Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 6

PDF-файл Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 6 (ММО) Методы машинного обучения (63166): Книга - 10 семестр (2 семестр магистратуры)Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) - PDF, страница 2020-08-252020-08-25KoalaСтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf1231

Описание файла

PDF-файл из архива "Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "(ммо) методы машинного обучения" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 6 страницы из PDF

ê‡Ì„Î˛·Ó„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, „ËÔÂ·ÓÎË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û, ‡‚ÂÌ 1.ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ë Î˛·˚ı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı p, q > 0 ÔÛÒÚ¸M pq ( X ) =+∞p∑ (diam( Ai )) , „‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ Ò˜ÂÚÌ˚Ï ÔÓÍ˚ÚËﬂÏ {Ai}ii =1ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Ò ‰Ë‡ÏÂÚÓÏ Ai ÏÂÌ¸¯Â q. ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ (ËÎË ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡-ÅÂÒËÍÓ‚Ë˜‡, ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÂÏÍÓÒÚË, Ù‡ÍÚ‡Î¸Ì‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸)dim Haus(X,d) ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Íinf  p : lim M pq ( X ) = 0 . q→0ã˛·ÓÂ Ò˜ÂÚÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ËÏÂÂÚ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡,‡‚ÌÛ˛ 0; ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ ‰Îﬂ Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n ‡‚Ì‡ n.ÑÎﬂ Í‡Ê‰Ó„Ó ‚ÔÓÎÌÂ Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Â„Ó ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ Ó„‡ÌË˜ÂÌ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ Ò‚ÂıÛ Ë ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓÈ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÒÌËÁÛ.íÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ÑÎﬂ Î˛·Ó„Ó ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Â„Ó ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ (ËÎË ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÎÂ·Â„Ó‚‡ ÔÓÍ˚ÚËﬂ) ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í{}inf dim ( X , d ′) ,d′Haus„‰Â d' – Î˛·‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ï, ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍË ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ‡ﬂ d, ‡ dim – ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸Hausï‡ÛÒ‰ÓÙ‡.Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓÈï Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ˆÂÎÓÂÓÚÍ˚ÚÓ„Ó ÔÓÍ˚ÚËﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï(Ú.Â.

ÔÓ‰‡Á‰ÂÎÂÌËÂ), Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ÌË·ÓÎÂÂ ˜ÂÏ n + 1 ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ï.‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡˜ËÒÎÓ n, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó ÍÓÌÂ˜ÌÓ„ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ÓÚÍ˚ÚÓÂ ÔÓ‰ÔÓÍ˚ÚËÂÓ‰Ì‡ ËÁ ÚÓ˜ÂÍ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÌÂ ÔËÌ‡‰ÎÂÊËÚî‡ÍÚ‡ÎíÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ Î˛·Ó„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÌÂ ÔÂ‚˚¯‡ÂÚÂ„Ó ‡ÁÏÂÌÓÒÚË ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡. î‡ÍÚ‡ÎÓÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó,‰Îﬂ ÍÓÚÓÓ„Ó ˝ÚÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÚÓ„ËÏ. (èÂ‚ÓÌ‡˜‡Î¸ÌÓ å‡Ì‰ÂÎ¸·ÓÈÚÓÔÂ‰ÂÎËÎ Ù‡ÍÚ‡Î Í‡Í ÚÓ˜Â˜ÌÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ò ÌÂˆÂÎÓ˜ËÒÎÂÌÌÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡). ç‡ÔËÏÂ, ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ä‡ÌÚÓ‡, ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡ÂÏÓÂ Í‡Í ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ , d(x, y) = |x–y|), Ó·Î‡‰‡ÂÚ ‡Áln 2ÏÂÌÓÒÚ¸˛ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡; (ÒÏ. ‰Û„Û˛ ä‡ÌÚÓÓ‚Û ÏÂÚËÍÛ Ì‡ ÌÂÏ ‚ „Î. 11, 18).ln 3ÑÛ„ÓÈ ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍËÈ Ù‡ÍÚ‡Î, ÍÓ‚Â ëÂÔËÌÒÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ [0,1] × [0,1], ﬂ‚ÎﬂÂÚ-ÉÎ‡‚‡ 1.

