Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 5

PDF-файл Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 5 (ММО) Методы машинного обучения (63166): Книга - 10 семестр (2 семестр магистратуры)Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) - PDF, страница 2020-08-252020-08-25KoalaСтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf1231

Описание файла

PDF-файл из архива "Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "(ммо) методы машинного обучения" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 5 страницы из PDF

ÑÎﬂ‰‡ÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍË x ∈ X ‡‰ËÛÒÓÏ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚË Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡‰ËÛÒ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯Â„Ó ‚ÔÓÎÌÂ‚˚ÔÛÍÎÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ¯‡‡ Ò ˆÂÌÚÓÏ ‚ ÚÓ˜ÍÂ ı.Ç˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÅÛÁÂÏ‡Ì‡ÉÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓÅÛÁÂÏ‡ÌÛ (ËÎË „ÎÓ·‡Î¸ÌÓ ÌÂÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ËÒÍË‚ÎÂÌÌ˚Ï ÔÓ ÅÛÁÂÏ‡ÌÛ), ÂÒÎË ‰ÎﬂÎ˛·˚ı ÚÂı ÚÓ˜ÂÍ x, y, z ∈ X Ë ÒÂ‰ËÌÌ˚ı ÚÓ˜ÂÍ m(x, z) Ë m(y, z) ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂÛÒÎÓ‚ËÂd ( m( x, z ), m( y, z )) ≤1d ( x, y).2ÑÛ„ËÏË ÒÎÓ‚‡ÏË, ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ D(c1, c2) ÏÂÊ‰Û Î˛·˚ÏË „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÏË ÓÚÂÁÍ‡ÏË Ë c1 = [a1 , b 1 ] ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÈ ÙÛÌÍˆËÂÈ.

(ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ f,ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Ì‡ ÌÂÍÓÚÓÓÏ ËÌÚÂ‚‡ÎÂ, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÈ, ÂÒÎË ÛÒÎÓ‚ËÂf(λx + (1 – λ)y) ≤ λf(x) + (1 – λ)f(y) ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ‰Îﬂ Î˛·˚ı ı, Û Ë λ ∈ (0, 1).)èÎÓÒÍ‡ﬂ Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ÔÓÎÓÒ‡ {(x, y) ∈ 2: 0 < x < 1} ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ „ËÔÂ·ÓÎË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓÉÓÏÓ‚Û, ÌÓ ÌÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÈ ÔÓ ÅÛÁÂÏ‡ÌÛ. Ñ‚Â Î˛·˚Â ÚÓ˜ÍË ÔÓÎÌÓ„ÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ‚˚ÔÛÍÎÓ„Ó ÔÓ ÅÛÁÂÏ‡ÌÛ, Ò‚ﬂÁ‡Ì˚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï„ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÏ ÓÚÂÁÍÓÏ.ÉÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓÅÛÁÂÏ‡ÌÛ (ÅÛÁÂÏ‡Ì, 1948), ÂÒÎË ‚˚¯ÂÛÍ‡Á‡ÌÌÓÂ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ‚˚ÔÎÓÌﬂÂÚÒﬂÎÓÍ‡Î¸ÌÓ.ã˛·ÓÂ ÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ëÄí(0) ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ÒÏ. „Î. 6) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ ÅÛÁÂÏ‡ÌÛ Ë Î˛·ÓÂ „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓÂ ëÄí(0) ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ ÅÛÁÂÏ‡ÌÛ, ÌÓ Ó·‡ÚÌÓÂ ÌÂ‚ÂÌÓ.Ç˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓ åÂÌ„ÂÛåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ åÂÌ„ÂÛ, ÂÒÎË ‰Îﬂ‰‚Ûı ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÂÚ¸ﬂ ÚÓ˜Í‡ z ∈ X , ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈd(x, y) = d(x, z) + d(z, y), Ú.Â.

