lecture08 (Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии. Курс лекций. В.А. Агеев, 2004)

Агеев В.А. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)8. Теория реального ветряка8.1. Работа элементарных лопастей ветроколеса. Первое уравнение связиВыделим из лопастей ветроколеса двумя концентрическими окружностями с радиусами r и r + dr кольцевую поверхность dF = 2πrdr .

Это кольцо на крыльях вырежет отрезки длиною dr , которые называются элементарными лопастями (рис. 8.1.1). Через все точки обеих окружностей проведемлинии тока, образующие две поверхности ABC , A′B ′C ′ бутылеобразной формы (рис. 8.1.2). Жидкость, заключённую между этими поверхностями,назовём элементарной кольцевой струёй.Рис. 8.1.1. Выделение элементарных лопастей на ветроколесе.Сделаем предположение, обычно принимаемое в аналогичных теориях,что разность давлений по обе стороны ветрового колеса, действующая наплощадь кольца, получающегося от пересечения ометаемой плоскостью элементарной струи, воспринимается элементарными лопастями.На основании этого составляем первое уравнение связи:2πrdr ( p1 − p 2 ) = i(dY cos β + dX sin β ) ,(8.1.1)где Y – подъемная сила крыла, направленная перпендикулярно потоку;X – сила сопротивления крыла (лобовое сопротивление крыла), направ1©Кафедра теплоэнергетических систем, 2004Агеев В.А.

Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)ленная по потоку;β – угол между плоскостью вращения ветроколеса и направлением воздушного потока, набегающего на крыло;i – число лопастей ветроколеса.Рис. 8.1.2. Элементарная кольцевая струя.Для определения направления сил, действующих на элементарную лопасть, изобразим ее сечение на рисунке 8.1.3, где ось Z направлена по осиветроколеса и ось x − x в плоскости его вращения; V – направление скорости ветра; W – направление скорости относительного потока, набегающегона элемент лопасти.Разложим силу dR , действующую на элементарную лопасть, на две силы: dX , действующую по потоку, и dY , направленную перпендикулярно потоку. Сила dX вызывает сопротивление элемента крыла; dY вызывает окружное усилие элемента крыла и называется подъёмной силой.Вследствие вращения ветроколеса в плоскости x − x воздушный потокнабегает на ветроколесо не со скоростью ветра V , а с относительной скоростью W , которая слагается геометрически из скорости ветра V и окружнойскорости ωr , где ω угловая скорость и r – расстояние элемента лопасти отоси вращения ветроколеса.Скорость потока, набегающего на элемент лопасти, в относительномдвижении будет равна:©Кафедра теплоэнергетических систем, 20042Агеев В.А.

Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)W = V12 + (− ωr − u1 ) ,2(8.1.2)где V1 = V − v1 – скорость ветра в плоскости ветряка.Рис. 8.1.3. План скоростей воздушного потока при набегании его на элементлопасти.Скорость u1 получается как реакция от крутящего момента, развиваемого лопастями. Эта скорость имеет направление, обратное моменту; её величина берётся как средняя для всей зоны, в которой работают лопасти. Вдействительности эта скорость перед ветроколесом равна нулю и непосредственно за ветряком равна u 2 . Так как закон изменения этой скорости неизвестен, то, как первое приближение, её принимают равной:u1 =u2.2(8.1.3)Силы dY и dX можно выразить как:dY = C y bdrρ2W 2,©Кафедра теплоэнергетических систем, 2004(8.1.4)3Агеев В.А.

Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)dX = C x bdrρ2W 2,(8.1.5)где b – ширина элемента лопасти по хорде.Кроме того, на основании уравнения для лобового давления на ветряк(по теории идеального ветряка Г.Х. Сабинина) можем написать:p1 − p 2 =P= ρVv 2 .F1(8.1.6)Подставляя вместо dY и dX и p1 − p 2 их значения в уравнение (8.1.1),получим:ρρ⎛⎞2πrdrρVv 2 = i⎜ bdrC y W 2 cos β + bdrC x W 2 sin β ⎟ ;22⎝⎠(8.1.7)после сокращения получим:2πrVv 2 = ibdrC y⎞⎛ CW2cos β ⎜1 + x tgβ ⎟ ;⎟⎜ C2y⎠⎝(8.1.7а)или⎛ C⎞4πrVv 2 = ibdrC yW 2 cos β ⎜1 + x tgβ ⎟ .⎜ C⎟y⎝⎠(8.1.7б)На основании рис.

