Бураго Н.Г. Вычислительная механика (Бураго Н.Г. Вычислительная механика.pdf), страница 3

Наряду с изложением основчисленного анализа книга имеет своей целью ознакомлениечитателя с современными разработками и достижениями в областивычислительной континуальной механики.Первая половина курса посвящена основам численногоанализа. Знание этого материала абсолютно необходимо дляпониманияметодоввычислительноймеханики,поэтомунеобходимый минимум сведений приводится. Ключом кбольшинству применяемых методов является теория проекционныхметодов, простой пересказ которой приведен в самом начале первойглавы. Затем описаны основные методы интерполяции, численногоинтегрирования и дифференцирования. Показана важнейшая рольвыбора базиса в успехе или неуспехе численного решения.

Даноописание практически важных методов многомерного численногодифференцирования - метода естественной аппроксимации, методаотображений и вариационного метода, отсутствующее, как это нистранно, в курсах численного анализа. Дано описание многомернойкусочно-полиномиальной аппроксимации функций, основанной напонятиях площадных и объемных координат и пригодное дляиспользования на произвольных неструктурированных сетках.Приведены практически важные квадратурные формулы длячисленного интегрирования в случае многих независимыхпеременных,описанметодбессеточногочисленногоинтегрирования.Во многих случаях задачи численного анализа сводятся ксистемам алгебраических уравнений. Для решения линейныхалгебраических уравнений наряду с традиционными вариантамиметода исключения описаны наиболее перспективные итерационныебезматричные методы, приводящие к точному решению за конечноечисло операций. Для нелинейных (в частности, алгебраических)задач описаны методы ньютоновской квазилинеаризации, методыпогружения и продолжения по параметру, а также описаны приемыисследовании вопросов существования и ветвления решенийнелинейных уравнений в процессе численного решения.Нередко задачи механики сплошных сред формулируютсякак вариационные задачи о минимальности или стационарностифункционалов.

Для решения таких задач описаны методы поискаэкстремальных точек функционалов в соответствии с теориейматематического программирования. Рассмотрены приемы сведениязадач условной минимизации к задачам безусловной минимизации.Завершена первая часть курса рассмотрением численногоПредисловиерешения начальных и двухточечных краевых задач для системобыкновенных дифференциальных уравнений.Вторая часть курса посвящена методам численного решенияуравнений в частных производных, возникающих в задачахвычислительной механики.Рассмотрены основные классические разностные схемы иприемы их исследования.Освещены основные схемы эйлеровой гидрогазодинамики.Рассмотрены способы учета несжимаемости, вязкостных эффектов,расчета разрывов, пограничных слоев.Рассмотренылагранжевыметодыдлязадачупругопластичности с большими деформациями, в частности,методы контрольных объемов и конечных элементов.Для расчета подвижных контактных, свободных имежфазных границ изложены метод произвольно подвижныхадаптивных координат, метод фиктивных областей и подвижныхперекрывающихся сеток, метод граничных элементов и бессеточныеметоды такие, как методы частиц, спектральные методы, методыГалеркина.

Разобраны методы дискретных маркеров и частиц, атакже методы непрерывного маркера для расчета многофазныхтечений. Дано представление о генерации сеток и управлениифизически и геометрически адаптивными сетками.В приложении приведен полезный справочный материал.Книга снабжена предметным и авторским указателями.Целью книги является в годовом курсе осветить широкийкруг вопросов вычислительной механики, не вдаваясь в детали,изучать которые “впрок” во всем множестве задач вычислительноймеханики невозможно, да и не нужно. Вникать в детали имеет смыслтолько в связи с решением конкретных задач достаточно узкогокласса, используя специальную цитированную литературу.Книга написана по материалам годового курса лекций,читаемого автором студентам 5-го курса кафедры прикладнойматематики МГТУ им.

Н. Э. Баумана в 2002-2012 г.г. Упрощенныйвариант этого курса читался студентам 5-го курса кафедрысопротивления материалов МГСУ-МИСИ в 2006-2009 г.г. и кафедрыфизики РГТУ-МАТИ в 2009-2012 г.г.В книге материал лекций дан в расширенном объеме, так чтоона является своего рода справочным пособием для болееподробной проработки тем. Однако надо заметить, что арсеналметодов вычислительной механики необъятен и что данная книга нив коей мере не претендует на роль энциклопедии.АвторблагодаритВ.С.Зарубина,Г.Н.Кувыркина,В.Н.Кукуджанова и А.В.Манжирова за поддержку работы понаписанию книги.9Глава 1.

Проекционные методыГлава 1. Проекционные методыПроекционные методы подразумевают поиск решения в виделинейной комбинации базисных функций, которая приближенноудовлетворяет уравнениям, граничным и начальным условиямзадачи. Большинство численных методов решения задачконтинуальной механики можно трактовать как частные случаиобщей схемы проекционных методов. Идея проекционных методовдает общую основу численным методам континуальной механики ипозволяет понять, как они работают, а также помогает сознательноконструировать новые методы с желаемыми свойствами. Поэтомуначнем изучение численных методов именно с описания основтеории проекционных методов.1.1.

