Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Более того, вэкономическом развитии Двуречье ушло дальше, чем другие страны такназываемого плодородного пояса на Ближнем Востоке, простиравшегося отДвуречья до Египта. Двуречье было перекрестком многочисленныхкараванных путей, тогда как Египет находился сравнительно в стороне. Кэтому надо добавить то обстоятельство, что возделывание почвы в районеблуждающих Тигра и Евфрата требует больше технического искусства ирегулировки, чем в районе Нила, этой «самой добропорядочной из всехрек», если воспользоваться выражением Уильяма Уилкокса. Быть может,дальнейшее изуче') Если только их тщательно сберегать после того, как они откопаны. Многотабличек пропало изза плохого обращения с ними.- 35 -Страница из папируса Райндание древнеиндийской математики обнаружит неожиданные достижения,но пока притязания на это не кажутся достаточно обоснованными.3.
Источником большей части наших сведений об египетской математикеявляются два математических папируса. Один из них – это уже упомянутыйпапирус Райнда, содержащий 84 задачи, второй – так называемыймосковский папирус, который, может быть, на два столетия старше исодержит 25 задач. Эти задачи были уже достаточно- 36 -стары, когда составлялись папирусы, но есть меиьшие папирусызначительно более позднего происхождения, даже римских времен, которыене отличаются от названных по своим приемам. Математика, которая в нихизложена, основана на десятичной системе счисления со специальнымизнаками для каждой десятичной единицы более высокого разряда —системе, которая нам знакома благодаря римским обозначениям,основанным па том же принципе: MDCCCLXXVIII= 1878.
На основе такойсистемы египтяне построили арифметику преимущественно аддитивногохарактера, т. е. ее основное направление состоит в сведении всех умноженийк повторным сложениям. Например, умножение на 13 получаетсяумножением сначала на 2, затем на 4, затем на 8 и сложением результатовумножения на 4 и на 8 с первоначальным числом:Например, для вычисления 13*11 писали:*111222*444*888и складывали все числа, отмеченные звездочкой, что дает 143.Самой замечательной чертой египетской арифметики являются действияс дробями. Все дроби сводятся к суммам так называемых основных дробей,то есть дробей, имеющих числителем единицу.
Единственное исключениесоставляла дробь 2/3=1 — 1/3 , для которой существовал специальныйсимвол. Сведение к суммам основных дробей производилось с помощьютаблиц, которые давали разложение дробей вида 2/n — единственноенеобходимое разложение, так как умножение было двоичным. ПапирусРайнда дает таблицу, в которой приведены разложения па основные дробидля всех нечетных n от 5 до 331, например2/7=1/4+1/28,2/97=1/56+1/679+1/776Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно(например, почему 2/19 заменяется суммой 1/12+1/76+1/114, а не суммой1/12+1/57+1/228?)- 37 -Такие действия с дробями придавали египетской математикетяжеловесность и растянутость, однако разложение на сумму основныхдробей применялось в течение тысячелетий, не только в эпоху эллинизма,но и в средние века.
В то же время указанное разложение предполагаетопределенное математическое искусство, и существуют интересные теориидля объяснения того способа, каким египетские специалисты моглиполучить свои результаты').Многие задачи очень просты и сводятся к линейному уравнению с однимнеизвестным:Некое количество, его 2/3, его 1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 33.Каково это количество?Ответ: 14 28/97, записан в основных дробях: 14+1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. Для неизвестного в уравнении существовал иероглиф,обозначавший «кучу» и произносившийся «хау» или «аха». Поэтомуегипетскую алгебру иногда называют «хау-исчислением»В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, окормлении животных и хранении зерна, и это указывает на практическоепроисхождение такой запутанной арифметики и примитивной алгебры. Внекоторых задачах проявляется теоретический интерес, например в задаче, вкоторой требуется разделить сто хлебов между пятью людьми так, чтобы ихдоли составляли арифметическую прогрессию и чтобы одна седьмая суммытрех больших долей была равна сумме двух меньших.
Мы даже встречаемгеометрическую прогрессию в задаче о семи домах, в каждом из которыхесть семь кошек, каждая из которых поедает семь мышей и т. д., чтовыявляет знание формулы для суммы членов геометрической прогрессии.)Neugebauer О. Arithmeiik und Rechnentechmlc dm Agypler / Quellen und Studienzur Geschichte der Malheraatik.1931.—Bd 1.— S. 301380; van der Waerden B. L.
DieEntwickiungsgeschichte der agyptischen Bruchrechnung // Quelleu und Studien zurGeschichte der Mathematik.— 1938.— Bd 41.— P. 359—382; Яновская С. А. К теорииегипетских дробей / Тр. Ин-та истории естествознания.— 1947,— Т. 1,—С. 269—282; Веселовский И.Н. Египетская наука и Греция / Тр Ин-та историиестествознания.1948.—Т. 2.—С.
