Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 9

PDF-файл Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 9 (ММО) Методы машинного обучения (63166): Книга - 10 семестр (2 семестр магистратуры)Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) - PDF, страница 2020-08-252020-08-25KoalaСтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf1231

Описание файла

PDF-файл из архива "Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "(ммо) методы машинного обучения" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 9 страницы из PDF

å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈÅË-ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ ÂÒÚ¸ ‡‚ÌÓÏÂÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ ÒÎËÌÂÈÌ˚ÏË ÙÛÌÍˆËﬂÏË g1 Ë g2.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ˜ËÒÎÓ ê‡ÏÒÂﬂÑÎﬂ ‰‡ÌÌÓ„Ó ÍÎ‡ÒÒ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (Ó·˚˜ÌÓ lp -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚),‰‡ÌÌÓ„Ó ˆÂÎÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ n ≥ 1 Ë ‰‡ÌÌÓ„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ Ò ≥ 1 ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ˜ËÒÎÓ ê‡ÏÒÂﬂ (ËÎË Ò-ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ˜ËÒÎÓ ê‡ÏÒÂﬂ) RM(c, n) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ËÏˆÂÎ˚Ï ˜ËÒÎÓÏ m , Ú‡ÍËÏ ˜ÚÓ ‚ Í‡Ê‰ÓÏ n-ÚÓ˜Â˜ÌÓÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÂËÏÂÂÚÒﬂ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‡ÁÏÂÓÏ m, ÍÓÚÓÓÂ Ò-‚ÎÓÊËÏÓ ‚ Ó‰ÌÓ ËÁ ÏÂÚË˜ÂÒÍËıÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ËÁ (ÒÏ. [BLMN05]).Ò-ËÁÓÏÓÙËÁÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚èÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. ãËÔ¯ËˆÂ‚‡ ÌÓÏ‡ || ⋅ ||Lip Ì‡ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚ı ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÈ f : X → Y ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡ÍfLip=dY ( f ( x ), f ( y)).d X ( x, y)x , y ∈X , x ≠ ysupÑ‚‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ï Ë Y Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ Ò-ËÁÓÏÓÙÌ˚ÏË, ÂÒÎËÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ f : X → Y, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ||f||Lip||f–1|| ≤ c.ä‚‡ÁËËÁÓÏÂÚËﬂèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡.

îÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÍ‚‡ÁËËÁÓÏÂÚËÂÈ (ËÎË (ë,Ò)-Í‚‡ÁËËÁÓÏÂÚËÂÈ), ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Â˜ËÒÎ‡ ë > 0 Ë c ≥ 0, Ú‡ÍËÂ ˜ÚÓC −1d X ( x, y) − c ≤ dY ( f ( x ), f ( y)) ≤ Cd X ( x, y) + c,Ë Y = ∪ BdY ( f ( x ), c), Ú.Â. ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍË y ∈ Y ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡Í‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ x ∈ X, ˜ÚÓz ∈XdY(y,f(x)) ≤ c.ä‚‡ÁËËÁÓÏÂÚËﬂ Ò ë = 1 Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ „Û·ÓÈ ËÁÓÏÂÚËÂÈ (ËÎË ÔË·ÎËÊÂÌÌÓÈËÁÓÏÂÚËÂÈ).

