Экзамен (LaTex)

Улыбнитесь, пока катаете! Вас снимает скрытая камера.Федотова МарияМуталова Ренатапри поддержкеКараваевой НаталииБерезутского АлександраБедраня Захарапредставляют4 июня 2017 г.1Задачи(︀ )︀(︀ )︀1. Как связаны адиабатическая V= (V,S)и изотермическая V= (V,T)сжимаемоP S(P,S)P T(P,T)сти? CP и CV заданы.

(︀ )︀(︀ )︀ ),=. = ⇔ (, ) = (, ) ⇒ (, ) = (,(,) = (, ). = (︀ )︀)= ⇔ (, ) = (, ) ⇒ (, ) = (,(︀ )︀(︀ )︀(, )(, )(, ) /(, ) (,)(, ) (, )=.===;==⇒(, )(, )(, ) /(, ) (,)(, ) (, ) (︀ T )︀2. Вычислите величину магнитокалорического эффекта Hпри адиабатическом разSAмагничивании парамагнетика с = T и теплоемкостью CH = BT3 . Каков знак эффекта?(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ (︀ )︀ = + = 0; = − (/); = = 2 ;= ; = − (/ ) (︀ )︀(︀ )︀(︀)︀(︀)︀21 = = − , ; = − = ==−⇒= = 24. 2 200´´ (︀ )︀ 2 = = − 204 < 0Определим знак: ∆ =4 003. Запишите "первое начало"для потенциалов энергии E, энтропии S и объема V и разделите эти величины под дифференциалами на полное число частиц N. Считая числочастиц также переменным, получите выражение для потенциала Гиббса Ф и химического потенциала (︀.

)︀(︀ )︀(︀ )︀ = − . − 2 = − − + = − . 22(︀)︀+ ( − + ) = ( − + ). = − + = − + − →− + , Φ = = − + →=(︀ )︀4. Изобарический коэффициент объемного расширения резины отрицателен V< 0.T P(︀ V )︀Учитывая, что (T,S) = (P,V), P T < 0,CV > 0, определите знак ее адиабатического ко(︀ )︀эффициента объемного расширения V: быстро растянутый и приложенный к губамT Sрезиновый жгут покажется теплым или прохладным?>0 (︀ <0)︀ (︀ <0)︀(︀ )︀(,)(,)(,) (, ) (, ) (, ) => 0. Покажется тёплым==== (,)(, )(, ) (, ) (, ) (, ) ( > 0)5.

Теплоемкость двухуровневых атомов имеет резкий максимум. Найдите его характерные температуру и ширину, если верхний уровень атомов с энергией сильно вырожденln g ≫ 1 , а нижний уровень с энергией 0 невырожден.|⟩ − − − g кр-ть выр-я; n атомов|0⟩ − − − 1 кр-ть выр-я; N-n атомов(︀ )︀! . = ln ∆Γ, ! ∼ ∆Γ = !(−)! = ln ! + ln − ln ! − ln ( − )! = ln − + ln − ln + − ( − ) ln ( − ) + − = ln − + ln (−) . 1 = = → = (︀)︀( −)= − ( −)+ ( −) − 2 = − + ln ( −)− − = ln ( −)2 + ln(︀)︀//( − ) = → + = . = / + .(︀ )︀22 /12 1 = = = /1 2 / 2 = 2 /2 =2 = 22 =2/2 +−/2−1/2 /2 + 1/2 −/2++()()()()22 11= 2 2 (/2 − +−/2 + )24ch2 ( 2−)[︁(︀ )︀]︁22 12 −2Ищем при которых: =0.=−+sh(−)− 2 2 = 02332424ch ( 2 −)ch ( 2 −)(︀)︀th( −)3−2 1= 44 ch2 ( 1 −) th 2 − .

