Part5 (Лекции (1))

4. Энергия монохроматической волныВолновое движение сопровождается изменением энергии среды, в которойраспространяется волна. Изменение энергии среды при распространении в ней волны принекоторых дополнительных условиях может быть связано с существованием энергии волны.Для ее определения найдем изменение энергии среды, полагая, что амплитуда волныдостаточно мала, чтобы воспользоваться линейной теорией.Энергия выделенного элементарного объема среды V0 определяется как сумма внутреннейэнергии вещества в этом объеме и кинетической энергии его движения. Представим скоростьr r rчастиц среды в виде суммы v = V + u .

Невозмущенное движение среды задано постояннойrrскоростью V в каждой точке пространства, а поле возмущения скорости u носит волновойхарактер, причем u << V . Плотность и давление невозмущенной среды ρ0 и p0 также будемсчитать постоянными во всех точках, а возмущения малыми, так что p = p0 + p1, ρ = ρ0 + ρ1 ,где p1 << p0 , ρ1 << ρ0 .Если e – массовая плотность внутренней энергии среды (энергия единицы массы), товнутренняя энергия рассматриваемого объема E = eρV0 . Соответственно, кинетическаяr r2энергия этого объема E ђЏ’ = ρ V + u V0 2 . Подставляя сюда значения плотности и скоростивозмущенного движения среды, с точностью до квадратичных по возмущению членовполучим выражение для изменения объемной плотности кинетической энергии:rrρ0u 2∆E =+ (ρ 0 + ρ 1 ) Vu2.Для вычисления изменения внутренней энергии возмущенной среды воспользуемсяпервым началом термодинамики, полагая, что рассматриваемые процессы являютсяизэнтропическими ∆S = 0.

При этом теплообменом с соседними элементарными объемамиможно пренебречь. Изменение внутренней энергии заданной массы m в этих условияхопределяется только работой сил давления:dE = mde = − pdVУчитывая, что V = m ρ , получаем соотношение для массовой плотности внутреннейэнергии в адиабатическом изэнтропическом процессе:pde = 2 dρρ.Изменение внутренней энергии элементарного объема V0 определяется выражением:pdE = V0 d (ρe) = V0 ( edρ + ρde) = V0 ( e + )dρρ.Изменение объемной плотности внутренней энергии с точностью до членов второгопорядка имеет вид:∂(ρe )∂ 2 (ρe ) ρ12∆(ρe ) =ρ1 +⋅ + o(ρ12 )2∂ρ∂ρ2.Коэффициенты разложения в ряд легко вычисляютсяp ⎞∂ (ρe) ⎛= ⎜⎜ e 0 + 0 ⎟⎟∂ρρ0 ⎠⎝()( )∂ 2 (ρe) ∂ ⎛p ⎞ ⎛ ∂e ⎞p 1 ⎛ ∂p ⎞c2=e+=−+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂ρ ⎜⎝ρ ⎟⎠ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ s ρ 2 ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ s ρ 0∂ρ 2где с –скорость звука, что дает выражение для изменения объемной плотности внутреннейэнергии:42⎛p ⎞c2 2ρ1∆ (ρe ) = ⎜⎜ e 0 + 0 ⎟⎟ρ 1 +2ρ 0 .ρ0 ⎠⎝Первое слагаемое описывает изменение внутренней энергии выделенного объема приизменении количества вещества в нем.

