:2Q = ∫ dΨ = Ψ2 − Ψ1(29)1Следовательно, физический смысл функции тока заключается в том, что она равнаобъёмному расходу жидкости между данной поверхностью тока и той поверхностью тока,для которой функция тока принята равной 0.4.3.
Потенциал скорости.Поле скоростей называется потенциальным, если в исследуемой области координатсуществует скалярная функция двух переменных ϕ ( x, y ) , для которой выполняютсясоотношения:∂ϕ∂ϕ(30)Vx =Vy =∂x∂yФункцию ϕ ( x, y ) называют потенциалом поля скоростей (потенциалом скоростей).Потенциал скоростей является однозначной функцией координат и определяется сточностью до постоянной. Изопотенциальные линии ϕ ( x, y ) = сonstи линии токаΨ ( x, y ) = const в любой точке плоскости течения взаимно ортогональны.Потенциальное поле скоростей является безвихревым.11Из соотношений (24) и (30) следует выполнение условий Коши-Римана:∂ϕ ∂Ψ∂ϕ∂Ψ=и=−,∂x ∂y∂y∂xв силу которых комплексная функцияW ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + i ⋅ Ψ ( x, y )(31)(32)является не просто и не только функцией двух переменных (координат x , y ) , но и функциейодной комплексной переменной z :W ( z ) = ϕ + i ⋅ Ψ , гдеz = x+i ⋅ y(33)Комплексную функцию W (z ) называют комплексным потенциалом.
Плоскость0xyзначений комплексной переменной z называют физической плоскостью или плоскостьютечения.4.4. Комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра.Комплексный потенциал бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра радиуса Rпотоком со скоростью на бесконечности Vo = Vo ⋅ e iΘ = Vo ⋅ (cos Θ + i ⋅ sin Θ) , с углом атакиΘ , равенVo ⋅ R 2(34)W ( z ) = Vo ⋅ z +zКомплексный потенциал бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра радиуса Rпотоком вдоль оси Ох ( Θ = 0 ) равен:W ( z ) = Vo ⋅ z +Из (33) следуют очень важные формулы:Vo ⋅ R 2R2= Vo ⋅ ( z +)zz(35)ϕ = Re(W ( z )); ψ = Im(W ( z )) ,(36)которые позволяют найти функцию Ψ ( x, y ) = const и вычислить траектории частицжидкости.4.5.
Преобразование Н.Е.Жуковского.Конформным преобразованием называют математическое отображение одной фигуры(области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым угломпервой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом.Если отобразить конформно внешнюю область сечения кругового цилиндра навнешность поперечного сечения профиля крыла, эллиптического цилиндра или пластины, толинии тока для случая кругового цилиндра перейдут в линии тока при обтекании крыла,эллипса, пластины.Знание отображающей функции позволяет подсчитать скорость в любой точке,вычислить подъёмную силу крыла самолёта и т.
д. Именно таким путём шёл Н. Е.Жуковский, создавая теорию крыла самолёта. При рассмотрении задачи обтекания пометоду конформных преобразований на отображающую функцию необходимо наложитьдополнительные требования:12- бесконечно удалённая точка вспомогательной плоскости должна соответствоватьбесконечно удалённой точке в физической плоскости; и- направления скорости на бесконечности (угол Θ ) во вспомогательной плоскости и вфизической плоскости должны совпадать.Конформное преобразование внешней области кругового цилиндра на внешностьзамкнутого профиля в физической плоскости, которое было предложено Н.Е.Жуковским ииспользовано С.А.Чаплыгиным в 1910 году, имеет вид:c21(37)z = ⋅ (ς + )2ς5. Описание экспериментального стенда.5.1. Схема экспериментального стендаСтенд состоит из лотка Хил-Шоу, насосной станции, узла подачи индикаторной жидкости иизмерительных приборов.
Лоток Хил-Шоу состоит из корпуса 1 с входным 2 и выходным 3коллекторами, двух стёкол 4 и 5. Для лотка применены стёкла высокого качествапостоянной толщины, изготовленные по специальной технологии. Размеры стекла равны270 х 370 мм, рабочая область течения равна 250 х 350 мм. Между стёклами установленыпрокладки и исследуемая модель 6. Модели изготавливают из листа резины толщиной 1 мм.Во входном коллекторе 2 корпуса предусмотрен штуцер 7 для ввода воды из насоснойстанции и медицинские иглы 8 для ввода индикаторной жидкости в зазор между стёклами. Ввыходном коллекторе 3 корпуса предусмотрен штуцер 9 для отвода воды кциркуляционному насосу.Насосная станция состоит из приёмного бака 10, электронасоса 11 и соединительныхшлангов.Узел подачи индикаторной жидкости состоит из набора стеклянных колб 12, каждая изкоторых соединена шлангом с группой медицинских игл 8.