Общая схема проекционных методовВ самом общем случае приближенное решение начальнокраевых задач математической физики (механики сплошных сред, вчастности) подразумевает поиск проекции точного решения избесконечномерногопространстваточныхрешенийнааппроксимирующееконечномерноеподпространствоприближенныхрешений.Коэффициентыразложенияприближенногорешенияпобазисуаппроксимирующегоподпространства определяются при этом из системы уравнений,выражающей требование близости приближенного и точногорешений (такое требование определяется неоднозначно). Методырешения, основанные на отыскании конечномерных проекцийрешения, называются проекционными. Раньше использовалосьдругое название этих методов – “прямые методы” (см.

Михлин,1950).Рассмотрим схему проекционных методов на примеренекоторой краевой задачи, которая в условной операторной записивыглядит так:Ax = yгде A - линейный оператор, обозначающий последовательностьматематических операций, которые надо применить к искомомурешению x , чтобы получить в результате заданный вектор правойчасти y . Для облегчения понимания дальнейшего заметим, чторассматриваемое операторное уравнение допустимо трактовать("для себя") как алгебраическое.

Векторы (функции) x и yявляются элементами некоторых гильбертовых пространств X , Y(то есть, нормированных пространств с операцией скалярногоГлава 1. Проекционные методыпроизведения элементов). Величины A , x и y могут зависеть отпространственных независимых переменных r . Предполагается, чтозадача корректна, т.е. для оператора A существует ограниченныйобратный || A −1 ||≤ M < ∞ , определяющий решение: x = A−1 y . Вобщем случае факт существования ограниченного обратногооператора задачи (то есть факт существования и единственностиискомого решения) не всегда заранее известен. Часто онустанавливается в процессе решения.Приближенное решение исходной задачи строится в видеразложений по некоторому множеству базисных элементов{u i (r )}ik=1 (пробных функций), называемому аппроксимационнымбазисом.

Базисные функции могут быть заданы аналитически(например, степенные функции, тригонометрические функции,собственныефункцииоператоровчастноговида)илиалгоритмически (например, пробные функции метода конечныхэлементов, базисные сплайны, локальные полиномы методаконечных разностей, финитные функции свободных узлов вбессеточных методах и так далее).Таким образом, приближенное решение представляетсялинейной комбинацией элементов аппроксимационного базиса снабором коэффициентов x k = {a i }ik=1 , подлежащих определениюkx (k ) = ∑ a i u i (r )i =1Часто коэффициенты a i играют роль узловых значений искомойфункции и ее производных. Обратим внимание на разницу вобозначениях, принятых для наборов коэффициентов разложенияx k (являющимися наборами чисел a i ) и для самих приближенныхрешений x (k ) = x (k ) (r ) (являющихся функциями).Приближенное решение в общем случае не удовлетворяетисходному уравнению, поэтомуAx (k ) ≠ yПогрешность уравнения характеризуется суммой всех членовуравнения, перенесенных в правую частьR (k ) = y − Ax (k )и называется невязкой исходного уравнения.

Для точного решенияневязка уравнения равна нулю.x k = {a i }ik=1(kчисел)Коэффициентыразложения11Глава 1. Проекционные методыопределяются из требований (k соотношений) равенства нулюпроекции невязки на некоторое, так называемое, проекционноепространство, определяемое своим базисом {vi (r )}ik=1 , функциикоторого называют весовыми:(R (k ) , vi ) = 0( i = 1, 2,..., k )Здесь выражение(u , v) обозначает скалярное произведение.Проекционный базис vi может не совпадать с аппроксимационнымбазисом u i и также может быть задан как аналитически, так иалгоритмически.Подставляя выражение для невязки в записанное вышеравенство проекции невязки нулю, получаем уравнениядискретизированной задачиAk x k = ykгдеAk ={( v , Au )}ijki , j =1,y k = {(vi , y )}ik=1 .

Здесь A k являетсяматрицей дискретизированной задачи, а y k обозначает векторизвестной правой части. Отметим, что часто для решения задачникаких матриц Ak формировать и запоминать не нужно,достаточно описать алгоритм вычисления невязкиR k = y k − Ak x kПриреализациипроекционногометодарешаютсяследующие подзадачи:1) построить или выбрать базисы {u i }ik=1 , {vi }ik=1 .2) сформировать систему уравнений дискретизированной задачи(или указать алгоритм вычисления невязок для уравненийдискретизированной задачи).3) построить алгоритм решения уравнений дискретизированнойзадачи4) убедиться в том, что приближенные решения x (k ) стремятся кточному решению x * при k → ∞ .Аппроксимации (приближенные представления) решения иоператора задачи реализуются операторами проектирования ϕ k :X → X k и φk : Y → Y k , что записывается так: x k = ϕ k x и y k = φk y .Здесь X и Y - пространства решений и правых частей исходной12Глава 1.