= 22→ 2 = −, = 2 − .2 3 ch2 ( −)+−221+ 21− 22/ −ln 1+ 2 ==. / = + 1− 2 . ln ≫ 1 → , при которой´∞2≃ ∆ = (∞) − (0) ≃ . = ln→ ∆ ≃ ln42 02= 0, равна ≃.ln 6. Запишите выражения для свободной энергии F системы с энергетическими уровнями(︀ F )︀ En в каноническом ансамбле. Прямым дифференцированием по T покажите, что= −S , то есть dF = −SdT + ... Воспользуйтесь распределением Гиббса и тем, чтоT V⟨En ⟩ = E.∑︀ − /∑︀ − / ∑︀ (︀ )︀ − /11∑︀ = − ln , = . = − ln − =−ln−.⟨⟩== .2− /(︀ )︀= − → = − = + → = − 7.

Запишите выражения для свободной энергии F() системы с энергетическими уровнями En () в каноническомансамбле.(︀ )︀(︀ E )︀ Прямым дифференцированием по покажите,что обобщенная сила Fравна. Воспользуйтесь распределением Гиббса и тем, T Tчто ⟨En ⟩ = E .

Выберите в качествепараметра объем = V . Покажите, что обобщенной(︀ F )︀силой в этом случае будет V T = −P , то есть dF = −PdV + ....(︀ )︀(︀ )︀∑︀ (︁ () )︁ − / 1∑︀ − / (︀ )︀1− =.=→= = − ln , =. = − (︀ )︀= − 8. Вычислите теплоемкость системы невзаимодействующих осцилляторов при T ≪ ~ .ВоспользуйтесьраспределениемГиббса.)︂(︂∞∑︀− ~~ (+ 12 )~ 1~ 3= − 2 + − 2 + ... = −2~ = ~ 1 − ~ = 2sh1~ . = , = − ln ==exp − 1− 2 − 22=0 (︀)︀~− ln(︀ 2sh)︀ 2(︀ ~ )︀~~= − ln (...) − 2sh1~ 2ch 2− 2 2 = − ln (...) + 2 ~cth 2 = − 2 2(︁(︁)︁ (︀)︁~ (︀(︀ ~ )︀2 1)︀)︀2ch 2~~1~~− sh21~ − 2= − 2sh ~+ 2 ~= 2 ~ 2 = − 2− 2 ~2 cth 2~ .2222 ~ = 2sh 2sh2 22(︀ ~ )︀22 − ~ ≪ ~ → = 2 29. N атомов идеального больцман.

газа находится в гармонической ловушке U(r) = m2 rпри температуре T. Найдите концентрацию n(0) в центре ловушки и оцените температуру TB , нижеесли атомы - бозоны.(︁ которой)︁ ´ начнется бозе-конденсация,´ − 2 2 2 2() = (0) exp − 2 . () = = (0) 2 = (0).√/2‖(︁√︁)︁3 ´∞√ 2(︀ 2 )︀3/2 −3 ´∞ − √(︀ 2 )︀3/22 1−2 2−( 2 ) 42 = 4=2 = 2 000(︁ 2 )︁3/2(︀ )︀2 2~2 2/3= ~ 2/3 Это равенство получается из условия равенства.≃(0) = выр2 2(︀ )︀−1/3ℎи среднего расстояния между частицами длины волны Де-Бройля = ℎ = √2=´∞310.

Найдите теплоемкость больцмановского газа, состоящего из -атомных молекул. Как с ростом температуры изменяется по мере возбуждения поступательных,вращательных и колебательных степеней свободы молекул?При низких температурах молекулы газа обладают только поступательными степенями свободы,при средних температурах - поступательными и вращательными степенями свободы, а при высокихтемпературах - поступательными, вращательными и колебательными степенями свободы. При этом,переход от одного числа степеней свободы к их другому числу осуществляется скачкообразно.

Изменение числа степеней свободы приводит к изменению теплоемкостей газа.1) Поступательные степени свободы. Запишем стат.сумму системы Z через одночастичные стат. суммы z 2()=> = − ln= − ln ; = − ln ; = −=!! 2´ ¯¯ − 2 − ()2 для одн. поступательной стат.