Колбы заполненыиндикаторной жидкостью и закреплены на штативе с помощью зажимов.13Общий вид экспериментального стендаРабочее поле14Узел подачи индикаторной жидкостиНасосная станция155.2. Измерительные приборы:- мерная линейка,- электронный термометр5.3. Измеряемые величины.- Температура воды, протекающей через лоток.- Координаты траекторииКинематическую вязкость воды можно вычислить по приближённой формуле взависимости от температуры воды (http://www.highexpert.ru/) :1,78 ⋅ 10 −6ν =1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 26.(38)Лабораторная работа № 1.Комплексный потенциал и траектории обтекания кругового цилиндра.6.1.
Цель и задачи работы.Цель лабораторной работы - показать экспериментально, что линии тока ψ = constкомплексного потенциала обтекания кругового цилиндра совпадают с траекториями влотке Хил-Шоу для одинаковых значений координат на границе и радиуса цилиндра.Задачи лабораторной работы:Выполнить визуализацию картины обтекания кругового цилиндра равномерным потокомводы, направленным вдоль оси 0х (ламинарный режим, «ползущее течение»).Получить экспериментально координаты траектории обтекания кругового цилиндра,результаты измерений представить в табличной и графической форме.Вычислить теоретическую траекторию обтекания кругового цилиндра для условий опытаи провести сравнение экспериментальных и вычисленных значений.6.2. Вычисление траекторий бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра радиусаR потоком вдоль оси Ох ( Θ = 0 )Выделим действительную и мнимую части комплексного потенциала (35):Vo ⋅ R 2 ⋅ ( x − i ⋅ y )W ( x, y ) = Vo ⋅ x + Vo ⋅ i ⋅ y +=( x + i ⋅ y )( x−i ⋅ y )R2R2Vo ⋅ x ⋅ (1 + 2Voy)i(1)+⋅⋅⋅−x + y2x2 + y216(39)Потенциал скорости и функция тока (см.
формулы 36):ϕ ( x, y ) = x ⋅ (1 +R2R2)⋅;(,)=⋅(1−) ⋅ VoVoxyyψx2 + y2x2 + y2(40)Уравнение траектории (ψ = const ), проходящей через точку ( x0 , y 0 ):ψ ( x, y ) = y ⋅ (1 −R2R2Voy)⋅=⋅(1−) ⋅ Vo0x2 + y2x02 + y 02(41)или:R2R2222y − y 0 ⋅ (1 − 2) ⋅ y + ( x − R ) ⋅ y − y 0 ⋅ (1 − 2) ⋅ x2 = 022x0 + y 0x0 + y 03(42)Для отыскания корней уравнения (42) при выбранных значениях координат ( x0 , y 0 и x)рекомендуется использовать MathCAD http://www.mathcad.com, раздел «Поиск корнянелинейного алгебраического уравнения». В качестве начального значения рекомендуетсявыбирать y = R при положительных значениях y0 и y = − R пи отрицательныхзначениях y0 .
Можно также использовать один из общеизвестных способов решениякубического уравнения.505045K1( di)40K2( di)3530Ω1( di)25Ω2( di)2015Ω3( di)10Ω4( di)5− Ω1( di)0−5− Ω2( di)− 10− 15− Ω3( di)− 20− Ω4( di)− 25− 30− 35− 40− 50 − 45− 50− 100− 80− 60− 40− 20− 10002040di6.3. Подготовка к выполнению работы.Изготавливают и устанавливают модель заданной формы и размера.Включают насос и дожидаются стационарного режима течения воды.Вычисляют приведенное число Рейнольдса (должно быть менее 1)с использованием формул (38 и 2).1760801001006.4.
Выполнение работыОткрывают кран на шланге подачи краски в лоток через выбранную колбу и несколькоигл и ждут, пока в лотке появятся полные, равномерной насыщенности, траектории.С помощью мерной линейки измеряют и записывают координаты входа краски ( x0 , y 0 ) икоординаты всей траектории ( x, y ) не менее, чем для 10 положительных и отрицательныхзначений абсциссы.Приступают к обработке результатов измерений и оформлению отчёта.6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