ÛÒÎÓ‚ËÂ |I(x, y)| > 2 ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ‰Îﬂ Á‡ÏÍÌÛÚÓ„ÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ËÌÚÂ‚‡Î‡ I (x, y) = {z ∈ X : d(x, y) = d(x, z) + d(z, y)}. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ25ÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÚÓ„Ó ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ åÂÌ„ÂÛ, ÂÒÎË Ú‡Í‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ zﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó M ⊂ X Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ d-‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ (åÂÌ„Â, 1928), ÂÒÎË‰Îﬂ Î˛·˚ı ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ‚ÍÎ˛˜ÂÌËÂ I(x, y) ⊂ M. îÛÌÍˆËﬂf : M → , ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Ì‡ d -‚˚ÔÛÍÎÓÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â M ⊂ X , Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂd-‚˚ÔÛÍÎÓÈ ÙÛÌÍˆËÂÈ, ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó z ∈ I(x, y) ⊂ M ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ÛÒÎÓ‚ËÂf (z) ≤d ( y, z )d ( x, z )f ( x) +f ( y).d ( x, y)d ( x, y)ëÂ‰ËÌÌ‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÂ‰ËÌÌÓ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï (ËÎË‰ÓÔÛÒÍ‡˛˘ËÏ ÒÂ‰ËÌÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ), ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·˚ı ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ XÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÂÚ¸ﬂ ÚÓ˜Í‡ z ∈ X, Ì‡Á˚‚‡ÂÏ‡ﬂ ÒÂ‰ËÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ m(x, y), ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈ1‚˚ÔÓÎÌﬂ˛ÚÒﬂ ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) Ë d ( x, z ) = d ( x, y).2éÚÓ·‡ÊÂÌËÂ m : ï × ï → X Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÂ‰ËÌÌ˚Ï ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ(ÒÏ.

ëÂ‰ËÌÌÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó); ÓÌÓ ·Û‰ÂÚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï, ÂÒÎË ÛÍ‡Á‡ÌÌ‡ﬂ ‚˚¯Â ÚÓ˜Í‡ zÂ‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ‡ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X.èÓÎÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ ÒÂ‰ËÌÌÓ ‚˚ÔÛÍÎÓ.ò‡Ó‚‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ëÂ‰ËÌÌÓ ‚˚ÔÛÍÎÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ¯‡Ó‚Ó‚˚ÔÛÍÎ˚Ï, ÂÒÎË ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ód ( m( x, y), z ) ≤ max{d ( x, z ), d ( y, z )}ÒÔ‡‚Â‰ÎË‚Ó ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y, z ∈ X Ë Î˛·Ó„Ó ÒÂ‰ËÌÌÓ„Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËﬂ m(x, y).ò‡Ó‚‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ‚ÎÂ˜ÂÚ, ˜ÚÓ ‚ÒÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ¯‡˚ ‚ÔÓÎÌÂ ‚˚ÔÛÍÎ˚,Ë, ‚ ÒÎÛ˜‡Â „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, Ì‡Ó·ÓÓÚ.2åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ( 2 , d ( x, y) =∑xi − yi ) ¯‡Ó‚Ó ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÌÂi =1ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ.ê‡ÒÒÚÓﬂÌÌ‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ëÂ‰ËÌÌÓ ‚˚ÔÛÍÎÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌÌÓ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï, ÂÒÎËd ( m( x, y), z ) ≤1( d ( x, z ) + d ( y, z )).2ÉÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌÌÓ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÚÓ„‰‡Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÛÊÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ d(x, ⋅ ), x ∈ X Ì‡ Í‡Ê‰˚È„ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍËÈ ÓÚÂÁÓÍ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÈ ÙÛÌÍˆËÂÈ.ê‡ÒÒÚÓﬂÌÌ‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓÓÊ‰‡ÂÚ ¯‡Ó‚Û˛ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ Ë, ‰Îﬂ ÒÎÛ˜‡ﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, ‚˚ÔÛÍÎÓ„Ó ÔÓ ÅÛÁÂÏ‡ÌÛ, Ì‡Ó·ÓÓÚ.åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍË ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï, ÂÒÎË ‰ÎﬂÎ˛·Ó„Ó ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X Ë Î˛·Ó„Ó λ ∈ (0, 1) ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÂÚ¸ﬂ ÚÓ˜Í‡26ó‡ÒÚ¸ I.

