Добавления к лекциям 4 семестр - Балашов, страница 2

Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà ÔóðüåÍàïîìíèì, ÷òî ïîäìíîæåñòâî S ⊂ X íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ âïîëíå îãðàíè÷åííûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ {si }Ni=1 ⊂ S òàêèõ, ÷òî äëÿ âñÿêîãîs ∈ S íàéäåòñÿ íîìåð i = i(s) ∈ {1, . . . , N } òàêîé, ÷òî ks − si k < ε.Òåîðåìà 1.

Ïóñòü E ⊂ [−π, π], f ∈ C ∗ [−π, π] è âûïîëíåíî óñëîâèå¯Zδ ¯¯ f (x + t) − f (x) ¯¯ dt < ε.¯¯¯2 sin 2t∀ε > 0 ∃δ ∈ (0, π) ∀x ∈ E(6)−δÒîãäà Sn (f, x) ⇒ f (x), n → ∞, x ∈ E .Íàïîìíèì, ÷òî C ∗ [−π, π] åñòü ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé, ó êîòîðûõ çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ π è −π ñîâïàäàþò.12Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîäîëæèì ôóíêöèþ f 2π -ïåðèîäè÷íî íà R. Çàôèêñèðóåì ε > 0 è ñîîòâåòñòâóþùåå δ > 0 èç óñëîâèÿ (6). Ïîêàæåì,÷òî ìíîæåñòâî ôóíêöèéϕx (t) =f (x + t) − f (x), x ∈ E, t ∈ [δ, π],2 sin 2tâïîëíå îãðàíè÷åíî.  ñèëó ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè f íà îòðåçêå[−π, π] ñóùåñòâóåò σ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, y ∈ [−π, π] : |x − y| < σâûïîëíåíî íåðàâåíñòâîδ|f (x) − f (y)| < ε · sin .2(7)Âûáåðåì σ -ñåòü {xi }Ni=1 ìíîæåñòâà E , ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Eíàéäåòñÿ ÷èñëî xi òàêîå, ÷òî |x − xi | < σ , ïîýòîìó|ϕx (t) − ϕxi (t)| =≤|f (x + t) − f (x) − f (xi + t) + f (xi )|≤2 sin 2t|f (x + t) − f (xi + t))| + |f (x) − f (xi )|<ε2 sin 2tíåçàâèñèìî îò t.

Èòàê, {ϕxi (t)}Ni=1 ε-ñåòü ìíîæåñòâà {ϕx (t)}x∈E âíîðìå ïðîñòðàíñòâà C[−π, π].Èç ñõîäèìîñòè Sn (f, xi ) → f (xi ) ïðè âñåõ i (ïî ïðèçíàêó Äèíè)âûòåêàåò, ÷òî íàéäåòñÿ M ∈ N òàêîå, ÷òî|Sn (f, xi ) − f (xi )| < ε(8)ïðè n > M è ïðè âñåõ i.Ôèêñèðóåì x ∈ E , à òàêæå ÷èñëî xi òàêîå, ÷òî |x−xi | < σ è |ϕx (t)−ϕxi (t)| < ε äëÿ âñåõ t ∈ [δ, π].|Sn (f, x) − f (x)| ≤≤ |Sn (f, x) − Sn (f, xi )| + |Sn (f, xi ) − f (xi )| + |f (xi ) − f (x)|.Èç íåðàâåíñòâà |x − xi | < σ èìååì |f (x) − f (xi )| < ε, à|Sn (f, x) − Sn (f, xi )| ≤¯¯Zδ ¯Zδ ¯¯ f (xi + t) − f (xi ) ¯¯ f (x + t) − f (x) ¯¯¯ dt+¯¯≤ ¯¯ dt + ¯¯2 sin 2t2 sin 2t−δ−δ¯ π¯¯ Z¯µ¶¯1¯1f(x+t)−f(x)−f(x+t)+f(x)ii¯.+ ¯¯sinn+tdtt¯22 sin 2¯π¯δ13(9)Ïåðâûå äâà ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåé ôîðìóëû íå ïðåâîñõîäÿòε â ñèëó óñëîâèÿ (6), à òðåòèé ÷ëåí ñ ó÷åòîì îöåíêè (7) íå áîëåå 12 ε.Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì îöåíêè (8) èç ôîðìóëû (9) âûòåêàåò îöåíêà|Sn (f, x) − f (x)| < 3ε,∀x ∈ E, ∀n > M.Óïðàæíåíèå 2.

Äîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà âåðíà ïðè çàìåíå C ∗ [−π, π]íà C[−π, π].Íà ñàìîì äåëå òåîðåìà îñòàåòñÿ âåðíîé, åñëè âìåñòî íåïðåðûâíîñòèôóíêöèè f íà îòðåçêå [−π, π] òðåáîâàòü åå àáñîëþòíóþ èíòåãðèðóåìîñòü (îñòàëüíûå óñëîâèÿ òåîðåìû äîëæíû áûòü âûïîëíåíû). Îäíàêîäîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî ïîñîáèÿ. Ïîäðîáíîñòè ìîæíî íàéòè â [2].4. Ðàâåíñòâî ïàðàëëåëîãðàììàÅñëè ëèíåéíîå âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâîp E åâêëèäîâî, òî íîðìó âE ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü ïî ïðàâèëó kxk = (x, x), ∀x ∈ E .

Ïðîâåðüòå,÷òî èç àêñèîì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (·, ·) âûòåêàþò àêñèîìû ââåäåííîé íîðìû.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y ïðîñòðàíñòâà Eâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ïàðàëëåëîãðàììà:kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .(10)Ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ìû ïîñòðîèì ïàðàëëåëîãðàìì ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ 0, x, y , x + y , òî ñóììà êâàäðàòîâ äëèí åãî ñòîðîí(2kxk2 + 2kyk2 ) ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ äëèí åãî äèàãîíàëåé, òî åñòükx + yk2 + kx − yk2 .Çàìå÷àòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ðàâåíñòâî (10) äëÿ ëþáûõýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî âåùåñòâåííîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà Eîçíà÷àåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî E åâêëèäîâî, à ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåìîæíî ââåñòè, íàïðèìåð, ïî ôîðìóëå(x, y) =1(kx + yk2 − kx − yk2 ),4∀x, y ∈ E.(11)Òåîðåìà 2 (ôîí Íåéìàí).

Ïóñòü E ëèíåéíîå âåùåñòâåííîå íî-ðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, ïðè÷åì äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è y èç Eâûïîëíÿåòñÿ ôîðìóëà (10). Òîãäà ïðîñòðàíñòâî E åâêëèäîâî, ïðè÷åìñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïî ôîðìóëå (11).14Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ôîðìóëå(11).pÍåïðåðûâíîñòü ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, ñèììåòðè÷íîñòü è ñâîéñòâî (x, x) = kxk (äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ) î÷åâèäíî. Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî(x, x) ≥ 0 ïðè âñåõ x ∈ E è ðàâåíñòâî íóëþ âîçìîæíî ëèøü ïðè x = 0.Îñòàëîñü ïîêàçàòü ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó.Ïóñòü x, y è z ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû E .

Èç ðàâåíñòâà ïàðàëëåëîãðàììà2kx + zk2 + 2kyk2 = kx + y + zk2 + kx − y + zk2 ,âûòåêàþò ðàâåíñòâàkx + y + zk2 = 2kx + zk2 + 2kyk2 − kx − y + zk2 == 2ky + zk2 + 2kxk2 − ky − x + zk2(âòîðîå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî çàìåíîé x ↔ y ). Áåðÿ ïîëóñóììó äâóõ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷àåìkx + y + zk2 == kxk2 + kyk2 + kx + zk2 + ky + zk2 −− 12 kx2− y + zk −12 ky(12)2− x + zk .Çàìåíÿÿ â ïîñëåäíåé ôîðìóëå z ↔ −z , íàõîäèìkx + y − zk2 == kxk2 + kyk2 + kx − zk2 + ky − zk2 −− 12 kx2− y − zk −12 ky(13)2− x − zk .Çàìåòèì, ÷òî, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (12) è (13),¡¢(x + y, z) = 14 kx + y + zk2 − kx + y − zk2 =¡¢¡¢= 14 kx + zk2 − kx − zk2 + 14 ky + zk2 − ky − zk2 == (x, z) + (y, z).Èòàê, äîêàçàíà ôîðìóëà(x + y, z) = (x, z) + (y, z)(14)äëÿ âñåõ x, y, z ∈ E .Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî λ ∈ R è äëÿ âñÿêèõ x, y ∈ E âûïîëíåíîðàâåíñòâî (λx, y) = λ(x, y).