é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ29Òﬂ ÔÓÎÌ˚Ï „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡( 2 , d(x, y) = ||x–y||1 ).íÂÏËÌ Ù‡ÍÚ‡Î ËÒÔÓÎ¸ÁÛÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ ‚ ·ÓÎÂÂ Ó·˘ÂÏ ÒÏ˚ÒÎÂ ‰Îﬂ Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËﬂÒ‡ÏÓÔÓ‰Ó·ÌÓÒÚË (Ú.Â., „Û·Ó „Ó‚Óﬂ, ÔÓ‰Ó·Ëﬂ ÔË Î˛·ÓÏ Ï‡Ò¯Ú‡·Â) Ó·˙ÂÍÚ‡(Ó·˚˜ÌÓ – ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ n).ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÄÒÒÛ‡‰–ç‡„‡Ú‡ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÄÒÒÛ‡‰‡–ç‡„‡Ú˚ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÌ‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ n (ËÎË ∞, ÂÒÎË Ú‡ÍÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ n ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ),‰Îﬂ ÍÓÚÓÓ„Ó ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ ë > 0, Ú‡Í‡ﬂ ˜ÚÓ ‰Îﬂ ‚ÒÂı s > 0 ËÏÂÂÚÒﬂÔÓÍ˚ÚËÂ ï Â„Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ò ‰Ë‡ÏÂÚ‡ÏË ≤ë s, ‚ ÍÓÚÓÓÏ Í‡Ê‰ÓÂÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï ‰Ë‡ÏÂÚ‡ ≤s ÔÂÂÒÂÍ‡ÂÚÒﬂ Ò ≤n + 1 ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÔÓÍ˚ÚËﬂ.ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÄÒÒÛ‡‰‡–ç‡„‡Ú˚ ·Û‰ÂÚ ÍÓÌÂ˜ÌÓÈ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡d – ÏÂÚËÍ‡ Û‰‚ÓÂÌËﬂ.íÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÌÂ ÔÂ‚˚¯‡ÂÚ Â„Ó‡ÁÏÂÌÓÒÚË ÄÒÒÛ‡‰‡–ç‡„‡Ú˚.ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ Û‰‚ÓÂÌËﬂê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ Û‰‚ÓÂÌËﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ˆÂÎÓÂ ˜ËÒÎÓ N (ËÎË ∞, ÂÒÎË Ú‡ÍÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ N ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ), Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓÍ‡Ê‰˚È ÏÂÚË˜ÂÒÍËÈ ¯‡ (ËÎË, ÒÍ‡ÊÂÏ, ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ‰Ë‡ÏÂÚ‡) ÏÓÊÂÚ·˚Ú¸ ÔÓÍ˚Ú ÒÂÏÂÈÒÚ‚ÓÏ ÌÂ ·ÓÎÂÂ 2N ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ¯‡Ó‚ (ËÎË ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓÏÌÓÊÂÒÚ‚) Ò ÔÓÎÓ‚ËÌÌ˚Ï ‰Ë‡ÏÂÚÓÏ.

ÖÒÎË (X,d) ËÏÂÂÚ ÍÓÌÂ˜ÌÛ˛ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸Û‰‚ÓÂÌËﬂ, ÚÓ d Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍÓÈ Û‰‚ÓÂÌËﬂ.ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÇÓÎ¸·Â„‡–äÓÌﬂ„ËÌ‡ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÇÓÎ¸·Â„‡–äÓÌﬂ„ËÌ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ C > 1 (ËÎË ∞, ÂÒÎË Ú‡ÍÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ C ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ), ‰ÎﬂÍÓÚÓÓÈ ï Ó·Î‡‰‡ÂÚ ÏÂÓÈ Û‰‚ÓÂÌËﬂ, Ú.Â.

·ÓÂÎÂ‚ÒÍÓÈ ÏÂÓÈ µ, Ú‡ÍÓÈ ˜ÚÓµ( B ( x, 2 r )) ≤ Cµ( B , r ))‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈ X Ë r > 0. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ó·Î‡‰‡ÂÚ ÏÂÓÈ Û‰‚ÓÂÌËﬂÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ d ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍÓÈ Û‰‚ÓÂÌËﬂ, Ë Î˛·‡ﬂ ÔÓÎÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡Û‰‚ÓÂÌËﬂ Ó·Î‡‰‡ÂÚ ÏÂÓÈ Û‰‚ÓÂÌËﬂ.äÓÌÒÚ‡ÌÚÓÈ ä‡„Â‡–êÛÎ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ Ò > 1 (ËÎË ∞, ÂÒÎË Ú‡ÍÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ Ò ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ), ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈB ( x, 2 r ) ≤ c B ( x, r )‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈ X Ë r > 0. ÖÒÎË ÓÌ‡ ÍÓÌÂ˜Ì‡ (ÒÍ‡ÊÂÏ, ‡‚Ì‡ t), ÚÓ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÂÁÌ‡˜ÂÌËÂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚË Û‰‚ÓÂÌËﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ÒÓÒÚ‡‚ËÚ 4t.ÄÒËÏÔÚÓÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸èÓÌﬂÚËÂ ‡ÒËÏÔÚÓÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚË ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ·˚ÎÓ‚‚Â‰ÂÌÓ ÉÓÏÓ‚˚Ï.

