Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 8

PDF-файл Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 8 (ММО) Методы машинного обучения (63166): Книга - 10 семестр (2 семестр магистратуры)Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) - PDF, страница 2020-08-252020-08-25KoalaСтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf1231

Описание файла

PDF-файл из архива "Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "(ммо) методы машинного обучения" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

ï ËÏÂÂÚ ÔÎÓÚÌÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ ÒÔÂËÓ‰Ë˜ÂÒÍËÏË Ó·ËÚ‡ÏË) Ë Ú‡ÌÁËÚË‚ÌÓÈ (Ú.Â. ‰Îﬂ Î˛·˚ı ‰‚Ûı ÌÂÔÛÒÚ˚ıÓÚÍ˚Ú˚ı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä, Ç ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡ÍÓÂ ˜ËÒÎÓ n, ˜ÚÓf n ( A) ∩ B ≠ 0/) .åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X,d) – ÔÓÎÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ å1 Ë å2ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ˝Í‚Ë‰ËÒÚ‡ÌÚÌ˚ÏË (‡‚ÌÓÓÚÒÚÓﬂ˘ËÏË), ÂÒÎË ‰ÎﬂÍ‡Ê‰Ó„Ó x ∈ M1 ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ y ∈ M 2 Ò d(x,y), ‡‚Ì˚Ï ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÂ ÏÂÊ‰ÛÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË å1 Ë å2 .

åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ÂÒÚ¸ ‡Á·ËÂÌËÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Ì‡ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ‚Á‡ËÏÌÓ ˝Í‚Ë‰ËÒÚ‡ÌÚÌ˚Â Á‡ÏÍÌÛÚ˚Â ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ Ù‡ÍÚÓ-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X/ Ì‡ÒÎÂ‰ÛÂÚ Ì‡ÚÛ‡Î¸ÌÛ˛ ÏÂÚËÍÛ, ‰ÎﬂÍÓÚÓÓÈ ‡ÒÒÚÓﬂÌÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÓ‰ÏÂÚËÂÈ.ëÚÛÍÚÛ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÍÓÌÛÒ‡èÛÒÚ¸ (X, d, x0) – ÔÛÌÍÚËÓ‚‡ÌÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, Ú.Â. ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X, d) Ò ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ x0 ∈ X. ëÚÛÍÚÛÓÈ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÍÓÌÛÒ‡ Ì‡ ÌÂÏﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ (ÚÓ˜Â˜ÌÓ) ÌÂÔÂ˚‚ÌÓÂ ÒÂÏÂÈÒÚ‚Ó ft(t ∈ ≥ 0) ‡ÒÚﬂÊÂÌËÈ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï,ÓÒÚ‡‚Îﬂ˛˘Ëı ËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌÓÈ ÚÓ˜ÍÛ ı0 , Ú‡Í ˜ÚÓ d(ft(x,y), f t(y)) = td(x,y) ‰Îﬂ ‚ÒÂı ı, ÛË ft ⋅ fs = fts.Å‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ËÏÂÂÚ Ú‡ÍÛ˛ ÒÚÛÍÚÛÛ ‰Îﬂ ‡ÒÚﬂÊÂÌËÈ ft(x) == tx(t ∈ ≥ 0).

Ö˘Â Ó‰ÌËÏ ÔËÏÂÓÏ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Â‚ÍÎË‰Ó‚ ÍÓÌÛÒ Ì‡‰ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ (ÒÏ. åÂÚËÍ‡ ÍÓÌÛÒ‡, „Î.9).åÂÚË˜ÂÒÍËÈ ÍÓÌÛÒåÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÍÓÌÛÒÓÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÔÓÎÛÏÂÚËÍ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÂVn = {1,…,n}.å‡ÚËˆ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈèÛÒÚ¸ (X = {x1,…,xn}, d) – ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. Ö„Ó Ï‡ÚËˆ‡‡ÒÒÚÓﬂÌËÈ – ˝ÚÓ ÒËÏÏÂÚË˜Ì‡ﬂ n × n Ï‡ÚËˆ‡ ((dij)), „‰Â dij = d(xi, xj) ‰Îﬂ Î˛·˚ı1 ≤ i, j ≤ n.å‡ÚËˆ‡ ä˝ÎË–åÂÌ„Â‡èÛÒÚ¸ (X = {x 1 ,…,xn}, d) – ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. å‡ÚËˆÂÈ ä˝ÎË–åÂÌ„Â‡ ‰Îﬂ ÌÂ„Ó ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒËÏÏÂÚË˜Ì‡ﬂ (n+1) × (n+1) Ï‡ÚËˆ‡0CM ( X , d ) =  Tee,D„‰Â D = (dij)) ÂÒÚ¸ Ï‡ÚËˆ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X , d ), ‡ Â–n-‚ÂÍÚÓ, ‚ÒÂÍÓÏÔÓÌÂÌÚ˚ ÍÓÚÓÓ„Ó ‡‚Ì˚ 1. éÔÂ‰ÂÎËÚÂÎ¸ Ï‡ÚËˆ˚ CM(X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÓÔÂ‰ÂÎËÚÂÎÂÏ ä˝ÎË–åÂÌ„Â‡.37ÉÎ‡‚‡ 1.

