Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Проекционные методызадачи, X k и Y k - пространства коэффициентов разложениярешения {ai }ik=1 и правой части {bi }ik=1 по базисам {ui }ik=1 и {vi }ik=1 ,соответственно. Наборы чисел - коэффициентов разложенияx k = {a i }ik=1 и y k = {bi }ik=1 являются дискретными образамиприближенных решений и правых частей или, как говорят, ихкаркасами.Преобразование наборов коэффициентов разложения вэлементы функциональных пространств реализуют операторыɶ k : X k → X ( k ) и φɶ k : Y k → Y ( k ) , что записывается таквосполнения ϕkki =1i =1x (k ) = ∑ a i u i y (k ) = ∑ bi viилиx (k ) = ϕɶ k x k ,y (k ) = φɶ k y kЗдесь X ( k ) и Y ( k ) - пространства приближенных решений и правыхчастей, X k и Y k - пространства соответствующих коэффициентовразложения.

Подчеркнем, что операторы проектирования ивосполнения не являются взаимно обратными.Имеется два возможных пути вычислений преобразованиярешения исходной задачи x в дискретный вектор правой части y k ,приводящие, вообще говоря, к разным результатамx → Ax → φ k (Ax)x → ϕk x → A k ϕk xгде Ak : X k → Y k - дискретный аналог исходного оператора задачи.На первом пути вектор решения исходным операторомпреобразуется в вектор правой части, который затем проектируетсяна проекционное пространство.

На втором пути вектор решениязаменяется его дискретным аналогом, то есть, коэффициентамиразложения по аппроксимационному базису, которые операторомдискретизированной задачи переводятся в проекцию вектора правойчасти на проекционное пространство.Сделанное выше пространное словесное пояснение путейнаглядно демонстрирует преимущества математической записимыслей такого рода: это преимущество краткости. Однако, нередкословесное описание бывает не лишним и более понятным.Мера аппроксимации определяется формулойγ k =|| Akϕk x − φk Ax ||13Глава 1.

Проекционные методыгде Akϕ k x правая часть дискретного уравнения, φk Ax дискретная проекция правой части исходного уравнения.Ошибка приближенного решения в некотором общем дляприближенного и точного решений нормированном пространствеопределяется формулойδ(k ) =|| x (k ) − x * ||где x (k ) - приближенное решение, x * - точное решение.Ошибка приближенного решения в пространстве каркасовприближенных решений X k определяется формулойτk =|| x k − ϕk x * || ,где x k = Ak−1 y k - каркас приближенного решения, ϕk x * - каркаспроекции точного решения x* ..Пример. Пусть исходное уравнениеdu(t ) = f (t )dtаппроксимируетсянаравномернойсеткеti = i∆t ,(i = 0,1,..., k ; ∆t = T / k ) по формулеu (ti +1 ) − u (ti )= f (ti )∆tТогда погрешность аппроксимации равнаγk ==u (ti +1 ) − u (ti )  du u (ti + ∆t ) − u (ti )  du − =− =∆t∆t dt  x = xi dt  x = xiu (ti ) + [du / dt ]t =ti ∆t + [ d 2u / dt 2 ]t =ti ∆t 2 / 2 + O (∆t 3 ) − u (ti )  du − =∆t dt  x = xi14Глава 1.

Проекционные методы d 2u ∆t=  2+ O (∆t 2 ) ≈ Ck −1dt2 x= xiгде для экономии места принято обозначение для нормыдискретного решения || ai ||≡|| {ai }ik=1 || и учтено, что прификсированном интервале изменения независимого переменного tвеличина шага ∆t обратно пропорциональна числу шагов k .1.2. Tеоремы о сходимостиОсновная теорема проекционных методов утверждает, чтоиз аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Рассмотримее подробнее.Пусть для меры аппроксимации γ k =|| Akϕ k x − φk Ax || имеетместо оценка γ k = Ck − N , где положительное число N > 0возможно является дробным и характеризует скорость убываниямеры аппроксимации с ростом размерности k аппроксимирующегопространстваX k .