суммы имеем: пост = (2~)= в отсутствие внешнего поля3(︂ ∞)︂3(︀ )︀(︀ )︀3/2´ − 23/2 3/2 2 = 8~=> = − ln 3/2 ; =потен. эн. ноль = (2~)= (2~)33 (2 )240(︀ )︀3/2 22333/2;=−ln− 13/2 3 1/2 = − ln 3/2 − 23 ; 2 = − 2 => = − 2 = 28~222) Колебательные степени свободы рассматриваем так же, но изменяется вид одночастичной стат.∞(︀ ~ )︀(︀ ~ )︀2 −2 (︀ ~ )︀∑︀~(+1/2), следовательно кол = 2shсуммы.

Теперь она имеет вид кол =− = 21 sh−1 220Откуда заключаем, что температура вырождения колебательной степени свободы есть кол = ~.При высоких температурах кол = 1.3) Вращательные степени свободы. Аналогично, записываем одночаст. стат.

сумму∞∑︀~2 (+1)вр =(2 + 1)− 2 , где I - момент инерции молекулы. Вычислить аналитически не можем,0можем асимптотическиПри малых T значительный вклад дают лишь первые члены: вр =(︁ 2 )︁ оценить.~2~2~− − 1 + 3; вр = 3 , при больших температурах >> ~2 /2 сумму можно заменить наинтеграл, что даёт вр = 2; вр = 1. Таким образом, вр = ~2 /2 является температурой вырождения~2для вращения.Таким образом, мы рассмотрели основные типы степеней свободы и итоговая график теплоёмкостиимеет вид:В случае реальной n-атомной молекулы возможны различные наборы колебательных и вращательных степеней свободы, учесть их можно аналогично.411.

Найдите степень ионизации ( ) одноатомного больцман. газа с энергией ионизации . при∑︀какой температуре ионизации , начинается существенная ионизация. + . = 0, = 1, = = −1 → = + . Хим потенциал больцмановского газа)︂(︂(︁ 2 )︁3/2(︁ 2 )︁3/22~2~0 / = 0 + ln 0 .

Подставим в условие равновесия реакции,= ln 0 сократим и ln. При этом будем считать = ≫ , = = , + = 0 . Тогда сможемсократить еще скобки. В итоге получим1 20 − 0 /=0 0 0(︂2~2 )︂3/2(0 +0 )/Поделим это на 02 и введем = /0 = /0 , 0 + 0 − 0 = 20 0=1−0(︂выр)︂3/2−/2; выр = 2~(︂0)︂2/3/2Существенная ионизация происходит при ∼ 1, ln 1−=0→0 0; ( ) = =ln ( )0(︂выр)︂3/212. Вычислите температуру бозе-конденсации TB идеального ультрарелятивистского газа.

Воспользуйтесь условием на полное число частиц N в пространстве импульсов(︀ )︀3´∞´∞ (︀ )︀3 2 (3) (︀ )︀3414= = 0. = (2~)42 /=2!(3)=3331−(2~) −1(2~) 2 ~300(︁ 2 3 )︁1/3 ~ = (3)13. Вычислите температурную зависимость теплоемкости CV идеального ультрарелятивистского бозе-газа при T < TB .(︀ )︀4´∞ ´∞ ´∞ (︀ )︀4 3 (4) 444 4 22 = 0.

= (2~)4=== (2~)6(4) = 33333(2~)(2~) −1 2 ~3 3/ −1/ −1000(︀ )︀(4) 3= ( ) = 12 2 ~3 3514. Найдите энергию Ферми F идеального ультрарелятивистского ферми-газа. Вычислите его химпотенциал и энергию E в вырожденном состоянии (T ≪ F ) с точностью(︁ )︁2´∞´2 2∼ TF включительно. Воспользуйтесь разложением exp f ()d=f ()d + 6T f ′ () + ....−+1()T00. Вычислите теплоемкость газа CV и выясните, при какой температуре CNV ∼ 1.=(2~)3ˆ∞01−442 =(2~)3+1ˆ∞02 −4; =(2~)3+1ˆ∞03 −(1)+1Теперь при T=0 все фермионы заполняют сферу Ферми и распределение имеет вид ступенькибез размытия, а хим. потенциал равен энергии Ферми.