ëÏ. ê‡Ì„ Í‚‡ÁËÂ‚ÍÎË‰Ó‚Ó„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡.ÉÛ·ÓÂ ‚ÎÓÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. îÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ„Û·˚Ï ‚ÎÓÊÂÌËÂÏ, ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÌÂÛ·˚‚‡˛˘ËÂ ÙÛÌÍˆËË ρ1, ρ 2 : [0, ∞) → [0, ∞),Ú‡ÍËÂ ˜ÚÓ ρ1(dX(x,y) ≤ (dY(f(x), ρ 2 (dX(x,y)) ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X Ë lim ρ, t = +∞.t →∞åÂÚËÍË d1 Ë d 2 Ì‡ ï Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ „Û·Ó ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË ÏÂÚËÍ‡ÏË, ÂÒÎËÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú Ú‡ÍËÂ ÌÂÛ·˚‚‡˛˘ËÂ ÙÛÌÍˆËË f, g: [0, ∞) → [0, ∞ ), ˜ÚÓ d1 ≤ f(d2 ) Ëd2 ≤ g(d1 ).ëÊËÏ‡˛˘ÂÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. îÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÒÊËÏ‡˛˘ËÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ ( Ë Î ËÒÊ‡ÚËÂÏ, ÒÚÓ„Ó ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ËÏÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ) ÂÒÎË dY(f(x), f(y)) < dX(x,y) ‰Îﬂ ‚ÒÂı ‡ÁÎË˜Ì˚ı x, y ∈ X.ä‡Ê‰ÓÂ ÒÊ‡ÚËÂ ËÁ ÔÓÎÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ‚ ÒÂ·ﬂ ËÏÂÂÚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÛ˛ ÌÂÔÓ‰‚ËÊÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ.çÂÒÚﬂ„Ë‚‡˛˘ÂÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (X, dï) Ë (Y, dY) ÙÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÌÂÒÚﬂ„Ë‚‡˛˘ËÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ, ÂÒÎË dY(f(x), f(y)) < dX(x,y) ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.ä‡Ê‰‡ﬂ ÌÂÒÚﬂ„Ë‚‡˛˘‡ﬂ ·ËÂÍˆËﬂ ËÁ ‚ÔÓÎÌÂ Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ì‡ ÒÂ·ﬂ ÂÒÚ¸ ËÁÓÏÂÚËﬂ.ÉÎ‡‚‡ 1.

é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ41ìÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ÂÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (X, dï) Ë (Y, dY) ÙÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ËÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ (ËÎË ÌÂ‡Ò¯Ëﬂ˛˘ËÏÒﬂ, ÔÓÎÛÒÊËÏ‡˛˘ËÏÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ), ÂÒÎË dY(f(x), f(y)) ≤ dX(x,y) ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.ã˛·ÓÂ Ò˛˙ÂÍÚË‚ÌÓÂ ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ÂÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ f : X → Y ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂËÁÓÏÂÚËÂÈ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ (X, dï) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.èÓ‰ÏÂÚËﬂ ÂÒÚ¸ ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ÂÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ Ó·‡Á Î˛·Ó„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ¯‡‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ¯‡ÓÏ ÚÓ„Ó ÊÂ ‡‰ËÛÒ‡.Ñ‚‡ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ (ÔÓÉÓÛ˝ÒÛ) ÔÓ‰Ó·Ì˚ÏË, ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ËÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËﬂ f : A → X ,g : b → X Ë Ú‡ÍÓÂ Ï‡ÎÓÂ ε > 0, ˜ÚÓ Í‡Ê‰‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ Ä Ì‡ıÓ‰ËÚÒﬂ ‚ ÔÂ‰ÂÎ‡ı ε ÓÚÌÂÍÓÚÓÓÈ ÚÓ˜ÍË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç , Í‡Ê‰‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ Ç Ì‡ıÓ‰ËÚÒﬂ ‚ ÔÂ‰ÂÎ‡ı ε ÓÚÌÂÍÓÚÓÓÈ ÚÓ˜ÍË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë |d ( x, g(f(x))) – d(y, f(g(y)))| ≤ ε ‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈ AË y ∈ B.ä‡ÚÂ„ÓËﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ä‡ÚÂ„ÓËﬂ Ψ ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ ÍÎ‡ÒÒ‡ ObΨ, ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ÍÓÚÓÓ„Ó Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂÓ·˙ÂÍÚ‡ÏË Í‡ÚÂ„ÓËË, Ë ÍÎ‡ÒÒ‡ åorΨ, ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ÍÓÚÓÓ„Ó Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ÏÓÙËÁÏ‡ÏË Í‡ÚÂ„ÓËË.

