29 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-29Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачК третьей строке прибавим вторую умноженную наКо третьей строке прибавим первую::tigtu.ruanИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-29Условие задачии, построенные по вектораманосКоллинеарны ли векторыРешениеи?Векторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Т.е.ачНетрудно заметить, что, а значит векторыдля любыхи- коллинеарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-29СкУсловие задачиНайти косинус угла между векторамиРешениеНайдеми:и..

Т.е. векторыи.Т.е. косинус угла:и:аноси следовательно уголtigtu.ruмежду векторамиanНаходим косинус углаЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-29Условие задачиачВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.РешениеСкПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:Вычисляеми, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:tigtu.ruВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-29Условие задачи,и?anКомпланарны ли векторыРешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных, то векторыачТак какбыло равноаносплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.,икомпланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-29Условие задачиСкВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.и его высоту, опущенную изИз вершиныпроведем векторы:tigtu.ruРешениеВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:Получаем:Так каканосanВычислим смешанное произведение:ачСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:СкВычислим векторное произведение:Получаем:tigtu.ruТогда:Объем тетраэдра:Высота:Условие задачиРешениедо плоскости, проходящей через три точкианосНайти расстояние от точкиanЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-29ачНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиСкПроведем преобразования:.:от точкиНаходим:до плоскости:tigtu.ruРасстояниеЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-29Условие задачианосРешениеНайдем векторперпендикулярно векторуanНаписать уравнение плоскости, проходящей через точку.:Так как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:ачУпростим:СкЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-29Условие задачиНайти угол между плоскостями:tigtu.ruРешениеДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:между плоскостями определяется формулой:anУголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-29Условие задачиРешение, равноудаленной от точеканосНайти координаты точкии:ачНайдем расстояниеСкТак как по условию задачиТаким образом., тои.tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-29Условие задачиПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьпереходит в плоскостьanи коэффициентом. Находим образ плоскостив уравнение:аносПодставим координаты точкиТак как, то точка:не принадлежит образу плоскости.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-29Условие задачиачНаписать канонические уравнения прямой.РешениеСкКанонические уравнения прямой:,где- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:tigtu.ruНайдем направляющий вектор:.

Пусть, тогдаачаносanНайдем какую-либо точку прямойСкСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-29Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.Подставляем в уравнение плоскости:anЗапишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruРешениеПолучаем:аносНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-29ачУсловие задачисимметричную точкеСкНайти точкуотносительно плоскости.РешениеНайдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можновзять вектор нормали плоскости:tigtu.ruТогда уравнение искомой прямой:аносПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:является серединой отрезкаСкТак какачПолучаем:Получаем:, то.