426—428; см также Bruins Е. M.Proc. Nederl. Akad.Wet.—1952.V. А55.l- 38 -Некоторые задачи имеют геометрическую природу и касаютсяпреимущественно измерений. Площадь треугольника находится какполовина произведения основация и высоты; площадь круга диаметра dопределяется как (d-d/9)2, что дает для значение 256/81≈3,1605. Мынаходим также некоторые формулы для объемов тел, таких, как куб,параллелепипед и круговой цилиндр, причем все они рассматриваютсяконкретно как сосуды, преимущественно для зерна.
Самым замечательнымрезультатом в египетских измерениях была формула для объема усеченнойпирамиды с квадратным основанием V=h/3(a2+ab+b2), где a и b суть длинысторон квадратов, a h—высота. Этот результат, которому не найденосоответствующего ни в какой другой древней математике, особеннопримечателен, поскольку нет указаний на то, чтобы египтяне имели какоелибо представление даже о теореме Пифагора, вопреки некоторымнеобоснованным рассказам о гарпедонафтах, которые якобы строилипрямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 + 5=12 узлов').Мы здесь должны предостеречь от преувеличения древности египетскойматематической науки.
Строителям пирамид эпохи 3000 лет до н. э. и дажераньше приписывали всевозможные результаты высокоразвитой науки.Существует даже много раз серьезно преподносившаяся версия, будтоегиптяне в 4212 г. до н. э. приняли так называемый сотический цикл длякалендаря. Нельзя всерьез приписывать столь точные математические иастрономические работы народу, едва вышедшему из условий каменноговека, и источником таких рассказов, как обычно удается установить,является позднее египетское предание, дошедшее до нас через греков.Общей чертой древних цивилизаций является стремление датироватьглавные сведения весьма ранними эпохами. Все доступные текстыуказывают, что египетская математика была скорее примитивногохарактера.
На таком же уровне находилась и их астрономия.4. Переходя к математике Двуречья, мы оказываемся на гораздо болеевысоком уровне, чем тот, которого ког') См Gandz S. // Quellea and Studien zur Geschichte der Malhematik. 1930 Bd 1 S. 7.- 39 -да-либо достигала египетская математика. Здесь мы можем даже уловитьпрогресс в ходе столетий. Уже самые древние тексты, относящиеся кпоследнему шумерскому периоду (третья династия Ура, 2100 г. до н. э.),показывают высокое вычислительное искусство.
Эти тексты содержаттаблицы для умножения, в которых хорошо развитая шестидесятичнаясистема счисления сочетается с более ранней десятичной системой; здесьимеются клинописные символы, обозначающие 1, 60, 360 и также 60-1, 60-2.Однако не это было наиболее характерной их чертой. В то время какегиптяне каждую единицу более высокого разряда обозначали новымсимволом, шумеры пользовались одним и тем же символом, но указывалиего значение его положением. Так, 1, за которой следовала другая 1, давалазапись числа 61, а 5 с последующим 6 с последующим 3 (мы это будемзаписывать как 5, 6, 3) обозначало 5•602+6•60+3 = 18363. Такая позиционная(или поместная) система не отличается, по сути дела, от нашей системызаписи чисел, при которое символ 343 заменяет 3•102 + 4•10+3.
Подобнаясистема имеет огромное преимущество при вычислениях, что можно сразуувидеть, если попытаться выполнить умножение и в нашей системе, и всистеме с римскими цифрами. Позиционная система устраняла многиетрудности в арифметике дробей так же, как это происходит при нашейсистеме с введением десятичных дробей. По-видимому, вся эта системабыла непосредственным результатом развития техники управления, чтозасвидетельствовано в тысячах текстов того же периода, где речь идет опоставках скота, зерна и т. п. и о связанных с этим арифметическихвычислениях.При таком способе счета существовала некоторая неопределенность, таккак значение символа не всегда было ясно по его положению.
Так, (5, 6, 3)могло также означать 5601 +6•60°+ 3•60-1=306 1/20, и точное исстолкованиенадо было извлечь из контекста. Другая неопределенность возникала из-затого, что незаполненное место иной раз означало нуль, так что (11,5) моглостоять вместо 11•602 +5=39605. Иной раз появляется специальный символдля нуля, но не ранее персидской эпохи. Так называемое «изобретение нуля»было, таким образом, логическим следствием введения поместной системы,но только после того, как техника вычислений была значительноусовершенствована.- 40 -Оборотная сторона древневавилонской таблички, хранящейся вЭрмитаже (Эрм. 15073).
Вероятно, XVII в. до н. э.Как шестидесятатаая система, так и позиционность и системы счисдеевияоказались прочиым достоянием человечества. Наше современное делениечаса на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, равно как и нашеделение окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждойминуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основы60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения,хотя то обстоятельство, что 60 имеет много делителей, тоже могло иметьзначение. Что касается поместной системы, непреходящее значение которойсравнивают со значением алфавита'), так как оба изобретения заменя')Neugebauer О The History of Ancient Astronomy // Journal of Near EasternStudies.— 1945,— V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