В частности, при распространениимонохроматической волны в достаточно большом объеме вклад от этого члена осциллирует,что нарушает принцип аддитивности для внутренней энергии. Таким образом, аддитивнаячасть, среднее (по времени) значение которой отлично от нуля, описывается только вторымслагаемым, что и позволяет связать эту часть внутренней энергии с волновым движением.Аналогичным требованиям не удовлетворяет часть кинетической энергии, линейная повозмущению среды.Таким образом, объемная плотность полной энергией волнового движения,удовлетворяющая принципу аддитивности, пропорциональна квадратичным членам повозмущению и дается выражением:rrρ u2c2 2∆E = E волн = 0 + ρ1 Vu +ρ122ρ 0При распространении в среде плоской монохроматической волны под углом ϑ к векторускорости потока возмущение плотности и скорости имеет вид:rrρ1 (r , t )ckr rru (r , t ) = c ⋅⋅rrω − ckβ cos ϑρ0 ,ρ1 (r , t ) = ρ cos ωt − k r ,где β = V c . Подставляя эти выражения, получим плотность энергии монохроматическойплоской волны.Если скорость потока мала (β < 1), то объемная плотность энергии волны имеет вид:c2(1 + β cos )ρ12E + волн =ρ0.Как следует из приведенного выражения, эта величина положительна для всех волн,распространяющихся в любом направлении по отношению к невозмущенному потоку.Если же скорость невозмущенного потока превышает скорость звука (β > 1), то возможносуществование двух типов волн, быстрой и медленной, частоты которых совпадают, аскорость распространения различна.Энергия этих волн определяется выражением:c2(1 ± β cos )ρ12E± =ρ0.( )()Если энергия быстрой волны всегда положительна, то распространение медленной волнывнутри конуса Маха приводит к уменьшению полной энергии среды, так как энергиямедленных волн отрицательна.

Уменьшение энергии среды при возникновении медленнойволны свидетельствует о неустойчивости системы относительно генерации волновыхвозмущений, при которых энергия потока будет переходить в энергию волны.Теорема Пойнтинга утверждает, что изменение энергии сплошной среды в данном объемев отсутствие объемных сил обусловлено потоками энергии через границу. Для определениявектора плотности потока энергии для волнового движения удобно воспользоватьсяуравнениями непрерывности и Эйлера для малых возмущений. Для упрощения вычисленийограничимся случаем изотропной среды, положив скорость потока равной нулю.Умножая уравнение Эйлера на скорость частиц в данной точке, получим следующеесоотношение:∂ρ1∂ u2c2= − uk∂t 2ρ0∂x k .(1)43Последнее слагаемое удобно представить в виде суммы и заменить второе слагаемое спомощью уравнения непрерывности.∂ (ρ1u k )∂ (ρ1u k ) ρ1 ∂ρ1∂ρ1∂u kuk+=− ρ1=ρ 0 ∂t∂x k∂x k∂x k∂x k(2)Подстановка этого выражения в (1) приводит к уравнению∂ ⎧ ρ 0 u 2 c 2 ρ12 ⎫∂{c 2 ρ1uk }+⎨⎬=−∂t ⎩ 22ρ 0 ⎭∂x k.Учитывая выражение для объемной плотности волны, полученное выше, это уравнениеможно рассматривать как следствие теоремы Пойнтинга применительно к волновомудвижению среды:r∂Eволн= − div S∂t,ρ 0u 2 c 2 2r=+Eρ1rволн222ρ 0 .где S = c ρ1u - вектор потока объемной плотности энергии, аОтметим, что перенос энергии волной сопровождается переносом импульса, потоккоторого нетрудно определить аналогичным образом.5.

Сильные волныВ предыдущих разделах при изучении волнового движения мы ограничивалисьприближением слабых волн, что позволяло линеаризовать уравнения. Рассмотрим теперьсильные возмущения, не допускающие линеаризации уравнений движения.Модель средыВ дальнейшем будем предполагать, что зависимость давления от плотности (искорости) может быть установлена в рамках классической термодинамики. Будем считатьдвижение изэнтропийным и адиабатическим.Для упрощения анализа положим, что все характеристики волнового движения среды– плотность, скорость, давление и т. д. являются дифференцируемыми функциями координати времени.

Тогда в основных уравнениях можно перейти к дифференциальной форме.Уравнение непрерывности имеет вид:∂ρ ∂ (ρui )+=0∂t∂xiОграничимся случаем идеальной изотропной среды, пренебрегая вязкостью.Динамическое уравнение Эйлера в этой модели∂ (ρui ) ∂ (ρui uk )∂p+=−∂t∂xk∂xiОграничимся моделью идеального газа, для которого зависимость давления отплотности определяется адиабатой Пуассонаγp = p0 (ρ ρ0 ) .Одномерная волнаИсследование свойств модели удобно начать с простейшего случая одномерноговолнового движения.Предположим, что в безграничной среде могут существовать волны, зависящиетолько от одной координаты, например от x. В этом случае все характеристики волнового44движения среды – плотность, скорость, давление и т.

