STATFIZ (1 задание)

Задача №1 (Двухуровневые атомы). Определить энтропию S и температуру T газа N невзаимодействующих двухуровневых атомов (разность энергий уровней E) при заданной энергии E. Показать, что T может быть отрицательной.Что произойдет, если две такие одинаковые системы с T1 < 0 и T2 > 0 привести в тепловой контакт? Вычислить температурную зависимость теплоемкости газа C(T ).

Найти характерные температуру T∗ и ширину △T∗ пика теплоемкости(аномалия Шоттки) в случае сильного вырождения верхнего уровня ln g ≫ 1.Решение:1.) Двухуровневой называется система, частицы которой могут находиться в состояниях с энергией E1 и E2 , причемE1 < E2 . Это могут быть, например, атомы или ядра со спином 1/2. В магнитном поле они ведут себя подобно магнитнымстрелкам, т.е. могут ориентироваться “по полю” или “против поля”. В первом случае энергия частицы равна E1 , а во второмE2 . При любой положительной температуре на верхнем уровне будет меньше частиц, и лишь при T ∼ ∞ “населенность”уровней становится одинаковой. Искусственно можно создать состояние, при котором населенность верхнего уровня окажется выше, чем нижнего (опыт американских физиков Э.Парселла и Р.Паунда, 1951).

Таким состояниям формальноприписывается отрицательная температура (см. журнал «Природа», № 4, 1994, с. 23-70).Для математического описания системы введём основную её характеристику внутреннюю энергию E (точнее её дифференциал):∂E∂EdS +dV(1)∂S∂VЗдесь мы рассматриваем ситуацию, когда число частиц не меняется, а систему можно считать замкнутой. Перепишемэто выражение в виде:dE =dE = T dS − P dV,(2)где первое слагаемое – это механическая работа δА, второе – количество теплоты δQ («термическая работа»).

В нашемслучае V = const, δА = pdV = 0 и dE = T dS.Будем считать, что наша система содержит N частиц (атомов) и подчиняется статистике Больцмана, т.е. считается,что частицы различимы, если они находятся на разных энергетических уровнях. В одном энергетическом состоянии можетнаходиться любое количество частиц. Если же они находятся на одном уровне, то их перестановка не приводит к новомусостоянию. В этом смысле можно также говорить, что они не различимы. Тогда попадание частицы на тот или другойуровень есть случайное событие, а внутренняя энергия такой системы:E = N1 E1 + N2 E2 ,(3)где N1,2 – число атомов на первом и втором уровне. При записи этого уравнения предполагается, что взаимодействие частиц слабое. Его роль сводится к созданию статистической ситуации в системе (случайному разбросу частиц поэнергетическим уровням).

Энергией же взаимодействия при записи этого уравнения можно в таком случае пренебречь.Пусть N ≫ 1. Введём понятие термодинамической вероятности W , равной числу способов распределения атомов поN2возможным энергетическим состояниям. Подсчитав число сочетаний CN, отвечающее разным комбинациям чисел N1 и1N2 (где N1 +N2 = N ), можно найти термодинамическую вероятность W каждого состояния, а затем, с помощью формулыБольцмана-Планка, энтропию системы в каждом состоянии:N2S = k ln W = k ln CN,(4)N2где k = 1, 38 · 10−23 Дж/К – постоянная Больцмана; CN– число сочетаний из N по N2 ; N2 = 0, 1, 2, ....Таким образом, двухуровневая система позволяет строго рассчитать энтропию для разных микросостояний и исследовать зависимость E от S, которая определяет температуру системы.

Воспользовавшись определением энтропии, покажем,что:T =∂E=∂SE2 − E1 N2k lnN1(5)В самом деле, перепишем (3) в виде:E = N1 E1 + (N − N1 )E2 = N E2 − N1 (E2 − E1 ) = N E2 − N1 △E(6)N!N!=, тогда выражение для энтропии примет вид:N2 !(N − N2 )!(N − N1 )!N1 !N2S = k ln W = k ln CN= k ln N ! − ln N1 ! − ln(N − N1 )!(7)N2Теперь, согласно определению CN=1Учитывая, что число частиц N велико, воспользуемся формулой Стирлинга для приближённого вычисления факторила N ! при N ∼ ∞, т.еN! ≈NeN√2πN1Тогда ln N ! = N ln N − N + (ln N + ln 2π). Далее, из уравнения (7), получим, что:2∂EdE/dN1T ==∂S VdS/dN1 V(8)(9)Вычислим производные стоящие в числителе и знаменателе последнего выражения.

