Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1.1. Основные понятияНеоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называетсядифференциальное уравнение видаa 0 y (n ) + a1 y (n −1) +...+ a n −1 y ′ + a n y = f (x ) ,(1.1)где x ∈ R - независимая переменная; y (x ) - искомая функция; a 0 , a1 , K , a n - заданные числа, причем a 0 ≠ 0 ; f (x ) известная функция, не равная тождественно нулю. Уравнениеa0 y (n ) + a1 y (n −1) +...+ a n −1 y ′ + a n y = 0(1.2)называется однородным.Общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1)представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1.2) и любого частного решениянеоднородного уравнения (1.1):(1.3)y (x ) = y o (x ) + y ч (x ) .1.2.

Общее решение однородного уравненияФундаментальной системой решений однородного уравнения (1.2) называется совокупность n линейно независимыхрешений y1 (x ), y 2 ( x ), K , y n ( x ) этого уравнения.Общее решение однородного уравнения (1.2) представляет собой произвольную линейную комбинацию частных решений, входящих в фундаментальную систему решений,(1.4)y o = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 ( x ) + K + C n y n ( x ) .Далее мы будем рассматривать уравнения с действительными коэффициентами, их решения будем искать в действительной форме.4Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (1.2), называется алгебраическоеуравнениеa0 λn + a1λn −1 +...+ a n −1λ + a n = 0 .(1.5)Обозначим через λ1 , λ 2 ,..., λ n корни характеристическогоуравнения (1.5), вообще говоря, комплексные.1.1) Каждому действительному простому корню λ характеристического уравнения (1.5) соответствует частное решение однородного уравнения (1.2), имеющее вид y = e λx .1.2) Каждому действительному корню λ кратности k(k ≥ 2 ) соответствует k линейно независимых частных решений однородного уравнения e λx , xe λx , ...

, x k −1e λx . Соответствующая компонента общего решения однородногоуравнения (1.2) имеет видy ( x ) = C1 + C 2 x + K + C k x k −1 e λx ,(1.6)где C1 , C 2 ,K , C k - произвольные постоянные.1.3) Если λ = α + iβ , где α и β - действительные, β ≠ 0 ,()а i 2 = −1 , является корнем характеристического уравнения(1.5), то комплексно сопряженное число λ = α − iβ такжекорень этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами).Напомним, что для комплексного числа z = x + iy , гдеx, y ∈ R , его действительной и мнимой частью называютсясоответственно Re z = x , Im z = y .

Кроме того, имеет местоформула Эйлера e (α +iβ )t = e αt (cos βt + i sin βt ) .Паре невещественных корней α ± iβ соответствуют двалинейно независимых действительных частных решения однородного уравнения (1.2)иRe e (α +iβ )x = e αx cos β xIm e (α + iβ )x = eαx sin βx , которые включают в фундаменталь-ную систему решений, вместо функций e (α + iβ )x , e (α −iβ )x . Со5ответствующая компонента общего решения однородногоуравнения (1.2) представляется в видеy (x ) = (C1 cos βx + C 2 sin βx )eαx ,(1.7)где C1 , C 2 - произвольные постоянные.1.4) Если среди корней характеристического уравнения(1.5) есть корень λ = α + iβ кратности k (k ≥ 2 ) , то и комплексно сопряженный ему корень λ = α − iβ имеет ту жекратность k .

Этим 2k невещественным корням соответствуют 2k линейно независимых частных действительных решений однородного уравнения (1.2)e αx cos β x , xeαx cos β x , ... , x k −1e αx cos β x ,eαx sin βx , xeαx sin βx , ... , x k −1e αx sin βx .Соответствующая компонента общего решения однородногоуравнения (1.2) имеет в этом случае видy (x ) = C1 + C 2 x + K + C k x k −1 e αx cos β x +,(1.8)+ D1 + D2 x + K + Dk x k −1 e αx sin β xгде C1 , C 2 ,K , C k , D1 , D2 ,K , Dk - произвольные постоянные.Так можно построить совокупность решения, являющуюся общим решением уравнения (1.2).()()1.3.

Частное решение неоднородного уравнения справой частью специального видаПусть правая часть f (x ) неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентамиявляется квазимногочленом, т.е. является суммой функцийвидаg (x ) = e γx (Pm (x ) cos ϕx + Qn (x )sin ϕx ) ,здесь Pm ( x ) и Qn (x ) - многочлены степени m и n соответственно.6В этом случае для поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.1.5) Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет видf ( x ) = Pm (x )e γx , где Pm ( x ) = b0 + b1 x + K + bm x m - многочленстепени m.Если γ не является корнем характеристического уравнения (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай;частное решение неоднородного уравнения (1.1) ищется ввидеyч = Qm (x )e γx ,(1.9)где Qm (x ) - многочлен той же степени m.Если γ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, чтоимеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1)ищется в видеy ч = x s Qm (x )e γx .(1.10)Для определения коэффициентов многочлена Qm (x ) следует (1.9) или (1.10) подставить в (1.1), сократить на e γx иприравнять коэффициенты при одинаковых степенях x влевой и правой частях уравнения.

