f_tkb1 (Тест по квантовой механике)

ÑÂÎÁÎÄÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅÞ. Ì. ÁåëîóñîâÐàññìîòðèì îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî ìîæíî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàçäåëèòü, êàê áû, íà äâà òèï: ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå êàêèìè-ëèáîèñòî÷íèêàìè, è ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñóùåñòâóåò ñàìîïî ñåáå Ïîëå, ñîçäàâàåìîå èñòî÷íèêîì, îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè èñòî÷íèêà èåìó ñîîòâåòñòâóåò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîð, êîòîðûé îïèñûâàåò èñòî÷íèê. Íàïðèìåð, îïåðàòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿˆ, ò.å. âñå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ áóîïåðàòîðîì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ~µˆ ñ äðóãèìèäóò ñëåäîâàòü èìåííî èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îïåðàòîðà ~µîïåðàòîðàìè. Îïåðàòîðó çàðÿäà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîå óìíîæåíèå íà ñîîòâåòñòâóþùèé çàðÿä, ïîýòîìó îïåðàòîðñòàòè÷åñêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü ïðîñòîñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò.Ñîâåðøåííî èíà÷å ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.

Ïîñêîëüêó îíî ñóùåñòâóåò íåçàâèñèìî îò êàêèõ-ëèáî äðóãèõ (êâàíòîâûõ) ñèñòåìè ñàìî ïî ñåáå ïðåäñòàâëÿåò êâàíòîâóþ ñèñòåìó, òî äîëæíî îïèñûâàòüñÿ ñâîèìãàìèëüòîíèàíîì. Èòàê, äëÿ îïèñàíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âíåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ñëåäóåò:1. îïðåäåëèòü åãî ãàìèëüòîíèàí, äëÿ ÷åãî2. íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî æå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáùåííûé èìïóëüñ èêîîðäèíàòà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è, íàêîíåö,3. ïîíÿòü, ÷òî æå òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ, ò.å. êàêîé ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõâåëè÷èí ñëåäóåò âûáðàòü äëÿ îïèñàíèÿ ïîëÿ.Íà÷íåì ñ ïîñëåäíåãî. Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |ψi, êîòîðûéâ êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ: hr|ψi. Ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñàìî ïî ñåáå åñòü âîëíà, è ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðíûìïîòåíöèàëîì A(r, t), ïîýòîìó âîçíèêàåò èñêóøåíèå âçÿòü åãî â êà÷åñòâå âîëíîâîé ôóíêöèè, òåì áîëåå ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, ò.å.

óðàâíåíèþ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà äëÿ ÷àñòèöû ñ íóëåâîé ìàññîé. Îäíàêî ýòî áûëîáû ãðóáîé îøèáêîé, ïîòîìó ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë åñòü ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èb t) è ïîëó÷èòüíà, êîòîðîé ìû äîëæíû ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð A(r,b t)|ψi.A(r, t) = hψ|A(r,Çàìåòèì, ÷òî, íàïèñàâ |ψi, ìû ïðåäïîëàãàåì ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ,íî â îáùåì ñëó÷àå ìû íå ìîãëè ÿâíî çàïèñàòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå äàæåäëÿ ÷àñòèöû.

Ïðîäâèíóòüñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè íàì ïîìîã ôóíäàìåíòàëüíûéïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ìû ìîãëè ïðåäñòàâèòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå â âèäå ñóïåðïîçèöèè îïðåäåëåííûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ìû çàòåìïðåäñòàâèëè êàê áàçèñèíûå, ïðè÷åì ýòè áàçèñíûå âåêòîðû ìîãëè îïèñûâàòü è1ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû |pi. Íàïðèìåð,X|ψi =ap |pi.p ýòîì ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû åñòüXhf i =fp,p0 a∗p ap0 .p,p0Âñïîìíèì èç êóðñà Òåîðèÿ ïîëÿ ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïðîèçâîëüíîãîñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ïëîñêèì âîëíàì ýëåìåíòàðíûì ðåøåíèÿì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ:ZdkdωA(r, t) =Akω exp (i(kr − ωt)) .(1)(2π)4 òàêîì ñëó÷àå àìïëèòóäû Ôóðüå Akω ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çíà÷åíèåîïåðàòîðà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â áàçèñå ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíàõ. Ïëîñêàÿâîëíà îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì 4-âîëíîâûì âåêòîðîì, íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êîòîðîãîðàâíà ω = c|k|, è ïîëÿðèçàöèåé.1 Èñõîäÿ èç ñêàçàííîãî, ìîæíî äëÿ âåêòîðàñîñòîÿíèÿ ïîëÿ âñåãäà çàïèñàòüXak,α |k, αi.|ψi =(2)k,αÇäåñü |k, αi âåêòîð áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ (ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû),α îáîçíà÷àåò åå ïîëÿðèçàöèþ. äàëüíåéøåì íàì áóäåò íå î÷åíü óäîáíî ïðîâîäèòü ðàññóæäåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ, ïîýòîìó ïåðåéäåì ê äèñêðåòíîìó, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ.

