Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).pdf), страница 8

4.— P. 12.- 41 -ют сложную символику методом, легко доступным широкому кругулюдей, то ее история в значительной мере еще темна. Есть основаниепредполагать, что как индийцы, так и греки познакомились с нею накараванных путях, которые вели через Вавилон. Нам известно также, чтоарабы говорили о ней как об индийском изобретении. Однако вавилонскаятрадиция могла повлиять на все позднейшее распространение поместнойсистемы.5. Следующая группа клинописных текстов относится ко времени первойвавилонской династии, когда в Вавилоне правил царь Хаммурапи (около1950 г. до н. э.) и семитское население подчинило себе исконных жителей —шумеров.

В этих текстах мы видим, что арифметика развилась в хорошоразработанную алгебру. Египтяне того же периода были в состоянии решатьтолько простые линейные уравнения, а вавилоняне времен Хаммурапиполностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решалилинейные и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали дажезадачи, сводящиеся к кубическим и к биквадратным уравнениям. Такиезадачи они формулировали только при определенных числовых значенияхкоэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомненияотносительно того, что они знали общие правила.Приведем пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.«Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000.Сторона одного из квадратов составляет 2/3 стороны другого квадрата,уменьшенные на 10.

Каковы стороны квадратов?»Это приводит к уравнениям х2 + y2 =1000, у=2/3• x — 10, решениекоторых сводится к решению квадратного уравнения13/9 x2–40/3 x –900=0имеющему положительный корень х = 30.В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как иво всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления,необходимого для решения квадратного уравнения:«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» ит.д.Резко выраженный арифметико-алгебраический характер вавилонскойматематики проявляется и в геометрии. Как и в Египте, геометрияразвивалась на основе практических задач измерения, но геометрическаяформа- 42 -задачи обычно является только средством для того, чтобы поставитьалгебраический вопрос.

Предыдущий пример показывает, как задачаотносительно площади квадрата приводит к нетривиальной алгебраическойпроблеме, и этот пример не составляет исключения. Тексты показывают, чтовавилонская геометрия семитского периода располагала формулами дляплощадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел, хотяобъем усеченной пирамиды еще не был найден. Так называемая теоремаПифагора была известна не только для частных случаев, но и в полнойобщности.

Основной чертой этой геометрии был все же ее алгебраическийхарактер. Это в равной мере относится и ко всем позднейшим текстам,особенно к текстам третьего периода, от которого до нас дошло немалое ихчисло,— эпохи нововавилонской, персидской и эпохи Селевкидов(примерно от 600 г. до н. э. до 300 г. н. э.). Тексты этого последнего периодаобнаруживают значительное влияние вавилонской астрономии, которая вэто время приобретает характер настоящей науки, что сказывается втщательном анализе различных эфемерид. Вычислительная техникаматематических текстов становится еще более совершенной; алгебрасправляется с задачами на уравнения, для которых требуется значительноевычислительное искусство. От эпохи Селевкидов дошли вычисления,которые доведены до семнадцатого шестидесятичного знака. Столь сложныевычислительные работы уже нельзя связывать с вычислением налогов илиизмерением — стимулом для них были астрономические задачи или простолюбовь к вычислениям.Многое в этой вычислительной арифметике выполнялось с помощьютаблиц, в наборе которых есть и простые таблицы для умножения, итаблицы обратных величин, квадратных и кубических корней.

В одной изтаблиц имеется ряд чисел вида п3 + п2, которым, повидимому, пользовалисьдля решения кубических уравнений вида х3 + х2 = а. В них содержатсянекоторые превосходные приближения: √2≈ дается 1 5/12 (√2≈1.4142, 15/12≈ 1.4167)1), для 2/√2≈0.7071 дается 17/24≈0.7083. Видимо, квадратныекорпи определялись по формуле') Neugebauer О. Exact Sciences in Antiquity // Univ. of Pennsylvania BicentennialConference, Studies in Civilization, Philadelphia, 1941.— P. 13—29.- 43 -наподобие следующей:A  a2  h  a h 1A a  2a 2 aЧто касается значения , в большинстве случаев таблички обходятсябиблейским =3.

Есть указания на то, что применялись и лучшиеприближения, дававшие для  значение 3 1/8 1).Уравнение х3+хг=а появляется в задаче, в которой требуется решитьсистему уравнений xyz + ху = 1 + 1/6, y=2/3 x, z=12x, что сводится куравнению(12x)3+(12x)2=252или, согласно таблицам, 12х = 6.В клинописных текстах есть задачи и на сложные проценты. Например,ставится вопрос, за какое время удвоится сумма денег, ссуженная под 20(годовых) процентов. Это приводит к уравнению(1 1/5)x=2, котороерешается так: сначала замечают, что 3 < х < 4, а затем применяют линейнуюинтерполяцию.