é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂå‡ÚËˆ‡ É‡ÏÏ‡èÛÒÚ¸ v1 ,…,vk – ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. å‡ÚËˆÂÈ É‡ÏÏ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÒËÏÏÂÚË˜Ì‡ﬂ k × k Ï‡ÚËˆ‡G( v1 ,...vk ) =(( v , v ))ijÔÓÔ‡Ì˚ı ÒÍ‡ÎﬂÌ˚ı ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÈ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ v1 ,…,vk.k × k Ï‡ÚËˆ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÔÓÎÛÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÓÈ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡,ÍÓ„‰‡ ˝ÚÓ Ï‡ÚËˆ‡ É‡ÏÏ‡. k × k Ï‡ÚËˆ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÓÈÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌ‡ – Ï‡ÚËˆ‡ É‡ÏÏ‡ Ò ÎËÌÂÈÌÓ ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚ÏËÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛˘ËÏË ‚ÂÍÚÓ‡ÏË.1G(v1,…,vk) = (( d E2 ( vi , v j ))) + d E2 ( v0 , v j ) − d E2 ( vi , v j ))), Ú.Â. ÒÍ‡ÎﬂÌÓÂ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ2〈,〉 ÂÒÚ¸ ÔÓ‰Ó·ÌÓÒÚ¸ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËﬂ ÉÓÏÓ‚‡ ‰Îﬂ Í‚‡‰‡Ú‡ Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ d E2 .k × k Ï‡ÚËˆ‡ (( d E2 ( vi , v j ))) ÂÒÚ¸ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÓÚËˆ‡ÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ÚËÔ‡; ‚ÒÂ Ú‡ÍËÂ k × kÏ‡ÚËˆ˚ Ó·‡ÁÛ˛Ú (ÌÂÔÓÎË˝‰‡Î¸Ì˚) Á‡ÏÍÌÛÚ˚È ‚˚ÔÛÍÎ˚È ÍÓÌÛÒ ‚ÒÂı Ú‡ÍËı‡ÒÒÚÓﬂÌËÈ Ì‡ ‰‡ÌÌÓÏ k-ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â.éÔÂ‰ÂÎËÚÂÎ¸ Ï‡ÚËˆ˚ É‡ÏÏ‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÓÔÂ‰ÂÎËÚÂÎÂÏ É‡ÏÏ‡; Â„Ó‚ÂÎË˜ËÌ‡ ‡‚Ì‡ Í‚‡‰‡ÚÛ k-ÏÂÌÓ„Ó Ó·˙ÂÏ‡ Ô‡‡ÎÎÂÎÓÚÓÔ‡, ÔÓÒÚÓÂÌÌÓ„Ó Ì‡v1 ,…,vk.àÁÓÏÂÚËﬂèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡.

îÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ‚ÎÓÊÂÌËÂÏ ï ‚ Y, ÂÒÎË ÓÌ‡ ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì‡ Ë ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X ËÏÂÂÚÏÂÒÚÓ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó dY(f(x), f(y)) = dX(x,y).àÁÓÏÂÚËÂÈ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ·ËÂÍÚË‚ÌÓÂ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ‚ÎÓÊÂÌËÂ. Ñ‚‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË (ËÎË ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË ËÁÓÏÓÙÌ˚ÏË), ÂÒÎË ÏÂÊ‰Û ÌËÏË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ËÁÓÏÂÚËﬂ.ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚, ÒÓı‡Ìﬂ˛˘ËÂÒﬂ ËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌ˚ÏË ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ ËÁÓÏÂÚËÈ (ÔÓÎÌÓÚ‡, Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÓÒÚ¸ Ë Ú.Ô.), Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ÏÂÚsË˜ÂÒÍËÏËÒ‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË (ËÎË ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË ËÌ‚‡Ë‡ÌÚ‡ÏË).àÁÓÏÂÚËÂÈ ÔÛÚË (ËÎË ÎËÌÂÈÌÓÈ ËÁÓÏÂÚËÂÈ) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËÂ ï ‚ Y (ÌÂÓ·ﬂÁ‡ÚÂÎ¸ÌÓ ·ËÂÍÚË‚ÌÓÂ), ÒÓı‡Ìﬂ˛˘ÂÂ ‰ÎËÌÛ ÍË‚˚ı.ÜÂÒÚÍÓÂ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÜÂÒÚÍËÏ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂÏ (ËÎË ÔÓÒÚÓ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂÏ) ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ËÁÓÏÂÚËﬂ (X,d) Ì‡ ÒÂ·ﬂ.ÑÎﬂ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËﬂ f ÙÛÌÍˆËﬂ ÔÂÂÌÂÒÂÌËﬂ df (x) ‡‚Ì‡ df (x, f(x)).

èÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ fÌ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÛÔÓÒÚ˚Ï, ÂÒÎË inf d f ( x ) = d ( x 0 , f ( x 0 )) ‰Îﬂ ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó x0 ∈ X,x ∈XË Ô‡‡·ÓÎË˜ÂÒÍËÏ ‚ ÓÒÚ‡Î¸Ì˚ı ÒÎÛ˜‡ﬂı. èÓÎÛÔÓÒÚÓÂ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ˝ÎÎËÔÚË˜ÂÒÍËÏ, ÂÒÎË inf d f ( x ) = 0 Ë ÓÒÂ‚˚Ï (ËÎË „ËÔÂ·ÓÎË˜ÂÒÍËÏ) ‚ ÓÒÚ‡Î¸Ì˚ıx ∈XÒÎÛ˜‡ﬂı. èÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÂÂÌÓÒÓÏ äÎËÙÙÓ‰‡, ÂÒÎË ÙÛÌÍˆËﬂ ÔÂÂÌÂÒÂÌËﬂ df (x) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚÓÈ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈ X.ëËÏÏÂÚË˜ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒËÏÏÂÚË˜Ì˚Ï, ÂÒÎË ‰ÎﬂÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÈ ÚÓ˜ÍË p ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÒËÏÏÂÚËﬂ ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ ‰‡ÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍË,38ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈÚ.Â.

Ú‡ÍÓÂ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ f p ˝ÚÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ˜ÚÓ fp (fp (x)) = x ‰Îﬂ‚ÒÂı x ∈ X, Ë  ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÁÓÎËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ fp .é‰ÌÓÓ‰ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ó ‰ Ì Ó  Ó ‰ Ì ˚ Ï (ËÎË ÒËÎ¸ÌÓÚ‡ÌÁËÚË‚Ì˚Ï), ÂÒÎË ‰Îﬂ Í‡Ê‰˚ı ‰‚Ûı ÍÓÌÂ˜Ì˚ı ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Y = {y 1 , ..., ym} Ë Z = {z1 , ..., zm} ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ ï , ÓÚÓ·‡Ê‡˛˘ÂÂ Y ‚ Z. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÚÓ˜Â˜ÌÓ-Ó‰ÌÓÓ‰Ì˚Ï,ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·˚ı ‰‚Ûı Â„Ó ÚÓ˜ÂÍ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÂÂÏÂ˘ÂÌËÂ, ÓÚÓ·‡Ê‡˛˘ÂÂ Ó‰ÌÛ ËÁ˝ÚËı ÚÓ˜ÂÍ ‚ ‰Û„Û˛. Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Ó‰ÌÓÓ‰ÌÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÂÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÓ˜ÂÚ‡ÌËË Ò ‰‡ÌÌÓÈ Ú‡ÌÁËÚË‚ÌÓÈ „ÛÔÔÓÈ ÒËÏÏÂÚËÈ.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍË Ó‰ÌÓÓ‰Ì˚Ï É˛Ì·‡ÛÏ–äÂÎÎË ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, ÂÒÎË {d(x, z) : z ∈ X} = {d(y, z) : z ∈ X} ‰ÎﬂÎ˛·˚ı x, y ∈ X.ê‡ÒÚﬂÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X,d) – ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ë r – ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÂÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ.