ùÚÓ – Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ˜ËÒÎÓ n, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó s > 0ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ D = D(s) Ë ÔÓÍ˚ÚËÂ ï Â„Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ò ‰Ë‡ÏÂÚ‡ÏË,ÌÂ ÔÂ‚ÓÒıÓ‰ﬂ˘ËÏË D , ‚ ÍÓÚÓÓÏ Í‡Ê‰ÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï ‰Ë‡ÏÂÚ‡ ≤s ÔÂÂÒÂÍ‡ÂÚÒﬂ Ò ≤n + 1 ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÔÓÍ˚ÚËﬂ.ê‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÉÓ‰ÒËÎ–å‡ÍÍÂﬂåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) ËÏÂÂÚ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÉÓ‰ÒËÎ–å‡ÍÍÂﬂ n ≥ 0, ÂÒÎËÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ˝ÎÂÏÂÌÚ x0 ∈ X Ë ‰‚Â ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì˚Â ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ˚ Ò Ë ë , Ú‡ÍËÂ ˜ÚÓ30ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ckn ≤ |{x ∈ X : d(x, x0) ≤ k}| ≤ Ckn ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„Ó ˆÂÎÓ„Ó ˜ËÒÎ‡k 0.

Ñ‡ÌÌÓÂ ÔÓÌﬂÚËÂ ·˚ÎÓ ‚‚Â‰ÂÌÓ ‚ [GoMc80] ‰Îﬂ Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÏÂÚËÍË ÔÛÚËÒ˜ÂÚÌÓ„Ó ÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó „‡Ù‡. Å˚ÎÓ ‰ÓÍ‡Á‡ÌÓ, ˜ÚÓ ÂÒÎË „ÛÔÔ‡ n ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚÌ‡ ‚Â¯ËÌ‡ı „‡Ù‡ ÚÓ˜ÌÓ Ë Ò ÍÓÌÂ˜Ì˚Ï ˜ËÒÎÓÏ Ó·ËÚ, ÚÓ ‰‡ÌÌ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸‡‚Ì‡ n.ÑÎËÌ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÑÎËÌÓÈ îÂÏÎËÌ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ó‰ÌÓÏÂÌ‡ﬂ ‚ÌÂ¯ÌﬂﬂÏÂ‡ ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ Ì‡ X.ÑÎËÌÓÈ ïÂÈÍÏ‡Ì‡ lng(Y) ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ M ⊂ X ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d)Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ sup{lng( M ′) : M ′ ⊂ M , M ′ < ∞}. á‰ÂÒ¸ lng(∅ ) = 0 Ë, ‰Îﬂ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„ÓnÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ M' ⊂ X, lng(M') = min∑ d( xi −1, xi ),„‰Â ÏËÌËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏi =1ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚﬂÏ x 0 , ..., xn, Ú‡ÍËÏ ˜ÚÓ {x i : i = 0, 1, ..., n} = M'.ÑÎËÌÓÈ òÂıÚÏ‡Ì‡ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂninf∑ ai2ÔÓ ‚ÒÂÏ Ú‡ÍËÏ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚﬂÏ a1, ..., an ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì˚ı ˜ËÒÂÎ, ˜ÚÓi =1ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚ¸ ï0, …, ïn ‡Á·ËÂÌËÈ ï ÒÓ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏË Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË:1. ï 0 = {X} Ë ïn = {{x} : x ∈ X};2. ï i ÔÓ‰‡Á·Ë‚‡ÂÚ ïi–1 ‰Îﬂ i = 1, …, n;3. ÑÎﬂ i = 1,…, n Ë B, C ⊂ A ∈ Xi– 1 Ò B, C ∈ X i ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡ÍÓÂ Ó‰ÌÓÁÌ‡˜ÌÓÂÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ f ËÁ Ç Ì‡ ë, ˜ÚÓ d(x, f)(x)) ≤ ai ‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈ B.íËÔ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡íËÔ ÔÓ ÖÌÙÎÓ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ‡‚ÂÌ , ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ú‡Í‡ﬂÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ 1 ≤ ë < ∞, ˜ÚÓ ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„Ó n ∈ Ë Í‡Ê‰ÓÈ ÙÛÌÍˆËË f : {–1,1}n → X ËÏÂÂÚÏÂÒÚÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó∑d p ( f (ε ), f ( − ε )) ≤ε ∈{−1,1}nn≤ Cp∑ ∑j =1 ε ∈{−1,1}d p ( f (ε1 ,..., ε j −1 , ε j +1 ,..., ε n ), f (ε1 ,..., ε j −1 , − ε j ,..., ε n )).nÅ‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (V, || ⋅ ||) ÚËÔ‡  ÔÓ ÖÌÙÎÓ ËÏÂÂÚ ÚËÔ  ÔÓ ê‡‰ÂÏ‡ıÂÛ,Ú.Â.

