МУ - Электродинамика сплошных сред (МУ - Электродинамика сплошных сред.pdf)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)Кафедра теоретической физикиЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕДОтдельные вопросы1. Распространение волновых пакетовв диспергирующих средах;2. Методы трансформационной оптикии её применение в вычислительных схемах;3. Эффект Фарадея для распространения волнв гиротропных средах;4. Рассеяние светана малых резонансных частицахУчебно-методическое пособиеC.C.

ВергелесМОСКВАМФТИ2016УДК 535.3РецензентыКафедра общей физики-1 (отдел квантовой электроники)Санкт-Петербургского государственного университетаДоктор физико-математических наук, профессор кафедры физикитвёрдого тела и наносистем Национального исследовательского ядерногоуниверситета «МИФИ» А.И. МаймистовЭлектродинамика сплошных сред. Отдельные вопросы: 1. Распространение волновых пакетов в диспергирующихсредах; 2.

Методы трансформационной оптики и её применениев вычислительных схемах; 3. Эффект Фарадея для распространения волн в гиротропных средах; 4. Рассеяние света на малыхрезонансных частицах / сост. С.С. Вергелес. – М.: МФТИ, 2016.– 38 с.Учебно-методическое пособие посвящено отдельным темам вэлектродинамике сплошных сред: распространение и эволюцияволновых пакетов в диспергирующих средах; методы трансформационной оптики и её применение в вычислительных схемах;феноменология гиротропных сред и эффект Фарадея для распространения волн; оптическая теорема и рассеяние света на малых резонансных частицах.Предназначено для студентов и преподавателей вузов, изучающих и интересующихся электродинамикой сплошных сред.c Федеральное государственное автономное○образовательное учреждениевысшего образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2016c Вергелес С.С., 2016○СодержаниеВведение41.

Распространение волновых пакетов1.1. Монохроматическая волна в изотропной среде . .1.1.1. Распространяющаяся плоская монохроматическая волна . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Распространение волнового пакета в среде с дисперсией . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Выделение огибающей . . . . . . . . . . . .1.2.2. Волновое уравнение на поле . . . . . . . . .1.2.3. Уравнение Шредингера на огибающую . . .579910132. Магнитооптика2.1. Феноменология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Эффект Фарадея . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .1616173. Трансформационная оптика3.1. Трансформационная оптика в ортогональных криволинейных координатах . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Идеально согласованный слой . . . . . . . . . . . .3.3. Приложение: элементы дифференциальной геометрии . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .194. Рассеяние электромагнитных волн на частицах4.1. Оптическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Рассеяние света на малых частицах . . . . . . . . .4.2.1. Резонансное рассеяние света . . . . . . . . .4.2.2. Взаимодействие частиц со светом в различных экспериментальных ситуациях .

. . . .29303333Литература373719222636Электродинамика сплошных средОтдельные вопросыВведениеЭти методические материалы появились в результате преподавания курса «Электродинамика конденсированных сред» наФОПФ МФТИ в 2010-2015 гг.Раздел 1 посвящён описанию эволюции волновых пакетов,распространяющихся в диспергирующей среде, в терминах уравнения Шредингера. Мы показываем, как совершается переход отволнового уравнения к уравнению Шредингера, если распределение электромагнитного поля во времени и пространстве соответствует волновому пакету. Предварительно в качестве справочного материала мы даём определения коэффициентов в разложении закона дисперсии, определяющих параметры распространения волновых пакетов.Раздел 2 посвящён исследованию магнитооптических эффектов в простейшем случае эффекта Фарадея.

Сначала из феноменологических соображений мы устанавливаем вид тензора диэлектрической проницаемости в изотропной среде с наложеннымпостоянным магнитным полем. После этого приводится вывод ианализ эффекта Фарадея – вращение поляризации линейно поляризованной волны, распространяющейся вдоль наложенногополя.В разделе 3 обсуждается концепция трансформационной оптики. На примере сферически симметричной задачи строитсяслой, обеспечивающий «невидимость» находящегося внутри неготела.

Далее рассматривается концепция идеально согласованного слоя (perfectly matched layer, PML). Такие слои используютсяв вычислительных схемах при моделировании задач электродинамики для достижения безотражательных граничных условий.В качестве удобства для читающих в приложении к этому разделу кратко приводится математический аппарат дифференциальной геометрии в необходимом для понимания основной частиобъёме.4Наконец, в разделе 4 рассмотрен вопрос о рассеянии электромагнитных волн на частицах малого размера.