å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈz = z(x, y, λ) ∈ X, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈ d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) Ë d(x, z) = λd(x, y). åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓÓÊ‰‡ÂÚ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓ åÂÌ„ÂÛ.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÚÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍË ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï, ÂÒÎËÚ‡Í‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ z(x, y, λ) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x, y ∈ X Ë λ ∈ (0, 1).åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒËÎ¸ÌÓ ÏÂÚË˜ÂÒÍË ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï, ÂÒÎË‰Îﬂ Î˛·˚ı ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X Ë Î˛·˚ı λ1, λ2 ∈ (0, 1) ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÂÚ¸ﬂÚÓ˜Í‡ z = z(x, y, λ) ∈ X, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈ d(z(x, y, λ1), z(x, y, λ2) = |λ1–λ 2 |d(x, y).

ëËÎ¸Ì‡ﬂÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓÓÊ‰‡ÂÚ ÏÂÚË˜ÂÒÍÛ˛ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸, Ë Í‡Ê‰ÓÂ ÔÓÎÌÓÂÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ‚˚ÔÛÍÎÓÂ ÔÓ åÂÌ„ÂÛ, ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒËÎ¸ÌÓ ÏÂÚË˜ÂÒÍË‚˚ÔÛÍÎ˚Ï.åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓ˜ÚË ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï (å‡Ì‰ÂÎÍÂÌ, 1983), ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·˚ı ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X Ë Î˛·˚ı λ, µ > 0, Ú‡ÍËı ˜ÚÓd(x, y) < λ + µ, ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÂÚ¸ﬂ ÚÓ˜Í‡ z ∈ X, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈ d(x, z) < λ Ë d(z, y) < µ,Ú.Â.

z ∈ B(x, λ) ∩ B(y, µ). åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓÓÊ‰‡ÂÚ ÔÓ˜ÚË ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸.Ç˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ ÔÓ í‡Í‡ı‡¯ËåÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ í‡Í‡ı‡¯Ë, ÂÒÎË ‰ÎﬂÎ˛·˚ı ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X Ë Î˛·Ó„Ó λ ∈ (0, 1) ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚÂÚ¸ﬂ ÚÓ˜Í‡z = z(x, y, λ) ∈ X, Ú‡Í‡ﬂ ˜ÚÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó d(z(x, y, λ), u) ≤ λd(x, u) + (1 – λ)d(y, u) ËÏÂÂÚÏÂÒÚÓ ‰Îﬂ ‚ÒÂı u ∈ X. ã˛·ÓÂ ‚˚ÔÛÍÎÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ í‡Í‡ı‡¯Ë,Ò z(x, y, λ) = λd + (1 – λ)y.åÌÓÊÂÒÚ‚Ó M ⊂ X ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÔÓ í‡Í‡ı‡¯Ë, ÂÒÎË z(x, y, λ) ∈ M ‰Îﬂ ‚ÒÂıx, y ∈ X Ë λ ∈ [0, 1]. í‡Í‡ı‡¯Ë ‰ÓÍ‡Á‡Î ‚ 1970 „., ˜ÚÓ ‚ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â,‚˚ÔÛÍÎÓÏ ÔÓ í‡Í‡ı‡¯Ë, ‚ÒÂ Á‡ÏÍÌÛÚ˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ¯‡˚, ÓÚÍ˚Ú˚Â ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ¯‡˚ Ë ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÂ ÔÂÂÒÂ˜ÂÌËÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚, ‚˚ÔÛÍÎ˚ı ÔÓ í‡Í‡ı‡¯Ë, ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ‚˚ÔÛÍÎ˚ÏË ÔÓ í‡Í‡ı‡¯Ë.ÉËÔÂ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ „ËÔÂ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï, ÂÒÎË ÓÌÓ ÏÂÚË˜ÂÒÍË ‚˚ÔÛÍÎÓ Ë Â„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ¯‡˚ Ó·Î‡‰‡˛Ú ·ÂÒÍÓÌÂ˜Ì˚Ï Ò‚ÓÈÒÚ‚ÓÏ ïÂÎÎË,Ú.Â.

