12

Лекция 11. Микроскопическая теория сверхпроводимости.«Природа с красоты своейПокрова снять не позволяет,И ты машинами не вынудишь у ней,Чего твой дух не угадает.»В.С. Соловьев, 1872.1. Экспериментальные факты. 2. Эвристические соображения. 3.Картина квазичастиц. Спектр фермиевского типа. 4. Неустойчивость Купера. 5. Микроскопическая теория. Гамильтониан БардинаКупера-Шриффера.

6. Преобразования Боголюбова. Спектр возбуждений. 7. Критический ток и термодинамика сверхпроводника.1. Экспериментальные факты.1. Сверхпроводники – это металлы, которые становятсяидеальными проводниками ниже критической температурыTc . Температура перехода Tc  10 K (Камерлинг-Оннес,1911).2. Сверхпроводимость может быть разрушена не толькотемпературой, но и магнитным полем H c  300Э или транс2портным током jc  10 A  см . (Камерлинг-Оннес, 1914)3.

Эффект Мейсснера (Мейсснер, Оксенфельд, 1933).Сверхпроводник – идеальный диамагнетик. Ниже критической температуры магнитное поле полностью выталкиваетсяиз сверхпроводника. Это важное обстоятельство. ПосколькуB  0 при T  Tc независимо от предыстории, сверхпроводимость – это новая термодинамическая фаза металла. Такимобразом, переход в сверхпроводящее состояние – это фазовый переход, и мы можем применить к сверхпроводимостивсю мощь статистической физики.164. Экспоненциальная зависимость теплоемкости оттемпературы.

Электронная теплоёмкость сверхпроводниканиже температуры перехода ведёт себя как Ce  exp   / T (Корак, 1954). Это означает, что возбуждённые состояниясверхпроводника отделены от основного «энергетическойщелью», как в полупроводнике. Поскольку, при T  Tc происходит фазовый переход  рода, то энергетическая щельобращается в ноль в точке перехода.5. Изотопический эффект (Максвелл, Рейнольдс, 1950).Температура перехода зависит от массы атомов металла, какTc  M 1/ 2 . Это значит, что ключевую роль при возникновении сверхпроводимости играет решётка металла. Электронымогут взаимодействовать между собой посредством обменафононов.

Это могут быть виртуальные фононы, которые возбуждает в решётке движущийся в кристалле электрон. Испущенный фонон может поглотиться другим электроном, имежду ними возникает эффективное притяжение.2. Эвристические соображения.Это притяжение можно проиллюстрировать следующими «намекающими» аналогиями. Два шарика на горизонтальной резиновой мембране. Каждый шарик своим весомпрогибает резинку. Если шарики близки, то совместный прогиб приводит к их притяжению.Два конькобежца движутся параллельно и перебрасываются мячиком.

Это приводит к тому, что они постепенноудаляются друг от друга. Но если они перебрасываются бумерангом, то их траектория сближается, как если бы онипритягивались друг к другу.Эффективно взаимодействие выражается в рассеянииэлектрона на электроне. Чтобы электрон мог перейти из состояния p в состояние p , последнее, согласно принципу2Паули, должно быть свободно.

Это возможно лишь для состояний вблизи поверхности Ферми. Ширина области, в которой электроны могут притягиваться друг к другу D   D , поскольку, это максимальная энергия фононов,которую можно передать. Остальные электроны, находящиеся в глубине Ферми-сферы, не могут изменить свой импульс.Последнее обстоятельство является определяющим дляобразования связанного состояния двух электронов – куперовской пары.

Обмен фононами может обеспечивать только слабое притяжение. Как известно, в мелкой трёхмернойяме уровня, соответствующего связанному состоянию, нет.Он появляется только, если яма достаточно глубока и числоБорна больше единицы. Откуда же появляется «низкоразмерность» движения, обеспечивающая существование пары?Дело в том, что речь идёт не об изолированных частицах в 3D пространстве, а о квазичастицах при заполненнойферми-сфере. Испускание и поглощение фонона приводитлишь к повороту импульса электрона, его положение описывается только двумя углами на ферми-сфере, а величина импульса остаётся практически неизменной p  pF .

