Reshenie_domashnee_Zadanie_№1_po_Chijovu_PDF2 (Reshenie_domashnee_Zadanie_№1_po_Chijovu_PDF2.pdf)

Задание 1 по МСС. Осень 2010 г.Тензорная алгебра. Векторный анализ1. Докажите следующие тождества:i j i j =3,i j k  l m k =il  jm− i m  jl ,ikl  jkl =2 ij .2. Используя свойства тензора Леви-Чивиты, покажите чтоa × b×c = b a⋅c −c a⋅b3. Используя свойства оператора Гамильтона = ∇  ∇ ,∇ , докажите следующие тождества:∇ v  ,∇⋅v = ∇⋅v⋅∇ ×v  ∇× v ,∇×v = ∇    ×v  ×∇u⋅v = u⋅∇v  v⋅∇u u × ∇v × ∇u,   u v⋅∇   v.∇×u ×v = u  ∇⋅v −v  ∇⋅u − u⋅∇r — радиус-вектор, u — постоянный вектор. Вычислите div r ,  r.rot u×r  , u⋅∇4. Пустьgrad  u⋅r  ,Полевое описание. Переменные Лагранжа и Эйлера.1. В начальный момент невзаимодействующие частицы (пыль) образуют облако с радиальным распределением скоростей v 0 = H 0r0 .

При расширении поле скоростей удовлетворяет космологическому принципу v = H ( t )r . Найти поле скоростей (в переменных Эйлера) v ( r , t ) .2. Поле скоростей расширяющегося вещества, в соответствии с космологическим принципом, задано выра-жением v = H ( t )r , где H ( t ) =2. Найти закон движения частицы, занимающей в момент времени t0 по3tложение r0 . Какое взаимодействие между частицами среды может обеспечить такое движение?3. В однородный поток жидкости плотностью ρ, движущийся со скоростью v 0 , помещен шар радиуса R.Возмущенное поле вектора скоростей v в сферических координатах имеет вид:R3 1 R3  sin ϑ ⋅ eϑ .v = v 0  1 − 3  cosϑ ⋅ er − v 0  1 +3 r 2r Определить изменение кинетической энергии потока, вызванное шаром.4.

Шар массой М и радиусом R покоится в однородной неограниченной жидкости плотностью ρ. Определить изменение кинетической энергии системы после того, как шару медленно сообщили скорость v 0 . Известно, что при установившемся обтекании неподвижного шара потоком этой жидкости поле скоростей всферических координатах имеет вид:R3 1 R3  sin ϑ ⋅ eϑ .v = v 0  1 − 3  cosϑ ⋅ er − v 0  1 +3 r 2r Уравнение непрерывности и поле плотности.1.

При изотропном расширении сплошной среды ее плотности изменяется с течением времени  3ρ ( t ) = ρ 0 ( t 0 t ) , оставаясь одинаковой во всех точках среды. Найти поле скоростей среды v = v ( r , t ) .2. Поле скоростей однородной изотропной среды задано условием v = H 0r . Как изменяется со временемплотность среды, если ρ ( t 0 ) = ρ 0 ? Как меняется со временем расстояние между частицами среды?3. Поле скоростей однородной изотропной среды задано условием v = H ( t )r , где H ( t ) = 2 3t .

Как изменяется со временем плотность среды, если ρ ( t 0 ) = ρ 0 ?4. В цилиндре длиной l под поршнем находится газ. В момент t = 0 поршень начал медленно двигаться  равномерно со скоростью V, сжимая газ. Определить поле скоростей газа в цилиндре v = v ( r , t ) .15. Поле скоростей невзаимодействующих частиц сплошной среды (пылинок) в начальный момент времени  πx  . Найти поле скоростей l задано соотношением v ( r , 0 ) = v 0n x sin  этой среды v = v ( r , t ) в переменных Эйлера.Вектор вихря. Линии вихря.

Условие вмороженности.1. Стационарное поле скоростей жидкости в декартовых координатах имеет вид v ( r ) = v 0 ( x b )n z . Определить поле вектора вихря ω .Найти уравнение линий вихря r = r ( s ) . Являются ли линии вихрявмороженными в жидкость?2. Цилиндр радиуса R, вращающийся в неограниченной вязкой жидкости с угловой скоростью Ω = Ω 0 ez , создает вокруг себя поле скоро-Ван-Дайк.

Альбом течений.Картина линий тока с трудомпозволяет определить, что поток движетсяслева направо. Это объясняется тем, что впределе малой вязкости обтеканиетвердого тела обратимо и, следовательно,симметрично. Эта картина напоминаеткартину потенциального обтекания, однаковозмущения однородного потока затухаютздесь значительно медленнее.Рис.1.  Reϕ . Здесь er , eϕ , e z - орты цилиндрической системыrкоординат. Определить поле вектора вихря ω в жидкости и циркулястей v = v 0цию вектора скорости по кольцевому контуру радиуса r, расположенному симметрично относительно оси цилиндра в экваториальнойплоскости.3. Шар радиуса R, вращающийся в неограниченной вязкой жидкости с угловой скоростью Ω , создает во-[  ]круг себя поле скоростей v = ( R r ) Ω × r . Определить поле вектора вихря в жидкости и циркуляцию вектора скорости по кольцевому контурурадиуса r, расположенному симметрично относительно шара в экваториальной плоскости, используя сферические координаты.34.