ùÚË ÍÎ‡ÒÒ˚ ‰ÓÎÊÌ˚ Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓﬂÚ¸ ÔÂÂ˜ËÒÎÂÌÌ˚Ï ÌËÊÂÛÒÎÓ‚ËﬂÏ.1. ä‡Ê‰ÓÈ ÛÔÓﬂ‰Ó˜ÂÌÌÓÈ Ô‡Â Ó·˙ÂÍÚÓ‚ Ä Ë Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ç(Ä,Ç)ÏÓÙËÁÏÓ‚.2. ä‡Ê‰˚È ÏÓÙËÁÏ ÔËÌ‡‰ÎÂÊËÚ ÚÓÎ¸ÍÓ Ó‰ÌÓÏÛ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û H (A, B).3. äÓÏÔÓÁËˆËﬂ f ⋅ g ‰‚Ûı ÏÓÙËÁÏÓ‚ f : A → B, g : C → D ÓÔÂ‰ÂÎÂÌ‡, ÂÒÎË B = C, ‚˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÓÌ‡ ·Û‰ÂÚ ÔËÌ‡‰ÎÂÊ‡Ú¸ H(A, D).4. äÓÏÔÓÁËˆËﬂ ÏÓÙËÁÏÓ‚ ‡ÒÒÓˆË‡ÚË‚Ì‡.5. ä‡Ê‰ÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ç(Ä, Ä) ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ ‚ Í‡˜ÂÒÚ‚Â Â‰ËÌË˜ÌÓ„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ Ú‡ÍÓÈÏÓÙËÁÏ idA, ˜ÚÓ f ⋅ idA = f Ë idA ⋅ g = g ‰Îﬂ Î˛·˚ı ÏÓÙËÁÏÓ‚ f : X → Y Ë g : A → Y.ä‡ÚÂ„ÓËﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚, Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏ‡ﬂ Met (ÒÏ. [Isbe64]) – ˝ÚÓÍ‡ÚÂ„ÓËﬂ, ‚ ÍÓÚÓÓÈ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ‚˚ÒÚÛÔ‡˛Ú Í‡Í Ó·˙ÂÍÚ˚, ‡ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ËÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËﬂ – Í‡Í ÏÓÙËÁÏ˚.

Ç ‰‡ÌÌÓÈ Í‡ÚÂ„ÓËË ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„ÓÓ·˙ÂÍÚ‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ‡ﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì‡ﬂ Ó·ÓÎÓ˜Í‡; ÓÌ‡ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ÓÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÎÂÌ‡ Ò Â„Ó Ì‡ÚﬂÌÛÚÓÈ ÎËÌÂÈÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍÓÈ. åÓÌÓÏÓÙËÁÏ‡ÏË ‚ Metﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚Â ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ËÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËﬂ, ‡ ËÁÓÏÓÙËÁÏ‡ÏË –ËÁÓÏÂÚËË.àÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚Ï, ÂÒÎË ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„ÓËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ‚ÎÓÊÂÌËﬂ f : X → X' ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ï, d) ‚ ‰Û„ÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï', d') ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ÂÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ f' ËÁ X' ‚ ï Òf ' ⋅ f = idX , Ú.Â.

ï ÂÒÚ¸ ÂÚ‡ÍÚ ï'. ùÍ‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, ï ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌ˚ÏÂÚ‡ÍÚÓÏ, Ú.Â. ÂÚ‡ÍÚÓÏ Í‡Ê‰Ó„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ‚ ÍÓÚÓÓÂ ÓÌÓ‚ÎÓÊËÏÓ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚ÏÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ „ËÔÂ‚˚ÔÛÍÎÓ.àÌ˙ÂÍÚË‚Ì‡ﬂ Ó·ÓÎÓ˜Í‡èÓÌﬂÚËÂ ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍË ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ó·Ó·˘ÂÌËÂÏ ÔÓÌﬂÚËﬂ ÔÓÔÓÎÌÂÌËﬂäÓ¯Ë. èÛÒÚ¸ (ï, d) – ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. éÌÓ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË‚ÎÓÊËÏÓ ‚ ÌÂÍÓÚÓÓÂ ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ( Xˆ , dˆ ); ÂÒÎË ‚ÁﬂÚ¸42ó‡ÒÚ¸ I.