‰Îﬂ ‚ÒÂı ı1 ,…,ın ∈ V ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ópn∑ ∑ε ∈{−1,1}n j =1εjxjn≤ Cp∑pxj .j =1ÑÎﬂ ‰‡ÌÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ÒËÏÏÂÚË˜ÌÓÈ ˆÂÔ¸˛ å‡ÍÓ‚‡∞Ì‡ ï ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ˆÂÔ¸ å‡ÍÓ‚‡ { l }l = 0 Ì‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â ÒÓÒÚÓﬂÌËÈ {ı1,…,ım} ⊂ Xc Ú‡ÍËÏ ÒËÏÏÂÚË˜Ì˚Ï ÔÂÂÌÓÒÓÏ m × m Ï‡ÚËˆ˚ ((aij)) ˜ÚÓ P(Zl+1 = xj : Zl = xj) = aij Ë1P(Z 0 = xi) =‰Îﬂ ‚ÒÂı ˆÂÎ˚ı 1 ≤ i, j ≤ m Ë l ≥ 0. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d)m31ÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂËÏÂÂÚ ÚËÔ  ÔÓ å‡ÍÓ‚Û (ÅÓÎÎ, 1992), ÂÒÎË supT Mp (X, T) < ∞, „‰Â Mp (X, T) – Ú‡Í‡ﬂ∞Ì‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ C > 0, ˜ÚÓ ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÒËÏÏÂÚË˜ÌÓÈ ˆÂÔË å‡ÍÓ‚‡ { l }l = 0Ì ‡ ï ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ, ‚ ÚÂÏËÌ‡ı ÓÊË‰‡ÂÏÓÈ ‚ÂÎË˜ËÌ˚ (ÒÂ‰ÌÂ„Ó ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ)[ X ] =xp( x ) ‰ËÒÍÂÚÌÓÈ ÒÎÛ˜‡ÈÌÓÈ ‚ÂÎË˜ËÌ˚ ï, ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó∑xd p ( ZT , Z0 ) ≤ TC pd p ( Z1 , Z0 ).åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÚËÔ‡  ÔÓ å‡ÍÓ‚Û ËÏÂÂÚ ÚËÔ  ÔÓ ÖÌÙÎÓ.ëËÎ‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡èÛÒÚ¸ (X,d) – ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ò s ‡ÁÎË˜Ì˚ÏË ÌÂÌÛÎÂ‚˚ÏË ÁÌ‡˜ÂÌËﬂÏË dx,y.