д. могут зависеть только от этойкоординаты и времени.Уравнения движения при таком предположении упрощаются и принимают вид:∂ρ ∂ (ρux )∂ (ρu x ) ∂ (ρu x2 )∂p+=0+=−∂t∂x∂t∂x∂x∂ (ρu y ) ∂ (ρu x u y )∂ (ρuz ) ∂ (ρux uz )+=0+=0∂t∂x∂t∂xС учетом уравнения непрерывности последние два уравнения системы принимаютформу характеристических:∂u y∂u∂uz∂u+ ux z = 0+ ux y = 0∂t∂x∂t∂xЭто означает, что на траекториях частиц y и z – компоненты вектора скоростиостаются постоянными. Таким образом, рассматриваемая модель допускает существованиетолько продольных волнui = {u, 0, 0},которые описываются системой∂u∂u1 ∂p∂ρ ∂ (ρu )+u=−+=0∂t∂xρ ∂x .∂t∂xРешения РиманаПоскольку нас интересуют волновые решения, естественно предположить, чтоскорость, плотность и давление среды зависят от одной комбинации координаты и времени.Это позволяет искать, например, скорость и давление как функции плотности u = u (ρ ) ,p = p (ρ ) .Тогда частные производные скорости можно выразить через производные плотности:∂u∂ρ∂u∂ρ= u′= u′∂t∂x∂t∂x .Здесь штрихом обозначена производная скорости по плотности.Заданная зависимость давления от плотности также позволяет связать производнуюдавления по координате с производной плотности по координате:∂p∂ρ= c 2 (ρ )∂x∂x ,где∂pc 2 (ρ ) == γ p (ρ ) ρ∂ρ s.Производная в рассматриваемой модели вычисляется при постоянной энтропии.С учетом сделанных предположений уравнение непрерывности и уравнение Эйлераприводятся к виду:∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ+ (u + ρu′) ⋅=0u′ ⋅+ (uu′ + c 2 ρ )⋅=0∂t∂x∂t∂x.Эти уравнения можно рассматривать как систему для определения неизвестной функцииρ = ρ(t, x ) .45Условие существования нетривиального решения – обращение в нуль определителя:(uu′ + c2 ρ) − u′ ⋅ (u + ρu′) = 0 .Отсюда следует, что скорость должна удовлетворять условию:duc=±dρρ.Решение этого дифференциального уравнения определяет связь между скоростью иплотностью средыc (ρ )u (ρ ) = ± ∫dρ + constρ.Уравнение непрерывности теперь может быть записано в форме характеристическогоуравнения∂ρ∂ρ+ (u ± c ) ⋅=0∂t∂x.Соотношения между скоростью и плотностью, записанные в формеc (ρ )um∫dρ = constρи выполняющиеся на характеристикахV± = u ± cназываются инвариантами Римана.Решение уравнения для плотности, следовательно, может быть представлено в форме:ρ ± = Φ ( x m V (ρ ) ⋅ t )Для принятых условий деформаций элементарного объема идеального газазависимость характеристической скорости, например, V+ от плотности выражается простымсоотношением:γ −1γ +1(ρ ρ0 ) 2V+ = c0γ −1,гдеp0ρ0 .Отметим основные свойства волны в данной модели:1.

Уравнения газовой динамики допускают существование волновых решений в видепродольных волн. Так как волновые уравнения существенно нелинейны, тоскоростьраспространенияволны,заданнойвначальныймоментдифференцируемой функцией, зависит от величины начального возмущения вданной точке пространства и увеличивается с ростом возмущения.2. Любое возмущение, описываемое в начальный момент дифференцируемойфункцией, спустя некоторое время становится разрывным. Волновое решение,описываемое разрывным решением, называется ударной волной. Времяформирования разрывного решения определяется как формой, так и величинойначального возмущения.3. Распространение ударной волны не может быть описано системойдифференциальных уравнений.

Для описания движения ударной волны следуетвоспользоваться теоремами динамики в интегральной форме.c0 =46.