Наличиезаполненной ферми-сферы делает задачу эффективно двумерной. Кроме того, мы заменяем плотность состояний вблизи поверхности Ферми на постоянную величину, что такжесоответствует двумерному случаю.В мелкой двумерной яме уровень, соответствующийсвязанному состоянию, есть всегда. Энергия связи экспоненциально мала по константе взаимодействия, что и объясняетмалую величину температуры сверхпроводящего перехода.3. «Картина квазичастиц».

Спектр фермиевского типа.Итак, сверхпроводимость могла бы возникнуть приобъединении электронов в пары. Но из квантовой механики3известно, что если 3D взаимодействие недостаточно сильное, или имеет слишком малый радиус действия, то связанное состояние не может возникнуть. Исключение составляют1D и 2D случаи, когда любое, сколь угодно слабое притяжение приводит к образованию пары. Но непонятно почемудвижение электронов низкоразмерно. Кроме того, энергиясвязи в паре порядка критической температуры. Это на четыре порядка меньше кинетической и потенциальной энергииэлектронов, и на два порядка меньше энергии фононов решётки.Разрешение этого парадокса нашёл Купер (1956), который сообразил, что пары образуются не из свободных электронов, а из квазичастиц ферми-жидкости, возбуждений надзаполненной ферми-сферой. В такой картине роль элементарных возбуждений играют электроны вне ферми-сферы идырки внутри нее, причем появиться они могут только приT  0 .

Энергетический спектр квазичастиц есть  p для частиц (электронов над ферми-сферой), и  p для античастиц(дырок в заполненной ферми-сфере). Здесь  p  p 2 / 2m   F− превышение энергии над химическим потенциалом, которое вблизи поверхности Ферми равно  p  vF  p  pF  . Впару объединяются квазичастицы с одинаковым p , так что,речь будет идти о паре двух частиц или о паре двух дырок.Поскольку спин квазичастиц ½, а полный спин образца должен сохраняться, они рождаются парами частица – античастица, так, что число возбуждений над и под Ферми-сферойвсегда одинаково.

Такая ситуация в картине квазичастицназывается спектром фермиевского типа, в противоположность спектру бозевского типа, когда квазичастицы рождаются поодиночке. Рождающиеся пары представляют собойчастицы «над» и дырки «под» поверхностью Ферми. Они4имеютх единый энергетический спектр   p  и единую фермиевскую функцию распределения nF  p  с нулевым химическим потенциалом   0 . Все квазичастицы имеют положительную энергию, а их число зависит от температуры.4. Куперовская неустойчивость.«− Мы сами знаем, что она не имеет решения,сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь.− Мы хотм знать, как ее решать…»«Понедельник начинается в субботу»,А. и Б.

Стругацкие.Итак, представив себе качественную картину, посмотрим, к каким количественным результатам она приведет.Пусть Ĥ 0  r1  гамильтониан одной свободной квазичастицывблизи поверхности Ферми.Ĥ 0  r1  p  r1   p  p  r1  ,12ipr p  r   V e ,  p  vF  p  p F  .(11.1)Рассмотрим пару квазичастиц с противоположнымиимпульсами ( S - состояние самое низкоэнергетическое) инулевым суммарным спином (у фермионов S − состояниеможет быть только синглетным).

Тогда их волновая функцияесть суперпозиция.  r1 , r2    cp p ,  r1  p ,  r2  ,p(11.2)удовлетворяющая уравнению Шредингера.Hˆ 0  r1   Hˆ 0  r2  Vˆ  r1, r2    r1, r2   E  r1, r2  ,5(11.3)Сразу же подчеркнём, что, как это выяснится в дальнейшем, потенциальная энергия взаимодействия между квазичастицами – не функция разности их координат, а нелокальный оператор, что и подчёркнуто обозначением «с крышкой».Уравнение Шредингера в импульсном представлении.2 p cp   Vppcp  Ecp ,p(11.4)где Vpp  p  , p,  Vˆ p , p  − матричный элемент оператора притяжения квазичастиц. В свете наших предыдущихрассуждений, это − мультипликативная функция импульсовквазичастиц, которую можно представить в виде:Vppl, 0,приpF  D p , p  p F  DvFvF (11.5)вне этого слоя.,Здесь l – матричный элемент притяжения электронов засчет обмена фононами в тонком 2 D   F слое вблизи поверхности Ферми.