8.1.3 можно ввести обозначениеctgβ =ω r + u1V − v1= zu ,(8.1.8)которое называют числом относительных модулей.Из уравнения (8.1.8) имеем:− ωr − u1 = − z u (V − v1 ) ,(8.1.8а)(− ωr − u1 )2 = z u2 (V − v1 )2 ,(8.1.8б)илии, зная, что V1 = V − v1 , уравнение (8.1.2) можем переписать так:W=(V − v1 )2 + z u2 (V − v1 )2 = (V − v1 )1 + z u2 .(8.1.9)Заменим:©Кафедра теплоэнергетических систем, 20044Агеев В.А. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)sin β =cos β =tgβ =V − v1V − v11==,22W(V − v1 ) 1 + z u1 + zuωr + u1W=ωr + u1(V − v1 )1 + z u2=zu1 + z u2(8.1.10),1,zu(8.1.11)(8.1.12)Cx= µ – обратное качество крылаCy(8.1.13)и подставим их в уравнение (8.1.7б)(4πrVv 2 = ibC y (V − v1 ) 1 + z u22Вводя в это уравнение e =v2 =)⎛µ⎞⎜⎜1 + ⎟⎟ .zu ⎠1 + z u2 ⎝zu(8.1.7в)v1и заменив v 2 его значением из равенстваV2v1, получим:v11+VibC y = 8πr1e(1 + e )(1 + e ) (z u + µ )21+z u2.(8.1.14)Это уравнение называется уравнением связи; оно связывает ширинулопасти и коэффициент подъемной силы с деформацией потока, характеризуемой величиной e .Взяв сумму проекций сил элемента лопасти на касательную к окружности, по которой он движется, получим окружное усилие, развиваемое элементарными лопастями:dQ = ibdrρ2W 2 (C y sin β − C x cos β ) .Подставляя сюда значение W , sin β и cos β и вводя C x = µC y , получим:©Кафедра теплоэнергетических систем, 20045Агеев В.А.

Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)dQ = ibdrρ2(V − v1 )2 (1 + z u2 )C y1 − µz u1+z u2.(8.1.15)Подставляя сюда значение ibC y из уравнения (8.1.14) и сделав сокращения, получим:dQ = 4πrdrρ1 − µz ueV2.1+ ezu + µ(8.1.16)Момент относительно оси ветряка равен:dM = dQr = 4πr 2 drρ1 − µz ue.V2zu + µ1+ e(8.1.17)Секундная работа элементарных лопастей:dT = dMω = 4πrdrρ1 − µz ueV3z.zu + µ1+ e(8.1.18)Секундная энергия далеко перед ветряком, заключенная в потоке, площадь сечения которого определяется площадью кольца, сметаемого элементарными лопастями, равна:V3.dT0 = 2πrdrρ2(8.1.18а)Поделив секундную работу элементарных лопастей на эту энергию,получим элементарный коэффициент использования энергии ветра:ξ=4e 1 − µz udT=z.dT0 1 + e z u + µ(8.1.19)Умножив и разделив выражение (8.1.19) на (1 − e ) получим:ξ = 4e1 − e 1 − µz u z.1 + e zu + µ 1 − eТак как выражение 4e(8.1.19а)1− eпредставляет идеальный коэффициент1+ eиспользования энергии ветра, то можем написать:ξ = ξi1 − µz u z= ξ iη ,zu + µ 1 − e©Кафедра теплоэнергетических систем, 2004(8.1.20)6Агеев В.А.

Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)гдеη=1 − µz u zzu + µ 1 − e(8.1.21)называют относительным коэффициентом полезного действия элементарного ветряка.При большом числе модулей можно приблизительно считать:z≅ zu1− eи тогда:η=1 − µz u zzu + µ 1 − e(8.1.21а)Напомним, что числом модулей, или быстроходностью ветродвигателя, называют отношение окружной скорости конца лопасти к скорости ветра:Z=ωRV.Число модулей элементов лопастей на радиусе r равно:z=ωrV.(8.1.22)Число модулей для любого радиуса r ветряка с известной быстроходностью Z может быть выражено так:z=Zr,R(8.1.23)где R – радиус ветроколеса.8.2.

Второе уравнение связиМомент относительно оси ветряка аэродинамических сил, действующих на элементарные лопасти, равен по величине и противоположен по знаку моменту количества движения, получаемого элементарной струёй, увле©Кафедра теплоэнергетических систем, 20047Агеев В.А. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии (курс лекций)чённой ветряным колесом. Здесь предполагается, что в этом процессе принимает участие и присоединённая масса, так как в противном случае теоремаГельмгольца о сохранении вихря не была бы выполнена.Второе уравнение связи выводим из рис.

8.1.3.i(dY sin β − dX cos β )r = d (m1 + m 2 )2u1 r .(8.2.1)Ноd (m1 + m 2 ) = 2πrdrρV .Подставляя указанное уравнение и значения dY и dX из уравнений(8.1.4) и (8.1.5) в уравнение (8.2.1), получим:ρibdr (C y sin β − C x cos β ) W 2 r = 2πrdrρV 2u1 r .2(8.2.1а)Заменив в этом уравнении sin β и cos β их значениями из уравнений(8.1.10) и (8.1.11) и сделав сокращения, получим:⎛zu1ib⎜ C y− Cx⎜1 + z u21 + z u2⎝⎞⎟W 2 = 8πrVu .1⎟⎠(8.2.1б)Подставляя сюда (8.1.13) и (8.1.9), получим:ibC y1 − µz u1 + z u2(V − v1 )2 (1 + z u2 ) = 8πrVu1 .Из этого равенства находим отношениеи левую части на 8πrV 2 и заменим отношение(8.2.1в)u1, для чего разделим правуюVv1его значением e .Vu1 ibC y(1 − e )2 (1 − µz u ) 1 + z u2 .=V8πrПодставляяизуравнения(8.1.14)(8.2.2)значениеibC y8πrипроведясокращения, получим:u1e 1 − µz u=.V 1 + e zu + µ©Кафедра теплоэнергетических систем, 2004(8.2.3)8Агеев В.А.