Это число N называется порядкомаппроксимации. Стремление меры аппроксимации к нулю в пределепри k → ∞ называется согласованностью конечномерной задачи сисходной бесконечномерной задачей.Под устойчивостью конечномерной задачи понимаетсясуществованиеограниченногообратногооператора−1Q|| Ak ||≤ Mk < ∞ , где Q ≥ 0 . При этом возмущения решения малы,если малы возмущения правых частей и оператора задачи.Теорема о сходимости каркасов приближенных решенийформулируется так: из аппроксимации γ k =|| Akϕ k x − φk Ax ||= Ck − NN > 0 и устойчивости || Ak−1 ||≤ Mk Q < ∞ при Q ≥ 0 иN − Q > 0 .

следует сходимость каркасов приближенных решений:приτ k =|| x k − ϕ k x* ||→ 0 .Доказательство:Поскольку Ak x k = y k = φk y = φk Ax , тоτ k =|| ϕ k x* − x k ||=|| Ak−1 ( Akϕ k x* − Ak x k ) ||≤≤|| Ak−1 |||| Akϕk x* − φk y ||≤ MCk − ( N −Q ) → 0 .15Глава 1. Проекционные методыТеоремаосходимостиприближенныхрешенийформулируется так: если каркасы приближенных решений сходятся,то есть β k =|| A k−1 || γ k → 0 , а оператор восполнения корректен,то есть || ϕɶkϕ k x* − x* ||→ 0 , и ограничен, то есть || ϕɶ k ||≤ P < ∞ , топриближенные решения сходятся к точному: x ( k ) → x* .Доказательство:|| x(k )− x* ||=|| ϕɶ k x k − x* ||≤ || ϕɶk x k − ϕɶkϕk x* || + || ϕɶkϕk x* − x* ||≤≤|| ϕɶ k |||| ϕ k x* − x k || + || ϕɶkϕ k x* − x* ||==|| ϕɶk |||| ϕ k x* − Ak−1 Ak x k || + || ϕɶkϕ k x* − x* ||==|| ϕɶ k |||| A k−1A k ϕk x * − A k−1φk Ax || + || ϕɶ k ϕk x * − x * ||≤~ || β + || ϕ~ ϕ x * − x * ||→ 0≤|| ϕkkk k.1.3.

Ошибки проекционных методовПри численной реализации различают: ошибку в заданииоператора задачи ∆A , ошибку в задании правой части ∆y * иошибку в вычислении невязки уравнения ∆ s . Важным являетсявопрос о влиянии этих ошибок (неизбежных при численноммоделировании) на получаемые приближенные решения.Ошибка приближенного решения ∆x * определяется изуравнения:(A + ∆A )( x * + ∆x * ) = y * + ∆y * + ∆ sи подчинена следующему неравенству (интересующиеся могутнайти вывод этого неравенства в книге Гавурина (1971)):∆x * ≤ || ∆A || || ∆y * || + || ∆ s || cond (A)+|| ∆A ||  || A |||| y * ||1 − cond (A)|| A ||где cond ( A) =|| A−1 |||| A ||= λmax / λmin ≥ 1 - число обусловленностиоператора А, λmax и λmin - максимальное и минимальноесобственные числа оператора A.

Аналогичная оценка справедлива идля ошибки решения дискретизированной задачи x k = Ak−1 y*k .16Глава 1. Проекционные методыПрибольшихзначенияхчислаобусловленностивлияние ошибок на решение становитсякатастрофически сильным и приводит к потере точности. Задачи сбольшими значениями числа обусловленности оператора задачи,называются плохо обусловленными задачами и представляютопределенные трудности для решения. Операция преобразования(регуляризации) оператора задачи с целью улучшения егообусловленности называется предобусловливанием. Способыпредобусловливания зависят от содержания задачи. На формальномуровне операторной записи можно сказать, что эффективноепредобусловливание сводится к умножению уравнения задачиAx = y* на оператор B, приближенно равный обратному операторузадачи.cond(A) >> 1BAx = By *В идеальном случае, когда B ≡ A−1 , такое умножение приводит кточному решению задачи.Данное выше определение числа обусловленности какотношения максимального и минимального собственных чиселсправедливо только для положительно определенных исамосопряженных линейных операторов А.

