УМФ_билеты, страница 15
Описание файла
PDF-файл из архива "УМФ_билеты", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 15 страницы из PDF
Свойства ∆u(x) = 0 и limx→∞ u(x) → 0 выполнены.∂uКроме того, u(x) ∈ C 2 (R3 |Ω) ∩ C(R3 |Ω) и имеет ПНП. Нужно проверить ( ∂n)− |r = u1 (x), x ∈ G.• Пустьxo ∈ G ⇒ (∂u)− (xo ) = −2πµ(xo ) +∂nZx(y − x, n(xo ))µ(y)dSy = u1 (xo )|xo − y|3o(y−x,n(x ))11ooµ(xo ) = 2π|xo −y|2 µ(y)dSy − 2π u1 (x ), x ∈ G - Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с интеxгральным оператором и полярным ядром.R (y−x,n(xo ))1Уравнение однозначно разрешимо ⇔ уравнение µ∗ (xo ) = 2π|xo −y|3 µ(y)dSy ≡ 0 имеет только тривиальноеxрешение.R µ(x)Для этого покажем, что V∗ (x) = G |x−y|dSy ≡ 0RЯсно, что уравнение на µ∗ получается таким же образом как и уравнение на µ, но из задачи Неймана3∆v(x) = 0, x ∈ R |Ω∂u( ∂n )|r = 0, x ∈ G; u1 (x) ∈ C(G)u(x) → 0(33)В силу единственности решение этой задачи V∗ = 0(x ∈ R3 |Ω) .
Но V∗ ∈ C(R3 ) ⇒ X∗ ≡ 0 на X ∈ R3 |Ω ФункцияV∗ удовлетворяет внутренней задаче Дирихле(∆V∗ = 0 ∀ x ∈ ΩV∗ (x) = 0 ∀ x ∈ G⇒ V∗ ≡ 0 ∀ x ∈ ΩИтак, V∗ (x) ≡ 0 ∀ ∈ R3 .∂u∂uНо ( ∂n)|+ (xo ) − ( ∂n)|− (xo ) = 4πµ∗ (xo ), xo ∈ G ⇒ µ∗ (xo ) ≡ 0 ∀ xo ∈ GИтак, по теореме Фредгольма об альтернативе уравнениеR (y−x,n(xo ))11o(*) µ(xo ) = 2π|xo −y|3 µ(y)dSy − 2π u1 (x ), x ∈ G однозначно разрешимоx32.2Внутренняя задача Дирихле для уравнения ЛапласаНайти функцию u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄) такую, что:1)∆u(x) = 0, x ∈ Ω93(34)2)u|r = u0 (x), x ∈ G(uo (x) ∈ C(G))Решение этой задачи ищем в виде потенциала двойного слояR (y−x,n(xo ))1u(x) = 2π|xo −y|3 ν(y)dSy , ν(x) ∈ C(G)xУсловия ∆u = 0 ∈ Ω и u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C(Ω̄) уже выполнены.
Осталось проверить u|r = u0 (x), x ∈ G• Для потенциала двойного слоя справедлива формула скачка: u+ (xo ) = u(xo ) − 2πν(xo ) ⇒ u0 (xo ) =R (y−x,n(xo ))o|xo −y|3 ν(y)dSy − 2πν(x )xRou0 (xo )))o⇒ ν(xo ) = x (y−x,n(x|xo −y|3 ν(y)dSy −2π , x ∈ G Ядро, транспонированное к тому, что стоит в (*)Т.к. (*) однозначно разрешмимо, это уравнение тоже имеет единственное решениеТеорема 32.1. Пусть Ω - ограниченная область в R3 с границей G ∈ C 2 . Тогда у внутренней задачи Дирихле∀ u1 ∈ C(G), а также у внешней задачи Неймана ∀ u0 ∈ C(G) существует единственное классическоерешение94.