Ýòî çàâåðøèò äîêàçàòåëüñòâî.15Åñëè λ = −1 èëè λ = 0, òî ðàâåíñòâî (λx, y) = λ(x, y) âûòåêàåò èçôîðìóëû (11).Ïóñòü λ = pq , ãäå p, q ∈ N. Ïîëîæèì x1 = 1q x. Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òîq(λx, y) = q(px1 , y),ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (14)q(px1 , y) = p(qx1 , y) = p(x, y).Èòàê,q(λx, y) = p(x, y),ò.å. (λx, y) = λ(x, y),µ¶pλ=.qÄëÿ ôèêñèðîâàííûõ x, y ∈ E íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ t → 1t (tx, y)ðàâíà (x, y) ïðè t ∈ Q\{0}, à çíà÷èò (â ñèëó íåïðåðûâíîñòè), è äëÿâñåõ t ∈ R\{0}.Óïðàæíåíèå 3∗ . Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî E ëèíåéíîå êîìïëåêñíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî (ïîëå ñêàëÿðîâ C).

Ïóñòü äëÿ ëþáûõýëåìåíòîâ x, y ∈ E âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (10). Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â E ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå3(x, y) =1X ki kx + ik yk24(15)k=0(i ìíèìàÿ åäèíèöà). Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà (15) äåéñòâèòåëüíîçàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, â ÷àñòíîñòè âûïîëíåíî (ix, y) = i(x, y)è (x, y) = (y, x) äëÿ âñåõ x, y ∈ E . Çäåñü a + ib = a−ib äëÿ âñåõ a, b ∈ R.5. Òåîðåìà Ôåéåðà â RL1Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîé 2π -ïåðèîäè÷åñêîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (ò.å. äëÿ f ∈ C ∗ [−π, π]) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Ôåéåðàσn+1 (f, x) =S0 (f, x) + S1 (f, x) + · · · + Sn (f, x)n+1(16)(çäåñü Sn (f, x) n-ÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f â òî÷êåx) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà îòðåçêå [−π, π].Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òàêîå æå óòâåðæäåíèå ìîæíî äîêàçàòü äëÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé.16Òåîðåìà 3. Ïóñòü f ∈ RL1 [−π, π], è îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòèσn (f ) = σn+1 (f, x), ñì.

(16). ÒîãäàZπkf − σn (f )k1 =|f (x) − σn+1 (f, x)| dx → 0,n → ∞.−πÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà,òî êîýôôèöèåíòû Ôóðüå, à çíà÷èò è ñóììû Ôåéåðà, îïðåäåëåíû êîððåêòíî.Çàôèêñèðóåì ε > 0. Ïðîäîëæèì f 2π -ïåðèîäè÷íî íà R.  ñèëóïëîòíîñòè C ∗ [−π, π] â RL1 [−π, π] îòíîñèòåëüíî k · k1 -íîðìû [1, ëåììà2, Ÿ 9, ñ. 135], íàéäåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ g ∈ C ∗ [−π, π], ÷òîkf − gk1 < ε.(17)Èç ôîðìóëû (16)Zπσn+1 (f, x) =f (x + t)Fn+1 (t) dt,−πãäå ôóíêöèÿFn+1 (t) =1 − cos(n + 1)t4π(n + 1) sin2 2tåñòü ÿäðî Ôåéåðà. Òîãä௯¯Rπ ¯¯ Rπ¯kσn (f ) − f k1 =¯ (f (x + t) − f (x))Fn+1 (t) dt¯ dx.¯¯−π −πÈç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ïîëó÷àåì, ÷òîkσn (f ) − f k1 ≤ kf − gk1 + kg − σn (g)k1 + kσn (f ) − σn (g)k1 .(18)Èç íåðàâåíñòâî kg − σn (g)k1 ≤ 2πkg − σn (g)kC è òåîðåìû Ôåéåðà äëÿíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé âûòåêàåò kg − σn (g)k1 ≤ 2πkg − σn (g)kC → 0ïðè n → ∞ (ïðîâåðüòå!).