В наших обозначениях4 x (1.2) 4  2(1.2) 4  (1.2)3что дает для х значение 4 года минус (2, 33, 20) месяцев.Повидимому, одной из особых причин, вызвавших развитие алгебрыпримерно около 2000 г. до н. э., было то, что новые семитские правителиВавилона использовали прежнее шумерийское письмо. Это письмо, как ииероглифы, было набором идеограмм — каждый знак обозначал отдельноепонятие. Семита воспользовались им для фонетической записи слов своегоязыка и вместе с тем применяли некоторые знаки в их прежнем значении.Следовательно, эти знаки попрежнему выражали понятия, но произносилисьиначе.

Такие идеограммы были вполне пригодны для алгебраическогоязыка, подобно нашим современным знакам +, —, ..., которые вдействительноститожеидеограммы.Ввавилонскихшколакадминистраторов этот алгебраический язык стал частью учебной программына много поколений и, хотя власть') Bruins Е. М, Rutten M. Textes mathematiques de .— Paris, 1961,— P, 18,- 44 -переходила в руки новых правителей — касситов, ассирийцев, мидян,персов, эта традиция оставалась в силе.Самые сложные задачи относятся к более поздним периодам в историидревней цивилизации, а именно, к персидской эпохе и эпохе Селевкидов.

Вте времена Вавилон уже не был политическим центром, но в течение рядастолетий он оставался интеллектуальной столицей обширной империи, вкоторой вавилоняне смешались с персами, греками, евреями, индусами имногими другими народами. Но во всех клинописных текстах виднанепрерывность традиции, что, вероятно, указывает на местнуюнепрерывность развития.Можно быть уверенным в том, что этому развитию способствоваловзаимно обогащавшее общение с другими цивилизациями.

Мы знаем, чтовавилонская астрономия этого периода оказала влияние на греческую и чтовавилонская математика повлияла на вычислительную арифметику. Естьоснования полагать, что вавилонские школы писцов были посредникамимежду наукой Греции и наукой Индии. Мы все еще мало осведомлены ороли персидской и селевкидской Месопотамии в распространениидревневосточной и античной астрономии и математики, но все доступныеданные указывают на то, что эта роль должна была быть значительной.Средневековая арабская и индийская наука опиралась не только на традицииАлександрии, но и на традиции Вавилона.6. Во всей математике Древнего Востока мы нигде не находим никакойпопытки дать то, что мы называем доказательством.

Нет никаких доводов,мы имеем только предписания в виде правил: «делай то-то, делай так-то».Мы не знаем, как там были получены теоремы, например, как вавилонянамстала известна теорема Пифагора. Было сделано несколько попытокобъяснить, как египтяне и вавилоняне получали свои результаты, но все ониявляются только предположениями. Нам, воспитанным на строгих выводахЕвклида, весь этот восточный способ рассуждения кажется па первый взглядстранным и крайне неудовлетворительным. Но такое впечатление исчезает,когда мы уясняем себе, что большая часть математики, которой мы обучаемсовременных инженеров и техников, все еще строится по принципу «делайто-то и делай так-то», без большого стремления к строгости доказательств.Алгебру во многих средних школах все еще изучают не как дедуктивнуюнауку, а скорее как набор правил.

Видимо, восточная математика никогда немогла- 45 -освободиться от тысячелетнего влияния технических проблем и проблемуправления, для пользы которых она и была создана.7. Вопрос о влиянии Греции, Китая и Вавилона имеет глубокое иопределяющее значение для изучения древнеиндийской математики.Коренные ученые Индии и Китая прошлого, а иногда и настоящего времениобыкновенно подчеркивали большую древность их математики, но у них нетматематических текстов, которые можно было бы надежно отнести ковремени до н.

э. Самые древние индийские тексты относятся, пожалуй, кпервым столетиям п. э., самые древние китайские тексты такого же или дажеболее позднего происхождения. Установлено, что древние индусыпользовались десятичной системой счисления без позиционныхобозначений. Такую систему составляли так называемые числа Брахми,имевшие особые знаки для каждого из чисел 1, 2, 3, ..., 9, 10; 20, 30, 40, ...,100; 200, 300, ..., 1000, 2000, ... Эти символы — по меньшей мере эпохикороля Ашока (300 лет до н. э.). Затем мы имеем так называемые«Сульвасутры», часть которых давности 500 лет до н.э.