å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈÎ˛·ÓÂ Ú‡ÍÓÂ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ‚ÎÓÊÂÌËÂ f : X → Xˆ , ‰Îﬂ ÌÂ„Ó ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓÂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÂ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ( X , d ) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ( Xˆ , dˆ ),ÒÓ‰ÂÊ‡˘ÂÂ f (X), ÍÓÚÓÓÂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍÓÈ ï . éÌÓ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË ÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ Ì‡ÚﬂÌÛÚÓÈ ÎËÌÂÈÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ï, d).åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ ÒÓ Ò‚ÓÂÈ ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍÓÈ ÚÓ„‰‡ ËÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.ç‡ÚﬂÌÛÚÓÂ ‡Ò¯ËÂÌËÂê‡Ò¯ËÂÌËÂ (ï', d') ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ï, d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ÚﬂÌÛÚ˚Ï‡Ò¯ËÂÌËÂÏ, ÂÒÎË ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÔÓÎÛÏÂÚËÍË d" Ì‡ X', Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Óﬂ˛˘ÂÈ ÛÒÎÓ‚ËﬂÏd"(x1, x 2 ) = d(x1, x 2 ) ‰Îﬂ ‚ÒÂı x 1 , x 2 ∈ X Ë d"(y1, y 2 ) ≤ d'(y1, y 2 ) ‰Îﬂ ‚ÒÂı y 1 , y 2 ∈ X', ËÏÂÂÏd"(y1, y2) = d'(y1, y2) ‰Îﬂ ‚ÒÂı y1, y2 ∈ X'.ç‡ÚﬂÌÛÚ‡ﬂ ÎËÌÂÈÌ‡ﬂ Ó·ÓÎÓ˜Í‡ – ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÂ Ì‡ÚﬂÌÛÚÓÂ ‡Ò¯ËÂÌËÂ ï,Ú.Â.

ÓÌ‡ ÒÓ‰ÂÊËÚ, Ò ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸˛ ‰Ó Í‡ÌÓÌË˜ÂÒÍËı ËÁÓÏÂÚËÈ, Í‡Ê‰ÓÂ Ì‡ÚﬂÌÛÚÓÂ‡Ò¯ËÂÌËÂ ï, ÌÓ Ò‡Ï‡ ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌÓ„Ó Ì‡ÚﬂÌÛÚÓ„Ó ‡Ò¯ËÂÌËﬂ ÌÂ ËÏÂÂÚ.ç‡ÚﬂÌÛÚ‡ﬂ ÎËÌÂÈÌ‡ﬂ Ó·ÓÎÓ˜Í‡ÇÓÁ¸ÏÂÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ‰Ë‡ÏÂÚ‡ Ë ‡ÒÒÏÓÚËÏ ‚ÌÂÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó X = {f : X → }. ç‡ÚﬂÌÛÚ‡ﬂ ÎËÌÂÈÌ‡ﬂ Ó·ÓÎÓ˜Í‡ T(X,d) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡(ï, d) ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó T(X,d) = {f ∈ X : f(x) = = sup ( d ( x, y) − f ( y)) ‰Îﬂy ∈X‚ÒÂı x ∈ X}, ÒÌ‡·ÊÂÌÌÓÂ ÏÂÚËÍÓÈ, ÔÓÓÊ‰‡ÂÏÓÈ Ì‡ T(X,d) ÌÓÏÓÈ f = sup f ( x ).x ∈XåÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï ÏÓÊÌÓ ÓÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ËÚ¸ Ò ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ {hx ∈ T(X, d) : hx(y) = d(y,x)}ËÎË, ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, Ò ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ T0(X, D) = {f ∈ T(X, d) : 0 ∈ f(X)}.

àÌ˙ÂÍÚË‚Ì‡ﬂÓ·ÓÎÓ˜Í‡ ( X , d ) ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË ÓÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÎÂÌ‡ ÒÌ‡ÚﬂÌÛÚÓÈ ÎËÌÂÈÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍÓÈ T(X,d) Í‡ÍX → T ( X , d ), x → hX ∈ T ( X , d ) : hX ( y) = d ( f ( y), x ).ç‡ÔËÏÂ, ÂÒÎË ï = {x 1 , x2}, ÚÓ T (X,d) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÌÚÂ‚‡ÎÓÏ ‰ÎËÌ˚ d(x1, x2).åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ ÒÓ Ò‚ÓÂÈ Ì‡ÚﬂÌÛÚÓÈ ÎËÌÂÈÌÓÈ Ó·ÓÎÓ˜ÍÓÈÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.ç‡ÚﬂÌÛÚÛ˛ ÎËÌÂÈÌÛ˛ Ó·ÓÎÓ˜ÍÛ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ï, d) ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó‰Ë‡ÏÂÚ‡ ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡Ú¸ Í‡Í ÏÌÓ„Ó„‡ÌÌ˚È ÍÓÏÔÎÂÍÒ. ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ Ú‡ÍÓ„ÓÍÓÏÔÎÂÍÒ‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÑÂÒÒ‡ (ËÎË ÍÓÏ·ËÌ‡ÚÓÌÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛)ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ï, d).ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÂ ‰ÂÂ‚ÓåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ (ÔÓ íËÚÒÛ, 1977) ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Ï‰ÂÂ‚ÓÏ (ËÎË -‰ÂÂ‚ÓÏ), ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·˚ı x, y ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ‡ﬂ ‰Û„‡ ÓÚı Í Û Ë ˝Ú‡ ‰Û„‡ – „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÈ ÓÚÂÁÓÍ.

ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÂ ‰ÂÂ‚Ó Ú‡ÍÊÂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ‰ÂÂ‚ÓÏ (ÒÎÂ‰ÛÂÚ ÓÚÎË˜‡Ú¸ ÓÚ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ‰ÂÂ‚‡ ‚ ‡Ì‡ÎËÁÂ ‰‡ÌÌ˚ı,ÒÏ. „Î. 17).åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Ï ‰ÂÂ‚ÓÏ ÚÓ„‰‡ ËÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÛÚ¸-Ò‚ﬂÁÌ˚Ï Ë 0-„ËÔÂ·ÓÎË˜ÂÒÍËÏ ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û(Ú.Â. Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓﬂÂÚ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Û ˜ÂÚ˚Âı ÚÓ˜ÂÍ).ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Â ‰ÂÂ‚¸ﬂ ÂÒÚ¸ ‚ ÚÓ˜ÌÓÒÚË ‰Â‚ÓÔÓ‰Ó·Ì˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ÍÓÚÓ˚Â ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÏË.

ÑÂ‚ÓÔÓ‰Ó·Ì˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ43ÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÔÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌË˛ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı ‰ÂÂ‚¸Â‚, ‡ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Â ‰ÂÂ‚¸ﬂ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ‚ ÚÓ˜ÌÓÒÚË Ë Ì ˙ÂÍÚË‚Ì˚ÏË ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË ÒÂ‰Ë ‰Â‚ÓÔÓ‰Ó·Ì˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚.ÖÒÎË (ï, d) – ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÚÓ Ì‡ÚﬂÌÛÚ‡ﬂ ÎËÌÂÈÌ‡ﬂÓ·ÓÎÓ˜Í‡ í(ï, d) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Ï ‰ÂÂ‚ÓÏ Ë ÏÓÊÂÚ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡Ú¸Òﬂ Í‡ÍÂ·ÂÌÓ ‚Á‚Â¯ÂÌÌÓÂ ÚÂÓÂÚËÍÓ-„‡ÙÓ‚ÓÂ ‰ÂÂ‚Ó.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ·Û‰ÂÚ ÔÓÎÌ˚Ï ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Ï ‰ÂÂ‚ÓÏ ÚÓ„‰‡ ËÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ „ËÔÂ‚˚ÔÛÍÎÓ Ë Î˛·˚Â ‰‚Â Â„Ó ÚÓ˜ÍË ÒÓÂ‰ËÌﬂ˛ÚÒﬂÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÓÚÂÁÍÓÏ.èÎÓÒÍÓÒÚ¸ 2 Ò Ô‡ËÊÒÍÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ë ÏÂÚËÍÓÈ ÎËÙÚ‡ (ÒÏ. „Î. 19) ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂÔËÏÂ‡ÏË -‰ÂÂ‚‡.1.3. éÅôàÖ êÄëëíéüçàüÑËÒÍÂÚÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ÑËÒÍÂÚÌ‡ﬂ (ËÎË ÚË‚Ë‡Î¸Ì‡ﬂ) ÏÂÚËÍ‡ d ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ï,ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ‡ﬂ Í‡Í d(x, y) = 1 ‰Îﬂ ‚ÒÂı ‡ÁÎË˜Ì˚ı x, y ∈ X (Ë d(x, x) = 0).