В общем случаезнаконеопределенных и несамосопряженных операторов A числообусловленности определяют отношением максимального иминимального сингулярных чисел, которые являются квадратнымикорнями собственных чисел положительно определенного исамосопряженного оператора AT A (см. Форсайт, Мальколм, Молер,1980).1.4. Варианты метода ГалеркинаРассмотренная в разделе 1.2. общая схема проекционногометода называется методом Галеркина-Петрова, обобщеннымметодом Галеркина или методом взвешенных невязок.

Термин“взвешенные невязки” означает "невязки, скалярно умноженные наkвесовые функции" {v i }i =1 . Коэффициенты разложения по пробнымбазисным функциям называются в этой терминологии весовымикоэффициентами.В частности, если аппроксимационный и проекционныйбазисы совпадают, то такая модификация метода Галеркина-Петрованазывается просто методом Галеркина или методом БубноваГалеркина.17Глава 1. Проекционные методыСправедлива следующая лемма (см.

Гавурин, 1971):преобразованиябазисов{u i } ik=1 ,{v i } ik=1 ,сохраняющиеаппроксимационную (координатную) и проекционную оболочки X kи Y k , не меняют решения x ( k ) . Напомним, что оболочкаминазывают пространства, образованные всевозможными линейнымикомбинациями базисных векторов.Выбор аппроксимационного и проекционного базисовкритичен, поскольку влияет на скорость сходимости приближенныхрешений и на обусловленность систем алгебраических уравненийдискретизированной задачи. Примеры удачного и неудачноговыбора базисных функций приведены далее в разделе проинтерполяцию.Для любой задачи существует бесконечное множествовариантов метода Галеркина-Петрова, которые могут различатьсявыбором аппроксимационного и проекционного пространств,выбором базисов, методами формирования систем дискретныхуравнений, методами их решения и методами восполнения каркасовприближенных решений.Пример. Если проекционный базис образован наборомдельта-функцийvi = δ(r − ri )определяемых соотношениямиf (ri ) = ∫ f (r )δ (r − ri )dVVто имеем метод коллокации, требующий обращения невязок в нульв конечном числе заданных точек ri области решения.

Методколлокации при использовании аппроксимационного базиса излокальных полиномов для окрестностей узлов сетки, приводит кметоду конечных разностей.Пример. Выбор степенных функций в качествепроекционного базиса (то есть, в качестве весовых функций)vi = x i −1приводит к методу моментов, называемому так из-за аналогииkформул для матрицы A k и вектора y с определениями моментовсил (i-1)-го порядка.18Глава 1. Проекционные методы1.5. Проекционные методы минимизации.1.5.1. Метод Рэлея-РитцаВ случае положительно определенного самосопряженногооператора А исходное уравнениеAx = yявляется уравнением Эйлера для функционала энергииF=1( Ax, x) − ( y, x)2и выражает условия его минимума (равенство нулю вариациифункционала):δ F = ( Ax, δ x) − ( y, δ x) = 0где δ x = x1 − x2 - произвольная вариация решения, представляющаяразность двух произвольных функций пространства решений X .Разыскивая приближенное решение вариационной задачи ввиде проекции на линейную оболочку X ( k ) , определяемуюбазисными векторами {u i } ik=1kx (k ) = ∑ a i u i ,i =1kδx (k ) = ∑ δa i u ii =1каркас приближенного решения x k = {a i }ik=1 определяем из условийминимума функционала энергии δ F = ( Ax, δ x) − ( y, δ x) = 0 ,которые можно переписать такkδF =∑i =1∂F ( x ( k ) )δ ai = 0∂ai( i=1,2,...,k )и, таким образом, приходим к системе уравнений метода РэлеяРитца:k∑ ( Au , u )aj =1ijj= ( y, ui )( i=1,2,...,k )19Глава 1.

Характеристики

Список файлов книги