Физика твёрдого тела 2 (Физика твёрдого тела (пособие))

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ ИАВТОМАТИКИА.И.МорозовФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛАЭлектроны в кристалле. Металлы. Полупроводники.Диэлектрики. Магнетики. СверхпроводникиУчебное пособиеМосква 20142ВведениеДанное учебное пособие является продолжением учебного пособия«Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы» (далее I). Внем рассмотрены свойства свободного электронного газа и поведениеэлектронов в периодическом потенциале кристаллической решетки, а также физические свойства металлов, полупроводников, диэлектриков, магнитоупорядоченных веществ и сверхпроводников.

Изучены процессы экранирования. На основе кинетического уравнения Больцмана исследованыкинетические явления в металлах и полупроводниках. Читатель познакомится в рамках модели Хаббарда с теорией фазового перехода металлдиэлектрик, а также с явлением андерсоновской локализации. Пособиепредназначено для бакалавров следующих направлений подготовки:210100.62 «Электроника и наноэлектроника» и 222900.62 «Нанотехнологии и микросистемная техника».3Глава 1. Электронный газ1.1. Модель желеПриступим к изучению свойств электронов в кристаллической решетке.

Напомним, что при изучении динамики решетки мы исходили изадиабатического приближения, то есть считали, что распределение электронной плотности соответствует минимуму энергии кристалла при заданных положениях ядер составляющих его атомов или ионов.В данной главе будем пренебрегать кулоновским взаимодействиемэлектронов друг с другом. Для начала рассмотрим модель желе.

Согласноэтой модели, положительный заряд ионных остовов, каждый из которыхпредставляет собой ядро атома в окружении электронов внутренних заполненных оболочек, предполагается размазанным по объему кристалла спостоянной плотностью. Такой положительный фон обеспечивает электронейтральность кристалла, не нарушая его однородности даже на микроуровне.

Для электронов внешних частично заполненных оболочек кристалл представляет в модели желе трехмерную потенциальную яму.Состояния электрона в этой яме характеризуются волновым вектором k и описываются волнами де-Бройля:  (k )t  c exp(ik r  i),(1.1)где  (k )   2 k 2 / 2m - энергия электрона, m - его масса, r и t - координатаи время,  - постоянная Планка. Аналогично случаю упругих волн (I, глава 6), используем периодические граничные условия для волн де-Бройля.В результате получим разрешенные значения волновых векторов. В случаекристалла в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами Lx , Ly иLz222n ; kz (1.2)kx l ; ky p,LyLxLzгде l , n, p - целые числа.Электроны являются ферми-частицами со спином 1/2 (в единицах ).

В отсутствие внешнего магнитного поля и магнитного упорядочениясостояние электронов с заданным волновым вектором k оказывается двукратно вырожденным по величине проекции спина на выделенную ось z:s z  1 / 2 . Число состояний dN , приходящихся на объем d 3k в пространстве волновых векторов равно4Vd 3kdN k (2s  1) ,(2 )3(1.3)где V - объем кристалла.Если перейти от волнового вектора к импульсу электрона p  k , тодля числа состояний в объеме d 3 p в пространстве импульсов получим3VdpdN p (2s  1) .(2)3(1.4)Поскольку энергия свободного электрона   p 2 / 2m , то после замены переменной p  (2m )1 / 2 в (1.4) получаем число электронных состояний в интервале энергий от  до   d .dN V (2 m3 )1/ 2 d 23,(1.5)здесь учтено, что 2s  1  2 .Ведем, аналогично случаю фононов, понятие плотности электронных состояний  ( ) : ( ) 1 dN (2m3 )1 / 2.V d 2 3(1.6)Она представляет собой число электронных состояний, приходящееся наединичный интервал энергий в кристалле единичного объема.Рассмотрим теперь, как заполнены электронные состояния при Т=0.Для ферми-частиц справедлив принцип Паули, который гласит: в данномсостоянии, задаваемом полным набором квантовых чисел, может находиться не более одной частицы.При температуре, равной нулю, система находится в основном состоянии, то есть в состоянии с наименьшей энергией.

Есть простейшийрецепт получения этого состояния: будем последовательно заполнятьэлектронами состояния, начиная с состояния с наименьшей энергией. Поскольку энергия электрона монотонно возрастает с величиной волновоговектора (импульса), то к моменту, когда электроны иссякнут, окажутся заполненными все состояния с волновым вектором k  k F , где величину k Fназывают фермиевским волновым вектором электронов, а соответствующую величину импульса pF  k F - фермиевским импульсом. В простран-5стве волновых векторов окажутся заполненными все состояния внутрисферы радиусом k F , называемой сферой Ферми.