îÛÌÍˆËﬂ f : X → X Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡ÒÚﬂÊÂÌËÂÏ, ÂÒÎË d(f(x),f(y)) = rd(x,y) ‰Îﬂ Î˛·˚ı x, y ∈ X.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËÂåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËÂ ÂÒÚ¸ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏÓÂ Í‡Í ÙÛÌÍˆËﬂ ‰‡ÌÌÓÈÏÂÚËÍË (ÒÏ. „Î. 4).ÉÓÏÂÓÏÓÙÌ˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡Ñ‚‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, dï) Ë (Y, dY) Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ „ÓÏÂÓÏÓÙÌ˚ÏË (ËÎËÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍË ËÁÓÏÓÙÌ˚ÏË), ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ „ÓÏÂÓÏÓÙËÁÏ ËÁ ï ‚ Y, Ú.Â. Ú‡Í‡ﬂ·ËÂÍÚË‚Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ f : X → Y, ˜ÚÓ f Ë f–1 ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ (ÔÓÓ·‡Á Í‡Ê‰Ó„Ó ÓÚÍ˚ÚÓ„ÓÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‚ Y ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÓÚÍ˚Ú˚Ï ‚ ï).Ñ‚‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, dï) Ë (Y, dY ) Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ‡‚ÌÓÏÂÌÓËÁÓÏÓÙÌ˚ÏË, ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡Í‡ﬂ ·ËÂÍÚË‚Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ f : X → Y, ˜ÚÓ f Ë f–1ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ‡‚ÌÓÏÂÌÓ ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ÏË ÙÛÌÍˆËﬂÏË.

(îÛÌÍˆËﬂ g ·Û‰ÂÚ ‡‚ÌÓÏÂÌÓÌÂÔÂ˚‚ÌÓÈ, ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó ε > 0 ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡ÍÓÂ δ > 0, ˜ÚÓ ‰Îﬂ Î˛·˚ıx, y ∈ X ËÁ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ dX(x,y) < δ ÒÎÂ‰ÛÂÚ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó dY(g(x), f(y)) < ε; ÌÂÔÂ˚‚Ì‡ﬂÙÛÌÍˆËﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡‚ÌÓÏÂÌÓ ÌÂÔÂ˚‚ÌÓÈ, ÂÒÎË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ï ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓ.)äÓÌÙÓÏÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. éÚÓ·‡ÊÂÌËÂ f : X → YÌ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÍÓÌÙÓÏÌ˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ, ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·˚ı x ∈ Xd ( f ( x ), f ( y))ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÂ‰ÂÎ lim Y, ÍÓÚÓ˚È ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÍÓÌÂ˜Ì˚Ï Ë ÔÓÎÓÊËy→ xd ( x, y)ÚÂÎ¸Ì˚Ï.ä‚‡ÁËÍÓÌÙÓÏÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X, d ï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. ÉÓÏÂÓÏÓÙËÁÏ f : X → YÌ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Í‚‡ÁËÍÓÌÙÓÏÌ˚Ï (ËÎË ë-Í‚‡ÁËÍÓÌÙÓÏÌ˚Ï) ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ, ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ ë, Ú‡Í‡ﬂ ˜ÚÓ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂlim supr→0max{dY ( f ( x ), f ( y)) : d X ( x, y) ≤ r}≤Cmin{dY ( f ( x ), f ( y)) : d X ( x, y) ≥ r}39ÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„Ó x ∈ X.