Î˛·‡ﬂ ÒËÒÚÂÏ‡ ‚Á‡ËÏÌÓ ÔÂÂÒÂÍ‡˛˘ËıÒﬂ Á‡Í˚Ú˚ı ¯‡Ó‚ ‚ ï ËÏÂÂÚ ÌÂÔÛÒÚÓÂÔÂÂÒÂ˜ÂÌËÂ. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X,d) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ „ËÔÂ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÚÓ„‰‡ ËÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌÓ – ËÌ˙ÂÍÚË‚ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ l∞m , l∞ Ë L∞ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ „ËÔÂ‚˚ÔÛÍÎ˚ÏË, ‡ l2 – ÌÂÚ.åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ˝ÌÚÓÔËﬂèÛÒÚ¸ ε > 0. åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ˝ÌÚÓÔËﬂ (ËÎË ε-˝ÌÚÓÔËﬂ) Hε(M, X) ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡M ⊂ ï ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ( X,d) ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ (äÓÎÏÓ„ÓÓ‚, 1956) Í‡ÍHε(M, X) = log2 N ε(M, X),„‰Â Nε(M, X) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ËÏ ÍÓÎË˜ÂÒÚ‚ÓÏ ÚÓ˜ÂÍ ‚ ε-ÒÂÚË (ËÎË ε-Ì‡Í˚ÚËË)‰Îﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (M, d), Ú.Â.

‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ÚÓ˜ÂÍ, Ú‡ÍËı ˜ÚÓÓ·˙Â‰ËÌÂÌËÂ ÓÚÍ˚Ú˚ı ε-¯‡Ó‚ Ò ˆÂÌÚ‡ÏË ‚ ÛÍ‡Á‡ÌÌ˚ı ÚÓ˜Í‡ı Ì‡Í˚‚‡ÂÚ å.èÓÌﬂÚËÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ˝ÌÚÓÔËË ‰Îﬂ ‰ËÌ‡ÏË˜ÂÒÍÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ó‰ÌËÏ ËÁ‚‡ÊÌÂÈ¯Ëı ËÌ‚‡Ë‡ÌÚÓ‚ ˝„Ó‰Ë˜ÂÒÍÓÈ ÚÂÓËË.åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ë Î˛·Ó„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ q > 0ÔÛÒÚ¸ N x(q) ·Û‰ÂÚ ÏËÌËÏ‡Î¸Ì˚Ï ÍÓÎË˜ÂÒÚ‚ÓÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ò ‰Ë‡ÏÂÚÓÏ, ÌÂ ÔÂ-ÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ27‚ÓÒıÓ‰ﬂ˘ËÏ q, ÍÓÚÓ˚Â ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚ ‰Îﬂ Ì‡Í˚ÚËﬂ ï (ÒÏ. åÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ˝ÌÚÓÔËﬂ).ln( N (q )óËÒÎÓ lim(ÂÒÎË ÓÌÓ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛q →0 ln(1 / q )(ËÎË ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ åËÌÍÓ‚ÒÍÓ„Ó–Å‡ÎË„‡Ì‰‡, ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ åËÌÍÓ‚ÒÍÓ„Ó, ÛÔ‡ÍÓ‚Ó˜ÌÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛, ·ÓÍÒ-‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ï.ÖÒÎË ÛÍ‡Á‡ÌÌÓ„Ó ‚˚¯Â ÔÂ‰ÂÎ‡ ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, ÚÓ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡˛ÚÒﬂ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂÔÓÌﬂÚËﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚË:ln( N (q )1. óËÒÎÓ limÌ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÌËÊÌÂÈ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ (ËÎËq →0 ln(1 / q )ÌËÊÌÂÈ ·ÓÍÒ-‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛, ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ èÓÌÚﬂ„ËÌ‡–òÌËÂÎÏ‡Ì‡, ÌËÊÌÂÈ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ åËÌÍÓ‚ÒÍÓ„Ó).ln( N (q )2. óËÒÎÓ limÌ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚ÂıÌÂÈ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ (ËÎËq →0 ln(1 / q )˝ÌÚÓÔË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛, ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ äÓÎÏÓ„ÓÓ‚‡–íËıÓÏËÓ‚‡, ‚ÂıÌÂÈ·ÓÍÒ-‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛).çËÊÂ ÔË‚Ó‰ﬂÚÒﬂ ÔﬂÚ¸ ÔËÏÂÓ‚ ‰Û„Ëı, ÏÂÌÂÂ ÁÌ‡˜ËÏ˚ı ÔÓÌﬂÚËÈ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ‡ÁÏÂÌÓÒÚË, ‚ÒÚÂ˜‡˛˘ËÂÒﬂ ‚ Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÈ ÎËÚÂ‡ÚÛÂ.1. (Å‡ÁËÒÌ‡ﬂ) ÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, – ÏËÌËÏ‡Î¸ÌÓÂ Í‡‰ËÌ‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ Â„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ·‡ÁËÒ‡, Ú.Â.