Сначала приводится вывод оптической теоремы для случая электромагнитныхволн. Затем строится феноменология для описания рассеянияволн на частицах малого размера в случае, когда частота волны близка к резонансной частоте частицы. Например, таким резонансном может быть плазмонный резонанс на металлическойчастице или низший резонанс Ми на частице из оптически плотного прозрачного диэлектрика. В качестве анализа полученныхрезультатов обсуждаются простейшие экспериментальные ситуации.Мы полагаем, что данные методические материалы представляют интерес для использования в учебной работе как в МФТИ,так и в других университетах. Мы постарались привести аккуратное и полное изложение вышеперечисленных вопросов. Вслучае, когда мы видели необходимость ссылки на стандартныеучебные пособия, мы указывали ссылку с точностью до параграфа или уравнения с тем, чтобы облегчить и ускорить усвоениематериала.

Автор выражает благодарность Парфеньеву Владимиру Михайловичу, Аникину Юрию Александровичу и Воробьёву Петру Евгеньевичу, которые также принимали участие в преподавании курса «Электродинамика конденсированных сред», заценные советы и многочисленные обсуждения.1. Распространение волновых пакетовЭволюция электромагнитного поля в неограниченной однородной среде с линейным откликом описывается системой уравнений Максвелла11rot H = ^E,rot E = − ^H,(1)где диэлектрическая проницаемость ^ и магнитная восприимчивость ^ в общем случае являются тензорами второго ранга, действующими как нелокальные операторы во времени и пространстве: например,D (, ) ≡ [^E] =∫︁3 ′∫︁0d −∞5d (, ′ ) E ( − , − ′ ).В результате исключения магнитного поля получаем волновоеуравнение(︂)︂1 2−1rot ^ rot − 2 ^ E = 0.(2)Для того чтобы раскрыть математический смысл написанного уравнения, перепишем это уравнение в фурье-представлении.Электрическое поле в частотно-волновом представлении определяется согласно равенству∫︁∞E(, ) =3∫︁∞(d )−∞(d) E,k exp{− + k},(3)−∞где использована краткая запись (d) ≡ d/2.

Отметим, чтов силу вещественности поля E(, ) выполняется соотношениеE−,−k = E*,k . Уравнение (2) в фурье-представлении приобретает вид(︂)︂(︀ −1)︀ 2 ^ (, k) − (, k) 2 E,k = 0, (4)где – символ Леви-Чивиты. Условие того, что уравнение (4)имеет нетривиальное решение, приводит к дисперсионному уравнению, устанавливающему зависимость частоты от волновоговектора и поляризации волны. Поляризацией волны называется соответствующее решение для E, которое для линейной задачи определено с точностью до общего множителя.

Каждомуволновому вектору в общем случае соответствуют две поляризации. Фурье-образы диэлектрической проницаемости (, k) имагнитной восприимчивости (, k) обладают всеми свойствами линейной восприимчивости. Антиэрмитова часть этих тензоров определяет скорость перехода электромагнитной энергии втепловую вследствие диссипативных процессов. Эрмитова частьопределяет скорость распространения волн в среде.Отдельно мы будем интересоваться случаем, когда среда немагнитная, так что магнитная восприимчивость равна единице,^ = 1. Тогда (4) упрощается до уравнения)︂(︂22 − − (, k) 2 E,k = 0.(5)61.1. Монохроматическая волна в изотропной средеРассмотрим распространение плоской монохроматическойэлектромагнитной волны в изотропной среде.

Для такой волныэлектромагнитное поле по определению зависит от времени и координат как exp(k − ).В изотропной среде тензоры диэлектрической проницаемости и магнитной восприимчивости пропорциональны единичному оператору, например, (k, ) = (k, ). Из уравнения (4)следует, что если диэлектрическая проницаемость отлична от нуля, ̸= 0, то электрическое поле бездивергентно, div E = 0. Втаком случае дисперсионное уравнение и уравнение на поляризацию упрощаются до видаk2 − 22(k · E) = 0.= 0,(6)В общем случае при действительной частоте волновой векторволны оказывается комплексным.

Разделим его действительнуюи мнимую части, представив волновой вектор волны в видеk = k′ + k′′ ,(7)где k′ и k′′ – действительные вектора. Теперь (6) можно переписать в виде двух действительных уравнений22 ′ − ′′ =2Re[],22k′ k′′ =2Im[].2(8)1.1.1. Распространяющаяся плоская монохроматическаяволнаЧаще всего под плоской волной подразумевают волну, в которой поле зависит только от одной координаты, так что k′ ‖ k′′в (8), в этом случае направление вектора k есть направлениераспространения волны.

Величина волнового вектора равна =√.(9)Можно ввести действительный единичный вектор n, сонаправленный волновому вектору k. Из уравнений Максвелла получаем, что связь между компонентами электрического и магнитного7поля задаётся равенствами[n, E] = H,(n + k)[n, E] = B,(10)√︀где = / называется волновым импедансом, а n + k – комплексным показателем преломления, см. (11).