Стационарное поле скоростей вязкой жидкости в трубе радиуса R, в цилиндрических координатах r , ϕ , z имеет вид v ( r ) = v 0 1 − r 2 R 2 e z , r < R (течение Пуазейля). Определить поле вектора вихря ω . Как устроены линии вихря? Являются ли эти линии вмороженными в жидкость?()5. Цилиндр радиуса R, помещен в жидкость так, что его ось направленавдоль оси Оz, перпендикулярной потоку. Поле скоростей жидкости в цилиндрических координатах r , ϕ , z имеет видR2 vr = V ∞  1 − 2  cos ϕ ,r R2 Γvϕ = − V ∞  1 + 2  sin ϕ +r 2π r.Вычислить вектор вихря ω для этого поля.6. При стоксовом обтекании жидкостью шара радиуса R, в пространстве вблизи его поверхности возникает поле скоростей()vz = 0Обтекание в лотке Хил-ШоуЛинии тока в воде, текущей соскоростью 1 мм/с между двумястеклянными пластинками,отстоящими на расстояние одногомиллиметра. Это наилучший способполучения картины плоскогопотенциального обтеканиясостоящий в переходе к случаюползущего течения в узком зазоре,для которого влияние сил вязкостиявляется определяющим.Рис.

3()v = u cos ϑ 1 − 3R 2r + R 3 2r 3 er − u sin ϑ 1 − 3R 4r + R 3 4r 3 eϑ  (рис. 1). Здесь er , eϑ , eϕ - орты сферической системы координат.Определить поле вектора вихря ω .7. При обтекании вязкой жидкостью тела вниз по течению образуется аксиально-симметричный возмущенный поток жидкости(след), поле скоростей в котором (в цилиндрических координатахr , ϕ , z ) имеет вид u = U  1 − z 0 exp( − α rϑ 2 ) ez ,zгде U = Ue z - поле невозмущенного потока (рис. 2)Определить поле вектора вихря ω в следе.Ламинарный след за тонким телом вращения.Тонкое тело вращения подвешено на тонкихвольфрамовых проволочках и тщательновыровнено по направлению вдольневозмущенного. Краска, введенная впограничный слой, показывает ядро следа.Рис. 2.28. Найти линии тока жидкости, обтекающей цилиндр радиуса R, ось которого расположена перпендикулярно набегающему потоку.

Поле скоростей в цилиндрических координатах задано условием:R2 R2 v = v 0  1 − 2  cos ϕ ⋅ er − v 0  1 + 2  sin ϕ ⋅ eϕ .r r Определить потенциал поля скоростей этого течения.9. Найти линии тока жидкости, обтекающей шар радиуса R, если поле скоростей в сферических координатах имеет вид:R3 1 R3  sin ϑ ⋅ eϑ (рис. 3).v = v 0  1 − 3  cosϑ ⋅ er − v 0  1 +3 r 2r Определить потенциал векторного поля скоростей.10. При обтекании цилиндра радиуса R, ось которого перпендикулярна потоку, возникает поле скоростейR2 vr = V ∞  1 − 2  cos ϕ ,r R2 Γvϕ = − V ∞  1 + 2  sin ϕ +r 2π rvz = 0 .Ввести потенциал поля скоростей.11. Ламинарная струя, вытекающая вдоль оси Oz из узкого отверстия в неограниченную вязкую жидкость,создает в ней стационарное поле скоростейvr =VA − cosϑsin 2 ϑ⋅  2 cosϑ −A − cosϑ,vϑ = −V⋅ sin ϑA − cosϑ,vϕ = 0.Найти уравнение линий тока жидкости.

Каково минимальное расстояние отоси симметрии до выбранной линии тока. Найти уравнение поверхности,ограничивающей струю, условно считая, что она образована точками линийтока, находящимися на минимальном расстоянии от оси симметрии.12. Струя, вытекающая вдоль оси Oz из узкого отверстия в неограниченнуювязкую жидкость, создает в ней поле скоростейz 2 1 − α (r z )vr = V ⋅ 0 ⋅2rz 1 + α ( r z ) 22()2, vϕ = 0vz = V ⋅z01⋅z 1 + α (r z ) 2()2Найти уравнение линий тока.13. Турбулентная струя в жидкости, вытекающая из узкого отверстия, создает в ней поток, характеризуемый вне конуса с углом полураствораϑ 0 ≈ 120 полем усредненных скоростейur = −bbϑ, uϑ = − ctg .