Â„Ó Ì‡ËÏÂÌ¸¯Â„Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ S, Ú‡ÍÓ„Ó ˜ÚÓ ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‰‚Ûı ÚÓ˜ÂÍ Ò ‡‚Ì˚ÏË ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂÏË ‰Ó ‚ÒÂıÚÓ˜ÂÍ ËÁ S.2. (ê‡‚ÌÓ·Ó˜Ì‡ﬂ) ÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ –Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÂ Í‡‰ËÌ‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ Â„Ó ˝Í‚Ë‰ËÒÚ‡ÌÚÌÓ„Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡, Ú.Â. Ú‡ÍÓ„Ó, ˜ÚÓ Î˛·˚Â ‰‚Â Â„Ó ‡ÁÎË˜Ì˚Â ÚÓ˜ÍË ‡‚ÌÓÓÚÒÚÓﬂÚ ‰Û„ ÓÚ ‰Û„‡. ÑÎﬂÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ˝Ú‡ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ‡‚Ì‡ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÏÛ ˜ËÒÎÛÔÓÔ‡ÌÓ Í‡Ò‡˛˘ËıÒﬂ Ô‡‡ÎÎÂÎ¸Ì˚ı ÔÂÂÌÓÒÓ‚ Â„Ó Â‰ËÌË˜ÌÓ„Ó ¯‡‡.3. ÑÎﬂ Î˛·Ó„Ó Ò > 1 ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ (ÔÓ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓÏÛ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û) dimc (X) ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÌ‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡1(V, || ⋅ ||), Ú‡ÍÓ„Ó ˜ÚÓ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‚ÎÓÊÂÌËÂ f : X → V Òd ( x, y) ≤ f ( x ) − f ( y) ≤c≤ d ( x, y).4. (Ö‚ÍÎË‰Ó‚ÓÈ) ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸˛ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ n Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n , Ú‡ÍÓ„Ó ˜ÚÓ (X, f(d)) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Â„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, „‰ÂÏËÌËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ÌÂÔÂ˚‚Ì˚Ï ÏÓÌÓÚÓÌÌÓ ‚ÓÁ‡ÒÚ‡˛˘ËÏ ÙÛÌÍˆËﬂÏ f(t)ÓÚ t ≥ 0.5. ëÚÂÔÂÌ¸˛ ÏÌÓ„ÓÏÂÌÓÒÚË ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ˜ËÒÎÓµ2, „‰Â µ Ë σ2 ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÒÂ‰ÌËÏ Ë ÓÚÍÎÓÌﬂ˛˘ËÏÒﬂ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂÏË Â„Ó „ËÒÚÓ„‡ÏÏ˚2σ 2‡ÒÒÚÓﬂÌËÈ; ‰‡ÌÌÓÂ ÔÓÌﬂÚËÂ ËÒÔÓÎ¸ÁÛÂÚÒﬂ ‰Îﬂ ‚˚·ÓÍË ËÌÙÓÏ‡ˆËË ÔË ÔÓËÒÍÂÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ ·ÎËÁÓÒÚË.ê‡Ì„ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ê‡Ì„ÓÏ åËÌÍÓ‚ÒÍÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (V, || ⋅ ||), Ú‡ÍÓ„Ó ˜ÚÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ‚ÎÓÊÂÌËÂ (V, || ⋅ ||) → (X,d).28ó‡ÒÚ¸ I.

å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈÖ‚ÍÎË‰Ó‚˚Ï ‡Ì„ÓÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ n-ÏÂÌÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË ‚ ÌÂÏ, Ú.Â. Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n , Ú‡ÍÓ„Ó ˜ÚÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ‚ÎÓÊÂÌËÂ n → (X,d).ä‚‡ÁËÂ‚ÍÎË‰Ó‚˚Ï ‡Ì„ÓÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X,d) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÏ‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ n-ÏÂÌÓÈ Í‚‡ÁËÔÎÓÒÍÓÒÚË ‚ ÌÂÏ, Ú.Â. Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n , Ú‡ÍÓ„Ó ˜ÚÓ ‚ ÌÂÏ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Í‚‡ÁËËÁÓÏÂÚËﬂ n → (X,d).

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.