Çíà÷èò, íàéäåòñÿ íîìåð Nε òàêîé, ÷òî ïðèâñåõ n > Nε âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîkg − σn (g)k1 < ε.17(19)Îöåíèì òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (18):kσn (f¯) − σn (g)k1 =¯¯Rπ ¯¯ Rπ¯=¯ (f (x + t) − g(x + t))Fn+1 (t) dt¯ dx ≤¯¯−π −π¯¯¯¯Rπ¯ Rπ¯≤|f (x + t) − g(x + t)| dx ¯ Fn+1 (t) dt¯ =¯−π¯−πRπ=|f (x + t) − g(x + t)| dx.−π ñèëó 2π -ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèé f è g èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïðåäûäóùåé îöåíêè íå çàâèñèò îò t è ðàâåíZπ|f (x) − g(x)| dx = kf − gk1 < ε−πñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (17). Âñïîìèíàÿ (19), ïîëó÷àåì, ÷òîkσn (f ) − f k1 < 3εïðè âñåõ n > Nε . êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ äîêàçàííîé òåîðåìû ðåøèì çàäà÷ó.

Ïóñòüôóíêöèè f, g ∈ RL1 [−π, π] èìåþò îäèíàêîâûå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå{ak , bk }. Òîãäà ýòè ôóíêöèè íåðàçëè÷èìû êàê ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâàRL1 [−π, π], ò.å. kf − gk1 = 0.Äåéñòâèòåëüíî, èç ðàâåíñòâà êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå âûòåêàåò, ÷òîσn (f ) = σn (g) = σn , ïîýòîìókf − gk1 ≤ kf − σn k1 + kg − σn k1 → 0ïðè n → ∞.

Çíà÷èò, kf − gk1 = 0.Óïðàæíåíèå 4. Ïóñòü f ∈ RL2 [−π, π]. Âåðíî ëè, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Ôåéåðà σn (f ) ñõîäèòñÿ ê f â ñìûñëå íîðìû RL2 ?6. Òåîðåìà Ìþíöà íà÷àëå 20 âåêà Ã. Ìþíö ïîëó÷èë çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò î òîì,êàêèì íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì îáÿçàíà óäîâëåòâîðÿòüñèñòåìà ñòåïåíåé â C[0, 1], ÷òîáû áûòü â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ïîëíîé.Ìû âîñïðîèçâåäåì åãî â ýòîì ðàçäåëå.18Äëÿ íà÷àëà îïðåäåëèì ÷åðåç P (e1 , . . . , ek ) ïàðàëëåëåïèïåä, íàòÿíóòûé íà âåêòîðû e1 , .

. . , ek . Ïóñòü òàêæå [e1 , . . . , ek ] åñòü ëèíåéíàÿîáîëî÷êà âåêòîðîâ e1 , . . . , ek .Ëåììà 1. Ïóñòü äàíû ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû e1 , . . . ,ekâ åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà k -ìåðíûé îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäàP (e1 , . . . , ek ) (ìåðà Æîðäàíà ìíîæåñòâà P (e1 , . . . , ek ) êàê ìíîæåñòâà èç Rk ) åñòüpµk P (e1 , . .

. , ek ) = det ||(ei , el )||.Çäåñü ÷åðåç ||(ei , el )|| îáîçíà÷åíà ìàòðèöà, ó êîòîðîé (i, l)-é ýëåìåíòåñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (ei , el ), i, l ∈ 1, k .Äîêàçàòåëüñòâî.  ëèíåéíîé îáîëî÷êå [e1 , . . . , ek ], êîòîðàÿ èçîìîðôíà Rk , ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ðàññìîòðèì íîâûéîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ f1 , . . . , fk ; ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîkP[e1 , . . .

, ek ] = [f1 , . . . , fk ]. Òîãäà ei =αij fj äëÿ âñåõ i ∈ 1, k . Îòñþäàj=1ïî ôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííûõµk P (e1 , . . . , ek ) = det A,ãäå A = ||αij ||, i, j ∈ 1, k . ÏîñêîëüêókkkXXXαij fj ,αlj fj  =(ei , el ) = αij αlj = (AAT )il ,j=1j=1j=1òî AAT = ||(ei , el )||, è det (AAT ) = (det A)2 = det ||(ei , el )||, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû A áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç det Aèëè ÷åðåç |A|.Ëåììà 2.