Ö„Ó ÒËÎ‡ ÂÒÚ¸ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ˜ËÒÎÓ t, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ‰Îﬂ Î˛·˚ıˆÂÎ˚ı p, q ≥ 0 c p + q ≤ t ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ fpq(s) ÒÚÂÔÂÌË, ÌÂ ÔÂ‚ÓÒıÓ‰ﬂ˘ÂÈ()() (( fmin{p, q}, Ú‡ÍÓÈ ˜ÚÓ ( dij2 p ) ( dij2 q ) =)).2pq ( dij )åÂÚË˜ÂÒÍËÈ ÙÛÌÍˆËÓÌ‡ÎÑÎﬂ ÒÎÛ˜‡ﬂ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ M ⊂ X ‚ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â (X,d)ÔËÏÂ˚ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î‡ Ì‡ å ÔË‚Â‰ÂÌ˚ ÌËÊÂ.1-˝ÌÂ„Ëﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ å ÂÒÚ¸ ˜ËÒÎÓ; Ó·˚˜ÌÓ  = 1,2.pd ( x, y)x , y ∈M , x ≠ y∑ëÂ‰ÌÂÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ å ÂÒÚ¸ ˜ËÒÎÓ∑1d ( x, y).M ( M − 1) x , y ∈MàÌ‰ÂÍÒ ÇËÌÂ‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ å (ÔËÏÂÌﬂÂÏ˚È ‚ ıËÏËË) ÂÒÚ¸ ˜ËÒÎÓ∑1d ( x, y).2 x , y ∈MñÂÌÚ Ï‡ÒÒ˚ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ å ÂÒÚ¸ ÚÓ˜Í‡ x ∈ M, ÏËÌËÏËÁËÛ˛˘‡ﬂÙÛÌÍˆËÓÌ‡Îd 2 ( x, y).∑y ∈MóËÒÎÓ ‚ÒÚÂ˜ËóËÒÎÓÏ ‚ÒÚÂ˜Ë (ËÎË ˜ËÒÎÓÏ ÉÓÒÒ‡, Ï‡„Ë˜ÂÒÍËÏ ˜ËÒÎÓÏ) ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓÂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ r(X,d) (ÂÒÎËÚ‡ÍÓÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ), Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„Ó ˆÂÎÓ„Ó n Ë Î˛·˚ı (ÌÂ Ó·ﬂÁ‡ÚÂÎ¸ÌÓ‡ÁÎË˜Ì˚ı) x1,...,xn ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ x ∈ X, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓ„Ór( X, d ) =12n∑ d( xi , x ).i =1ÖÒÎË ‰Îﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) ˜ËÒÎÓ ‚ÒÚÂ˜Ë r(X,d) ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, ÚÓ„Ó‚ÓﬂÚ, ˜ÚÓ (X,d) ËÏÂÂÚ Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó ÒÂ‰ÌÂ„Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Ë Â„Ó Ï‡„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡r( X, d )ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í, „‰Â diam(X,d) = max d ( x, y) – ‰Ë‡ÏÂÚ (X,d).x , y ∈Xdiam( X , d )ä‡Ê‰ÓÂ ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓÂ Ò‚ﬂÁÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ó·Î‡‰‡ÂÚ Ò‚ÓÈÒÚ‚ÓÏÒÂ‰ÌÂ„Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ.

Ö‰ËÌË˜Ì˚È ¯‡ {x ∈ V : ||x|| ≤ 1} ·‡Ì‡ıÓ‚‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡(V, || ⋅ ||) ËÏÂÂÚ Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó ÒÂ‰ÌÂ„Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Ò ˜ËÒÎÓÏ ‚ÒÚÂ˜Ë 1.32ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈèÓﬂ‰ÓÍ ÍÓÌ„Û˝ÌÚÌÓÒÚËåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ó·Î‡‰‡ÂÚ ÔÓﬂ‰ÍÓÏ ÍÓÌ„Û˝ÌÚÌÓÒÚË n, ÂÒÎËÍ‡Ê‰ÓÂ ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÌÂ ﬂ‚Îﬂ˛˘ÂÂÒﬂ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË‚ÎÓÊËÏ˚Ï ‚ (X,d), ËÏÂÂÚ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÒÓ‰ÂÊ‡˘ÂÂ ÌÂ ·ÓÎÂÂ n ÚÓ˜ÂÍ, ÍÓÚÓÓÂÌÂ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍË ‚ÎÓÊÂÌÓ ‚ (X,d).ê‡‰ËÛÒ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡èÛÒÚ¸ (X,d) – Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ë M ⊂ X. åÂÚË˜ÂÒÍËÏ‡‰ËÛÒÓÏ (ËÎË ‡‰ËÛÒÓÏ) ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ å Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ËÌÙËÏÛÏ ‡‰ËÛÒÓ‚ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı¯‡Ó‚, ÒÓ‰ÂÊ‡˘Ëı å, Ú.Â. inf sup d ( x, y).