Граничная энергия, разделяющая заполненные и пустые состояния, называется энергией Ферми: 2 k F2 pF2.F 2m2m(1.7)Найдем связь этой энергии с концентрацией свободных электронов вкристалле ne .Число состояний с энергией    F в единице объема равноF ( )d . Поскольку оно равно концентрации электронов ne , то0(2m3 )1 / 2  F 1 / 2  d  ne , 2 30(1.8)откуда(2m F )3 / 2 3 2 ne3(1.9)2F (3 2 ne ) 2 / 3 .2m(1.10)иХарактерное значение ne в металле равно 3·1028 м-3, и из (1.10) получаем оценку для величины  F :  F ~3 эВ.Эта энергия намного превосходит тепловую энергию Т во всей области существования кристаллического состояния (вплоть до температурыплавления Т0~0,1 эВ).

Поэтому электронный газ в металле называют сильно вырожденным. Характерные значения k F , p F и фермиевской скоростиэлектронов vF  pF / m равны, соответственноk F  (3 2 ne )1 / 3  1010 м-1,pF  k F  1024 кг м/с,vF  pF / m  106 м/с.Найдем связь между плотностью электронных состояний на поверхности Ферми  ( F ) и величинами  F и ne6 ( F ) (2m3 F )1/ 2233ne.2 F(1.11)1.2.

Теплоемкость электронного газаПри температуре Т≠0 равновесное распределение электронов по состояниям описывается распределением Ферми-Дирака. Среднее числофермионов в состоянии с энергией  F0 ( ) , оно же вероятность заполнения этого состояния, равно1F0 ( ) ,(1.12) exp() 1Tгде  (T ) - химический потенциал электронов. Зависимость  от температуры находится из условия нормировки.

Действительно, величина  ( )d- число состояний с энергией в интервале ( ,   d ) в единице объемакристалла, аdne  F0 ( ) ( )d- число электронов в данном интервале энергий. Интегрируя по всем значениям энергии, получим полное число электронов в единице объема:ne   F0 ( ) ( )d .(1.13)0Выражение (1.13) представляет собой условие нормировки, определяющеенеявную зависимость  (T ) . При T  01, если    ,.F0 ( )  0,если(1.14)Следовательно,  (T  0)   F .

Характерная зависимость F0 ( ) приведенана рис.1. Легко видеть, что при T   F происходит слабое размытие ферми-ступеньки на ширину порядка Т, то есть электроны из состояний, лежащих ниже  F , возбуждаются в состояния с энергией, превосходящейF .7F012FРис.1.Распределение Ферми-Дирака. Кривые 1 и 2 соответствуютслучаям T  0 и T  0 .Доля электронов, повышающих свою энергию, составляет по порядку величины T /  F . Каждый из них увеличивает свою энергию на величину порядка Т. Потому увеличение энергии единицы объема E порядкаE  TTFne neT 2F.(1.15)Исходя из этой формулы, оценим величину теплоемкости единицыобъема электронного газаTn E (1.16)CV     e , T V  Fи удельную теплоемкостьcV  CV /  Tne F,(1.17)где  - плотность вещества кристалла.Удельная теплоемкость классического одноатомного газа с той жеконцентрацией частиц равнаc~V  3ne / 2 .Таким образом, рассчитанная в рамках квантовой теории теплоемкость электронного газа по порядку величины оказывается в T /  F разменьше предсказанной классической физикой.8Если предположить, что на каждый атом металла приходится одинсвободный электрон, то теплоемкость металла в расчете на один атом вобласти температур T   D (  D - температура Дебая), согласно предсказаниям классической теории, должна была бы в полтора раза превосходитьсоответствующее значение для диэлектрика.Однако ничего подобного в эксперименте не наблюдается.

Именноэто послужило одним из аргументов в пользу необходимости описанияэлектронного газа на языке квантовой физики.Формула (1.16) дает только оценку по порядку величины для электронного вклада в теплоемкость кристалла. Для получения численного коэффициента потребуются существенно более громоздкие математическиевыкладки. При их проведении мы не будем использовать конкретный видзакона дисперсии электронов, поэтому полученные результаты будутсправедливы не только в модели желе.Рассмотрим вначале способ вычислений интегралов видаI   g ( ) F0 ( )d ,(1.18)0где g ( ) - степенная функция  , которая вблизи    F существенно изменяется на характерных масштабах порядка  F  T .Пусть G( ) - первообразная функции g ( )G ( )   g ( x)dx .(1.19)0Возьмем интеграл (1.18) по частямI   F0 ( )dG ( )  G( ) F0 ( )00  G( )dF0 ( ) .(1.20)0Первое слагаемое в (1.20) обращается в нуль, так как при   0G  0 , а при    экспоненциальное убывание F ( ) является определяющим.

Окончательно F (1.21)I   G ( )  0 d .09 F Величина   0  отлична от нуля в интервале шириной порядка Т  вблизи  и экспоненциально убывает за пределами этой области. Поэтомуфункцию G( ) можно разложить в ряд Тейлора вблизи точки    , а область интегрирования по переменной z     расширить от ( , ) до(, ) . Тогда1(1.22)G( )  G(  )  G(  )(   )  G(  )(   ) 2  ...,2 F I  G (  )F0 (0)  F0 ()  G(  )  z  0 dz z  1 F  G(  )  z 2   0 dz  ....2 z (1.23)F0является четной функцией z , то второе слагаемое вz(1.23) равно нулю (подынтегральное выражение нечетно).