À èìåííî: áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå çàêëþ÷åíî â êóáå î÷åíü áîëüøèõ, íî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâL, à íà âñå ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæèì ðåøåíèå, èñïîëüçóÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ãðàíèöå. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ïðîöåäóðå çàïîëíåíèÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâàîäèíàêîâûìè êóáàìè, êîòîðàÿ íàì íåîáõîäèìà äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíå÷íîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íàêëàäûâàÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íàïëîñêèå âîëíû, ïîëó÷àåì, ÷òî âîëíîâîé âåêòîð ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿk=2π(nx , ny , nz ) ,Lãäå nx , ny , nz −öåëûå ÷èñëà.Êàæäûé íàáîð öåëûõ ÷èñåë nx , ny , nz ñîîòâåòñòâóåò ñâîåìó ýëåìåíòàðíîìó ñîñòîÿíèþ.  ñëó÷àå L → ∞ èçìåíåíèå âîëíîâîãî âåêòîðà ìåæäó ñîñåäíèìèñîñòîÿíèÿìè ∆k → 0 è ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ êâàçèíåïðåðûâíûì.  ýòîì ñëó÷àå1 Íàïîìíèì,÷òî ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà îáÿçàòåëüíî ïîëÿðèçîâàíà.

 ïðîèçâîëüíîì ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ, â ÷àñòíîì öèðêóëÿðíàÿ (ëåâàÿ èëè ïðàâàÿ)ëèáî ëèíåéíàÿ.2óäîáíî ãîâîðèòü î ÷èñëå ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà∆ki :L∆ni =∆ki .2πÏîëíîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ïðè èçìåíåíèè âîëíîâîãî âåêòîðà â èíòåðâàëå îò k äî k + ∆k åñòü∆n = 2∆nx ∆ny ∆nz = 2L3V∆kx ∆ky ∆kz = 2∆k.3(2π)(2π)3(3)Çäåñü ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò äâå ðàçëè÷íûõ ïîëÿðèçàöèè.Òàêèì îáðàçîì âèäèì, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó êóáà,è ïîýòîìó â áåñêîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå íàì ïðèøëîñü áû ñòîëêíóòüñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ðàíüøå âðåìåíè. Ïîýòîìó âñå âû÷èñëåíèÿ ôîðìàëüíî ïðîâîäÿòñÿâ äëÿ êóáà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, íî â îêîí÷àòåëüíûõ (ôèçè÷åñêèõ) ðåçóëüòàòàõìû îáÿçàòåëüíî äîëæíû ïîëîæèòü V → ∞.

Ïåðåïèøåì òåïåðü ôîðìóëó (1)ðàçëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïëîñêèõ âîëí èîòíåñåì ÿâíóþ âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü â ôóðüå-àìïëèòóäó:XAk (t)eikr .A(r, t) =(4)kÀìïëèòóäû Ôóðüå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïîïåðå÷íîñòè ïîëÿ divA = 0:(kAk ) = 0.Êðîìå òîãî, èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò òàêæåÄk + c2 k 2 Ak = 0.(5)Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ãàìèëüòîíèàíà. Äëÿ ýòîãî ñïåðâà çàïèøåì ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:Z¡ 2¢1U=E + H2 dV.(6)8π íàøåì ïðåäñòàâëåíèè ïîëÿ èìåþò âèä1 ∂A1X=Ȧk eikr ,c ∂tc kXH = rotA = i[k × Ak ]eikr .E = −kÄàëåå, íàïðèìåð, äëÿ êâàäðàòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååì:E2 =1 X0Ȧk Ȧk0 ei(k+k )r ,2c k,k03(7)(8)îòêóäà ïîëó÷àåìZ0ei(k+k )r dV = V δk,−k0 = V δkx ,−kx0 δky ,−ky0 δkz ,−kz0 ,ò.å. k0 = −k. Ïîñêîëüêó âåêòîð A(r, t) äåéñòâèòåëåí, îò äîëæåí óäîâëåòâîðÿòüóñëîâèþXXA∗−k eikr .A∗ (r, t) = A(r, t) =A∗k e−ikr =kkÈíûìè ñëîâàìèA∗k = A−k .Ñîîòâåòñòâåííî,H2 = −(9)X0[k × Ak ][k0 × Ak0 ]ei(k+k )rk,k0ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîïåðå÷íîñòè ïëîñêîé âîëíû è ñîîòíîøåíèÿ (9) ïðèâîäèò ê ïðîñòîìó âûðàæåíèþXk2 Ak A∗k .H2 =kÎêîí÷àòåëüíî äëÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååì:´V X³∗2 2∗ȦȦ+kcAAU=kkkk .8πc2(10)kÒàêèì îáðàçîì, íàì óäàëîñü ðàçëîæèòü ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íàñóììó ïàðöèàëüíûõ"ýíåðãèé îò êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ (ñîñòîÿíèÿ).Îäíàêî âûðàæåíèå (10) çàïèñàíî ÷åðåç êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå íåìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ñîïîñòàâëåíû íàáëþäàåìûì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì.

Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà (4)â íåñêîëüêî äðóãîìâèäå, ïîä÷åðêèâàþùåì åãî äåéñòâèòåëüíîñòü:X¡¢A(r, t) =αk (t)eikr + αk∗ (t)e−ikr ,kãäåαk (t) ∝ e−iωk t ,Òîãäàωk = ck.¡¢∗Ak (t) = αk (t) + α−k(t)(11)è, ñîîòâåòñòâåííî,¡¢¡¢∗∗(t) .Ȧk (t) = −ick αk (t) − α−k(t) = −iωk αk (t) − α−kÊ ñîæàëåíèþ òàê çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ ïî-ïðåæíåìó íå ìîãóò áûòü ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå íàáëþäàåìûì îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì, ïîñêîëüêó A∗k =A−k , à äîëæíî áûòü Q∗k = Qk .4Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (11) â ôîðìóëó (10) è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììèðîâàíèåâåäåòñÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì, ïîëó÷àåìV X 2U=ωk αk αk∗ .(12)2πc2kÂâåäåì òåïåðü íîâûå äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíûrVQk =(αk (t) + αk∗ (t)) , è24πcrVPk = −iωk(αk (t) − αk∗ (t)) = Q̇k .4πc2(13)Ñ íîâûìè âåëè÷èíàìè (13) âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä çíàêîìîéêâàäðàòè÷íîé ôîðìûX1¡¢ XU=P2k + ωk2 Q2k =(14)Uk .2kkÂèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ U (14) êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ Qk è Pk óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà:∂U= Q̇k ,∂Pk∂U= ωk2 Qk = −Ṗk .∂Qk(15)Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âûðàæåíèå (14) åñòü êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à âåëè÷èíû Qk è Pk ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñ.

Ïðè÷åì ó ïîëÿ áåñêîíå÷íîå÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.Ïîñêîëüêó Ṗk = Q̈k äëÿ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîëÿ ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:Q̈k + ωk2 Qk = 0.(16)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (16) òîæäåñòâåííà óðàâíåíèþ äëÿ ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì,âìåñòî íåïðåðûâíîé ïåðåìåííîé A(r, t) ïîëå îïèñûâàåòñÿ äèñêðåòíûìè ïåðåìåííûìè Qk . Ïîñêîëüêó ïëîñêèå âîëíû ïîïåðå÷íû, äëÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàòïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå: (k, Qk ) = 0, ò.å. äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ ñóùåñòâóåò äâå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû â ïëîñêîñòè,ïåðïåíäèêóëÿðíîé âîëíîâîìó âåêòîðó k :XQk = e1 Qk1 + e2 Qk2 , è Q2k = Q2k1 + Q2k2 =(17)Q2kα .αÇäåñü èíäåêñ α õàðàêòåðèçóåò äâå íåçàâèñèìûõ ïîëÿðèçàöèè. ïåðåìåííûõ Qk è Pk ýíåðãèÿ ïîëÿ åñòü åãî ãàìèëüòîíèàí U ≡ H, ïîýòîìóX¢1¡ 2H=Hk,α , ãäå Hk,α =Pkα + ωk2 Q2kα .(18)2k,α5Òàêèì îáðàçîì êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí (18) ðàâåí ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèè êàæäîé äèñêðåòíîé ïåðåìåííîé.