(рис. 4)rr2Найти уравнение усредненных линий тока жидкости вне струи.Тензор скоростей деформаций, формулы Коши-Гельмгольца и Громеки-Лэмба.Ван-Дайк. Альбом теченийТурбулентная струяподкрашенной воды вытекает изтрубы диаметром 9 мм прискорости 200 см/с. Линии тока,маркируются воздушнымипузырьками в воде вне струи.Рис. 41. Воспользовавшись формулой Коши-Гельмгольца, получить выражение для субстанциальной производной поля скоростей в форме Громеки-Лэмба (в инвариантной векторной форме).2. Получить выражение для субстанциальной производной поля скоростей в форме Громеки-Лэмба с помощью формулы двойного векторного произведения (в векторной форме).3.

Записать конвективное слагаемое для поля скоростей в цилиндрических координатах4. Записать конвективное слагаемое для поля скоростей в сферических координатах.5. При обтекании цилиндра радиуса R, ось которого перпендикулярна потоку, возникает поле скоростейR2 vr = V ∞  1 − 2  cos ϕ ,r R2 Γvϕ = − V ∞  1 + 2  sin ϕ +r 2π rvz = 0 .3Вычислить тензор скоростей деформаций (матрицу коэффициентов) в цилиндрических координатах. Определить направление главных осей тензора.R3 1 R3  sin ϑ ⋅ eϑ . Вычис6. При обтекании шара радиуса R поле скоростей v = v 0  1 − 3  cosϑ ⋅ er − v 0  1 +r 2 r 3 лить тензор скоростей деформаций (матрицу коэффициентов) в сферических координатах и определитьнаправление главных осей этого тензора.Потоки физических величин.1.

Определить количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени, 22 если поле скоростей в трубе радиуса R, имеет вид v ( r ) = v 0 1 − r R e z , r < R . Найти тензор плотностипотока импульса. Какой импульс переносится через поперечное сечение трубы за время t, если ее плотность равна ρ?2.

При обтекании жидкостью шара радиуса R, вблизи его поверхности возникает поле скоростей((())ur = u cos ϑ 1 − 3R 2r + R 3 2r 3 , uϑ = − u sin ϑ 1 − 3R 4r + R 3 4r 3)Найти тензор плотности потока импульса. Какова сила сопротивления, оказываемая этим шаром потокужидкости? Плотность жидкости равна ρ.3. Маленький шарик радиуса R, помещенный в трубу большого сечения на оси ее симметрии, вызывает торможение потока жидкости вниз по течению (след).

Скорость невозмущенного набегающего потока жидкости равна U = Ue z , а возмущение, вносимое шариком, приводит к ее торможению, так что на большомрасстоянии от шарика v = U  1 −(z0exp − β rϑz2)  ez. Найти тензор плотности потока импульса. Как изме-няется расход жидкости в трубе, вызванный внесенным шариком? Какова сила, действующая на шарик состороны жидкости плотностью ρ? Какова вязкость жидкости η, если сила сопротивления подчиняется закону Стокса F = 6π η RU ?4.

Ламинарная струя, вытекающая вдоль оси Oz из узкого отверстия в неограниченную вязкую жидкость,создает в ней стационарное поле скоростейVvr =A − cosϑsin 2 ϑ⋅  2 cosϑ −A − cosϑ ,vϑ = −V⋅ sin ϑ ,A − cosϑvϕ = 0 .Определить поток массы, проходящий через поперечное сечение струи на расстоянии r от источника.5. Определить плотность потока импульса жидкости плотностью ρ, обтекающей цилиндр, поле скоростейкоторой (в цилиндрических координатах) имеет вид:  ΓR2 R2 v = v 0  1 − 2  cos ϕ ⋅ er + − v 0  1 + 2  sin ϕr r  2π r  ⋅ eϕ .6. Определить скорость диссипации кинетической энергии жидкости при диссипации вихревой нити, еслиполе скоростей (в цилиндрических координатах) зависит от времени r2  Γ  −  ,vϕ (r , t ) =1−exp2π r  4ν t  Г, ν – определяющие константы.7. Турбулентная струя в жидкости, вытекающая из узкого отверстия в неограниченную вязкую жидкость,0создает в ней усредненное поле скоростей вне границ струи ϑ > ϑ 0 ≈ 12 (см.

рис.4.) b  bϑu ( r ,ϑ , ϕ ) = − n r − nϑ ctg .rr2Как изменяется масса жидкости плотности ρ, захваченной струей, с ростом расстояния от источника?8. Плоская пластина, помещена в однородный поток жидкости, текущий вдоль оси Ох . Ее поверхность,ориентированная вдоль этой оси, немного тормозит поток, создавая вниз по течению возмущение скорости V0y 2 C , 0, 0 .v ( x , y ) =  V0 −exp −x 4ν x Определить силу сопротивления, которую оказывает пластинка потоку.4.