Из получившейся системыалгебраических уравнений найдем эти коэффициенты.1.6) Пусть коэффициенты левой части уравнения (1.1)действительны, а его правая часть имеет видf (x ) = e γx (Pm (x ) cos ϕx + Qn (x )sin ϕx ) .Если γ + iϕ не является корнем характеристическогоуравнения (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансныйслучай; частное решение неоднородного уравнения (1.1)ищется в видеyч = R p cos ϕx + T p sin ϕx e γx ,(1.11)()где p = max{m, n} - наибольшей из степеней многочленовPm ( x ) и Q n ( x ) , R p и T p - многочлены степени не выше p .7Если γ + iϕ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, что имеет место резонанс кратности s ; частное решение(1.1) ищется в видеy ч = x s R p cos ϕx + T p sin ϕx e γx .(1.12)()Чтобы найти коэффициенты многочленов R p и T p , надоподставить (1.11) или (1.12) в уравнение (1.1), приравнятькоэффициенты при подобных членах и решить полученнуюсистему алгебраических уравнений.Если правая часть уравнения (1.1) представима в видесуммы нескольких функций f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) +...+ f l (x ) , точастное решение неоднородного уравнения (1.1) состоит изсуммы частных решений yi неоднородных уравнений(n )(n −1)′a0 y k + a1 y k+...+ a n−1 y k + a n y k = f k (x ) k = 1, l .()1.4.

Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 1.1 (1-01) Найти действительные решения уравненияy IV + 4 y ′′ = 8e 2 x + 8 x 2 .c Исходное уравнение неоднородное.1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:y IV + 4 y ′′ = 0 .Составляем характеристическое уравнение: λ4 + 4λ2 = 0 .Его корни λ1, 2 = 0 , λ3 = 2i , λ 4 = −2i .λ1, 2 = 0 (кратности два) соответствуют частные решенияy1 = e 0 x = 1 и y 2 = xe 0 x = x , корням λ3, 4 = ±2i - решенияy 3 = cos 2 x и y 4 = sin 2 x .Общее решение однородного уравнения в действительнойформе8y o = C1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x ,где C1 ,C 2 ,C 3 , C 4 - действительные произвольные постоянные.2.

Частное решения неоднородного уравнения.В нашем случае f ( x ) = 8e 2 x + 8 x 2 , т.е. f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) ,где f1 (x ) = 8e 2 x , f 2 (x ) = 8x 2 .Поиск частного решения проводим методом неопределенных коэффициентов:f1 (x ) = 8e 2 x = Pm ( x )e γx , Pm (x ) = 8 , т.е. m = 0 , γ = 2 . Таких корней у характеристического уравнения нет, следовательно, кратность корня s = 0 . Т.о. частное решение ищем ввиде y ч1 (x ) = ae 2 x .Подставляя y ч1 (x ) = ae 2 x , в исходное дифференциальноеуравнение при f (x ) = f1 (x ) , получаем()16ae 2 x + 4 ⋅ 4ae 2 x = 32ae 2 x = 8e 2 x .Приравнивая коэффициенты при e 2 x , имеем1132 a = 8 , a = и y ч1 = e 2 x .4422 0xf 2 (x ) = 8 x = 8 x e = Pm (x )e γx , Pm (x ) = 8x 2 , следовательно m = 2 , γ = 0 (что соответствует λ1, 2 = 0 ) - резонансный случай, кратность корня s = 2 , поэтому частное решение ищем в виде yч2 = x 2 Q2 e 0 x = x 2 ax 2 + bx + c .()Подставляя y ч2 = ax 4 + bx 3 + cx 2 , в исходное дифферен-циальное уравнение при f ( x ) ≡ f 2 ( x ) , получаем()24a + 4 12ax 2 + 6bx + 2c = 8 x 2 .Приравнивая выражения при одинаковых степенях x,имеем9x2 :48a= 8,11x :24b= 0, это дает a = , c = −3a = − и62x 0 : 24a + 8c = 0;11⎞⎛1y ч2 = x 2 ⎜ x 2 − ⎟ .2⎠⎝6Частное решения неоднородного уравнения1x4 x2−y ч ( x ) = y ч1 (x ) + y ч2 ( x ) = e 2 x +4623.

Общее решение неоднородного уравненияy = y o + y ч = C1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x +e 2x x 4 x 2n+−462Пример 1.2. (1-14) Найти действительные решения уравнения y ′′′ + 3 y ′′ + y ′ − 5 y = 10e x − 5 x .d Исходное уравнение неоднородное.1. Найдем общее решение соответствующего однородногоуравнения:y ′′′ + 3 y ′′ + y ′ − 5 y = 0 .Составляем характеристическое уравнение:3λ + 3λ2 + λ − 5 = 0 .Корень λ1 = 1 - угадываем.