ç‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ Ú‡Í‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ ë Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÍÓÌÙÓÏÌ˚Ï ‡ÒÚﬂÊÂÌËÂÏ.ä‚‡ÁËÍÓÌÙÓÏÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ f Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Í‚‡ÁËÒËÏÏÂÚË˜Ì˚Ï, ÂÒÎË, ÍÓÏÂÚÓ„Ó, ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ ë', Ú‡Í‡ﬂ ˜ÚÓmax{dY ( f ( x ), f ( y)) : d X ( x, y) ≤ r}≤Cmin{dY ( f ( x ), f ( y)) : d X ( x, y) ≥ r}‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈ X Ë ‚ÒÂı ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì˚ı r.äÓÌÙÓÏÌ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) (è‡ÌÒ˛, 1989)ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÌÙËÏÛÏÓÏ ‡ÁÏÂÌÓÒÚË ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ ÔÓ ‚ÒÂÏ Í‚‡ÁËÍÓÌÙÓÏÌ˚ÏÓÚÓ·‡ÊÂÌËﬂÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ‚ ÌÂÍÓÚÓÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.ãËÔ¯ËˆÂ‚Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ Ò – ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡. ÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (X, dï) Ë(Y, d Y) ÙÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÎËÔ¯ËˆÂ‚˚Ï ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ (ËÎËÒ-ÎËÔ¯ËˆÂ‚˚Ï, ÂÒÎË ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÛÔÓÏﬂÌÛÚ¸ ÔÓÒÚÓﬂÌÌÛ˛ Ò), ÂÒÎË ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚ÓdY ( f ( x ), f ( y)) ≤ cd X ( x, y)‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.Ò-ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÛÍÓ‡˜Ë‚‡˛˘ËÏ, ÂÒÎË Ò = 1, Ë ÒÊËÏ‡˛˘ËÏ, ÂÒÎË Ò < 1.ÅË-ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ Ò > 1 – ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡.

íÓ„‰‡ ‰Îﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (X,dï) Ë (Y, dY) ÙÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ·Ë-ÎËÔ¯ËˆÂ‚˚Ï ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ (ËÎËÒ-·Ë-ÎËÔ¯ËˆÂ‚˚Ï ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ, Ò - ‚ÎÓÊÂÌËÂÏ), ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡ÍÓÂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ r, ˜ÚÓ ‰Îﬂ Î˛·˚ı x, y ∈ X ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡rd X ( x, y) ≤ dY ( f ( x ), f ( y)) ≤ crd X ( x, y).ä‡Ê‰ÓÂ ·Ë-ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Í‚‡ÁËÍÓÌÙÓÏÌ˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ.ç‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ Ò, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈ f ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ò-·Ë-ÎËÔ¯ËˆÂ‚˚Ï ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ËÒÍ‡ÊÂÌËÂÏ f.ÅÛ„‡ÈÌ ‰ÓÍ‡Á‡Î, ˜ÚÓ Í‡Ê‰ÓÂ k-ÚÓ˜Â˜ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ò-‚ÎÓÊËÏÓ ‚ÌÂÍÓÚÓÓÂ Â‚ÍÎË‰Ó‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ò ËÒÍ‡ÊÂÌËÂÏ O(lnk).

àÒÍ‡ÊÂÌËÂ ÉÓÏÓ‚‡ ‰ÎﬂÍË‚˚ı ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÒÓ·ÓÈ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÂ ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ ‰ÎËÌ˚ ‰Û„Ë Í ‰ÎËÌÂ ıÓ‰˚.Ñ‚Â ÏÂÚËÍË d1 Ë d2 Ì‡ ï Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ·Ë-ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË, ÂÒÎËÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú Ú‡ÍËÂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì˚Â ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ˚ Ò Ë ë, ˜ÚÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ócd1(x,y) ≤ d2 (x,y) ≤ Cd 1 (x,y) ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X, Ú.Â. ÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÂÌÌÓÂÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ ÂÒÚ¸ ·Ë-ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ (X, d1 ) ‚ (X, d2 ).ê‡‚ÌÓÏÂÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂèÛÒÚ¸ (X, dï) Ë (Y, dY) – ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡. îÛÌÍˆËﬂ f : X → Y Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ‡‚ÌÓÏÂÌ˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ, ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú Ú‡ÍËÂ ‰‚ÂÌÂÛ·˚‚‡˛˘ËÂ ÙÛÌÍˆËË g1 Ë g2 ËÁ ≥ 0 ‚ ÒÂ·ﬂ Ò lim gi (r ) = ∞ ‰Îﬂ i = 1, 2, ˜ÚÓr →∞ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡g1 ( d X ( x, y) ≤ dY ( f ( x ), f ( y)) ≤ g2 ( d X ( x, y))ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.40ó‡ÒÚ¸ I.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.