В таком случае, интегралы берутся легко.4=(2~)3ˆ(0)2 =4 3 (0); = (0) =(2~)3 3(︂3 (2~)34)︂1/3(︂= 2~3 4 )︂1/30(доп.инфа:0 = 53 ).Теперь ̸= 0, ≪ . Ступенька при конечной температуре размывается.´∞´∞ ()2= () + 6 2 ′ () + ... логика еёДля вычисления интегралов используется формула−0 +10вывода такова: рассматриватся разность между текущей функцией распределения и ступенькой,затем она домножается на (), получившаяся функция раскладывается в ряд тейлора до первогопорядка и интегрируется.Используем эту формулу для уравнений (1) и получим:⎡ ⎤)︂(︂(︂ 3)︂ˆ∞ˆ2 22 2 24 32 2 4 ⎣442⎦ +2 =+=1+ 2≈=−(2~)3(2~)36(2~)3 33(2~)3 3 +100⎞1/3⎛С необходимой точностью имеем: ≈ ⎝33(︂(2~) )︂ ⎠2 24 1+ 2≈ 2~(︁34(︁1−2 22)︁)︁1/3(︁≈ 1 −2 232)︁Применяя формулу интегрирования к уравнению для энергии, подставив туда известный хим.

потенциал имеем⎤⎡ [︂]︂ˆ∞ˆ3244 ⎣3 2 2 ⎦4 42 2 2 4 43=≈+=1+· [1+≈−(2~)3(2~)36(2~)3 42(2~)3 4 +10+2 2 2]︂20(︂)︂4 (︂)︂[︂]︂[︂]︂ 42 22 2 2 44 2 2 2 2 2 42 2 2≈1−1+≈1−+=1+(2~)3322(2~)3322(2~)332(︂)︂4 3 2 22 === ;= ∼1→ = 233 3(2~)6(~)615. Найдите энергию Ферми F идеального нерелятивистского ферми-газа. Вычис(︁ )︁2лите его химпотенциал и энергию E в вырожденном состоянии с точностью ∼ TF´∞ f ()d´2 2включительно.

Воспользуйтесь разложением=f ()d + 6T f ′ () + .... . Вы−exp ( T )+100числите теплоемкость газа CV и выясните, при какой температуре CNV ∼ 1.(2 + 1)=(2~)3ˆ∞0где =(2+1)3/2√2 2 ~ˆ∞12 /2−4 = +1и произведена подстановка =(2 + 1)=(2~)3ˆ∞0022−+1(1). Аналогично делаем для энергии:ˆ∞()2 /2−√2√24 = +10−+1(2)Теперь при T=0 все фермионы заполняют сферу Ферми и распределение имеет вид ступеньки безразмытия, а хим. потенциал равен энергии Ферми. В таком случае, интегралы берутся легко.(︂)︂2/3ˆ(0)√23 3/2 = (0) ; (0) = = = 32 0(доп.инфа:0 = 35 ).Теперь ̸= 0, ≪ . Ступенька при конечной температуре размывается.´∞ ()´∞2Для вычисления интегралов используется формула= () + 6 2 ′ () + ... логика её−0 +10вывода такова: рассматриватся разность между текущей функцией распределения и ступенькой,затем она домножается на (), получившаяся функция раскладывается в ряд тейлора до первогопорядка и интегрируется.Используем эту формулу для уравнений (1) и (2) и получим:)︃(︃(︃)︃(︂ )︂2(︂)︂222252+ ...