çÂÍÓÚÓ˚Â ‡‚ÚÓ˚ Ì‡Á˚‚‡˛Ú ‡‰ËÛÒÓÏx ∈M y ∈MÔÓÎÓ‚ËÌÛ ‰Ë‡ÏÂÚ‡.ê‡‰ËÛÒÓÏ ÔÓÍ˚ÚËﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ M ⊂ X Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ max min d ( x, y), Ú.Â. Ì‡Ëx ∈X y ∈MÏÂÌ¸¯ÂÂ ˜ËÒÎÓ R, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ ÓÚÍ˚Ú˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ¯‡˚ ‡‰ËÛÒ‡ R c ˆÂÌÚ‡ÏË ‚˝ÎÂÏÂÌÚ‡ı å ÔÓÍ˚‚‡˛Ú ï. Ö„Ó Ì‡Á˚‚‡˛Ú Â˘Â ÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚˚Ï‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏ ÓÚ ï Í å. åÌÓÊÂÒÚ‚Ó å Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ε-ÔÓÍ˚ÚËÂÏ, ÂÒÎË Â„Ó ‡‰ËÛÒÔÓÍ˚ÚËﬂ ÌÂ ÔÂ‚˚¯‡ÂÚ ε. ÑÎﬂ ‰‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ m ÏËÌËÏ‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌÌ‡ﬂ ÍÓÌÙË„Û‡ˆËﬂ ‡ÁÏÂ‡ m ÂÒÚ¸ m-ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï ÒÌ‡ËÏÂÌ¸¯ËÏ ‡‰ËÛÒÓÏ ÔÓÍ˚ÚËﬂ.ê‡‰ËÛÒÓÏ ÛÔÎÓÚÌÂÌËﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ M ⊂ X Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ú‡ÍÓÂ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ r, ˜ÚÓÓÚÍ˚Ú˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ¯‡˚ ‡‰ËÛÒ‡ r Ò ˆÂÌÚ‡ÏË ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ı å ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂÔÓÔ‡ÌÓ ÌÂÔÂÂÒÂÍ‡˛˘ËÏËÒﬂ, Ú.Â. min min d ( x, y) > 2 r. åÌÓÊÂÒÚ‚Ó å Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂy ∈X y ∈Mε-ÛÔÎÓÚÌÂÌËÂÏ, ÂÒÎË Â„Ó ‡‰ËÛÒ ÛÔÎÓÚÌÂÌËﬂ ÌÂ ÏÂÌÂÂ ε. ÑÎﬂ ‰‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ m Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌÌ‡ﬂ ÍÓÌÙË„Û‡ˆËﬂ ‡ÁÏÂ‡ m ÂÒÚ¸ m-ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Ò Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ËÏ ‡‰ËÛÒÓÏ ÛÔÎÓÚÌÂÌËﬂ.ê‡ÁÏÂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯Â„Ó ε -ÔÓÍ˚ÚËﬂ ÌÂ ÔÂ‚ÓÒıÓ‰ËÚ ‡ÁÏÂ‡ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯Â„Óεε-ÛÔÎÓÚÌÂÌËﬂ.

-ÛÔÎÓÚÌÂÌËÂ å ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÌÂ‡Ò¯ËﬂÂÏ˚Ï, ÂÒÎË M ∪ {x} ÌÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚ22εÒﬂ -ÛÔÎÓÚÌÂÌËÂÏ ‰Îﬂ Í‡Ê‰Ó„Ó x ∈ X\M, Ú.Â. å ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ ε-ÒÂÚ¸˛.2ùÍÒˆÂÌÚËÒËÚÂÚèÛÒÚ¸ (X,d) – Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. ùÍÒˆÂÌÚËÒËÚÂÚÓÏ ÚÓ˜ÍËx ∈ X Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ˜ËÒÎÓ e( x ) = max d ( x, y). óËÒÎ‡ max e( x ) Ë min e( x ) Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂy ∈Xx ∈Xx ∈XÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‰Ë‡ÏÂÚÓÏ Ë ‡‰ËÛÒÓÏ (X,d).íÓ˜ÍË x ∈ X Ò Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì˚Ï Â(ı) Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ÔÂËÙÂËÈÌ˚ÏË ÚÓ˜Í‡ÏË.åÌÓÊÂÒÚ‚‡ {x ∈ X : e(x) ≤ e(z) ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó z ∈ X} Ë {x ∈ X :d ( x, y) ≤d ( z, y)∑y ∈X∑y ∈X‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó z ∈ X } Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ˆÂÌÚÓÏ (ËÎËˆÂÌÚÓÏ ˝ÍÒˆÂÌÚËÒËÚÂÚ‡, ˆÂÌÚÓÏ) Ë ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ÏÂ‰Ë‡ÌÓÈ (ËÎË ˆÂÌÚÓÏ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d).k-ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ M ⊂ X k-ÏÂ‰Ë‡ÌÓÈ, ÂÒÎË ÓÌ‡ ÏËÌËÏËÁËÛÂÚ ÒÛÏÏÛd ( x, M ), „‰Â d(x,M) – ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ.∑x ∈X33ÉÎ‡‚‡ 1.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.