åÂÚË˜ÂÒÍÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‰ËÒÍÂÚÌ˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.ÄÌÚË‰ËÒÍÂÚÌ‡ﬂ ÔÓÎÛÏÂÚËÍ‡ÄÌÚË‰ËÒÍÂÚÌÓÈ ÔÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ d Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÛÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ï,ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ‡ﬂ Í‡Í d(x, y) = 0 ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.ùÍ‚Ë‰ËÒÚ‡ÌÚÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ÑÎﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Ë ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ t ˝Í‚Ë‰ËÒÚ‡ÌÚÌÓÈÏÂÚËÍÓÈ d Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ï, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ‡ﬂ Í‡Í d(x, y) = t ‰Îﬂ ‚ÒÂı‡ÁÎË˜Ì˚ı x, y ∈ X (Ë d(x, ı) = 0).(1, 2)-Ç-ÏÂÚËÍ‡ÑÎﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï (1, 2)-Ç-ÏÂÚËÍ‡ d ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ï, Ú‡ÍÓÈ ˜ÚÓ ‰ÎﬂÎ˛·Ó„Ó x ∈ X ÍÓÎË˜ÂÒÚ‚Ó ÚÓ˜ÂÍ y ∈ X Ò d(x, y) = 1 ÌÂ ÔÂ‚˚¯‡ÂÚ Ç, ‡ ‚ÒÂ ‰Û„ËÂ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ‡‚Ì˚ 2.

(1, 2)-Ç-ÏÂÚËÍ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÛÒÂ˜ÂÌÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ „‡Ù‡ Ò Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ÒÚÂÔÂÌ¸˛ ‚Â¯ËÌ, ‡‚ÌÓÈ Ç.àÌ‰ÛˆËÓ‚‡ÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡àÌ‰ÛˆËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ (ËÎË ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÛÊÂÌËÂd' ÏÂÚËÍË d (Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ï) Ì‡ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï' ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X', d') Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d), ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ‡Ò¯ËÂÌËÂÏ (X', d').ÑÓÏËÌËÛ˛˘‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡èÛÒÚ¸ d Ë d1 – ÏÂÚËÍË Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ï. ÉÓ‚ÓËÚÒﬂ, ˜ÚÓ d1 ‰ÓÏËÌËÛÂÚ Ì‡‰ d, ÂÒÎËd1 (ı, Û) ≥ d(x, y) ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.ùÍ‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚Â ÏÂÚËÍËÑ‚Â ÏÂÚËÍË d 1 Ë d2 Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ï Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË, ÂÒÎË ÓÌËÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛Ú Ó‰ÌÛ Ë ÚÛ ÊÂ ÚÓÔÓÎÓ„Ë˛ Ì‡ ï, Ú.Â., ÂÒÎË ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍË x0 ∈ XÓÚÍ˚Ú˚È ÏÂÚË˜ÂÒÍËÈ ¯‡ Ò ˆÂÌÚÓÏ ‚ x0, Á‡‰‡ÌÌ˚È ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ d1 , ÒÓ‰ÂÊËÚÓÚÍ˚Ú˚È ÏÂÚË˜ÂÒÍËÈ ¯‡ Ò ÚÂÏ ÊÂ ˆÂÌÚÓÏ, ÌÓ Á‡‰‡ÌÌ˚È ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ d2 ,Ë Ì‡Ó·ÓÓÚ.44ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈÑ‚Â ÏÂÚËÍË d1 Ë d2 ·Û‰ÛÚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„Óε > 0 Ë Í‡Ê‰Ó„Ó x ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ δ > 0, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ËÁ d1 (x,y) ≤ δ ÒÎÂ‰ÛÂÚ d2 (x,y) ≤ ε ËÌ‡Ó·ÓÓÚ, ËÁ d2 (x,y) ≤ δ ÒÎÂ‰ÛÂÚ d1(x,y) ≤ ε.ÇÒÂ ÏÂÚËÍË Ì‡ ÍÓÌÂ˜ÌÓÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË; ÓÌË ÔÓÓÊ‰‡˛Ú ‰ËÒÍÂÚÌÛ˛ ÚÓÔÓÎÓ„Ë˛.èÓÎÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡èÛÒÚ¸ (X,d) – ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.