Аналогично из (3) и (7) получим,что:dE= −△EdN1dSdd= −kln N1 ! +ln(N − N1 )!dN1dN1dN1Учитывая формулу Стирлинга, получим:dd111ln N1 ! =N1 ln N1 − N1 + (ln N1 + ln 2π) = ln N1 + 1 − 1 +=+ ln N1 ≈ ln N1 ,dN1dN122N12N1(10)(11)(12)так как при N1 > 10 первым слагаемым в последнем выражении можно пренебречь.ddN1ln(N − N1 )! =1d1=(N − N1 ) ln(N − N1 ) − (N − N1 ) + (ln(N − N1 ) + ln 2π) = − ln(N − N1 ) + 1 − 1 −dN122(N − N1 )1− ln(N − N1 ) ≈ − ln N2(13)2(N − N1 ) dS1k1N1Значит,= k[ln(N − N1 ) − ln N1 ] −−≈ −k ln. Подставляя это выражение в (9), приходимdN12 N − N1N1N2к (5). Что и требовалось доказать. Из выражения (5) следует, что:=−E2 − E1kT ,N2 = N1 · e−(14)т.е. частицы распределяются по энергетическимуровням в соответствии с принципом Больцмана, а выражение (14)∂Eможно рассматривать, наряду с T =, также в качестве непротиворечивого статистического определения темпе∂S Vратуры двухуровневой системы.Рис.

1. Схема для пояснения отрицательной температуры: если на верхнем уровне оказывается больше частиц, чем нанижнем, температура получается отрицательной.2.) Зададимся теперь вопросом: что произойдет, если две двухуровневые одинаковые системы с T1 < 0 и T2 > 0 привести в тепловой контакт? В качестве примера рассмотрим подсистему электронов в оптических квантовых генераторах(лазерах). Типичное расположение рабочих уровней энергии лазера показано на Рис.2.Под действием потока внешнего излучения обеспечиваются переходы 1, 2 электронов с основного уровня А на метастабильный уровень С .

В результате на уровне С создается инверсная заселенность (отрицательная температура вэлектронной подсистеме). Лазерное излучение возникает при переходе 3 в основное состояние. Необходимо всегда иметь2Рис. 2. Типичная схема образования инверсной заселенности в лазерах.в виду, что отрицательные температуры наблюдаются лишь в отдельных подсистемах объекта (тела), находящегося внеравновесных условиях, и не характеризуют свойства всего объекта, рассматриваемого как единое целое.При тепловом контакте двух таких систем (см.

Рис.2) с разным знаком температуры система с положительной температурой начинает нагреваться, с отрицательной – охлаждаться (считаем, что всё излучение поглощается). Чтобы температуры стали равными, одна из систем должна пройти через бесконечную температуру (см. Рис.3.б). В частном случаеравновесная температура объединённой системы останется бесконечной. В нашем случае такой ситуации соответствуетслучай равенства числа частиц на верхнем и нижнем уровнях ln(N2 /N1 ) = ln 1 = 0 в выражении (5).Рис. 3. а) – зависимость энергии от температуры; б) – зависимость температуры от числа частиц на основном уровне (кпонятию отрицательной температуры).Стоит отметить, что абсолютная температура +∞ и −∞ – это одна и та же температура (соответствующая равномерному распределению), однако различаются температуры T = +0 и T = −0. Так, квантовая система с конечным числомуровней будет сосредоточена на самом нижнем уровне при T = +0, и на самом верхнем – при T = −0, то проходяряд равновесных состояний, система может попасть в область температуры с другим знаком только через бесконечнуютемпературу.3.) Вычислим теперь температурную зависимость теплоемкости газа C(T ), описываемого двухуровневой системой.Согласно определению теплоёмкости:C=dE,dT(15)где E = N1 E1 + N2 E2 .

Представим это выражение в виде: N1N2N1E=NE1 +E2 = −△EN+ N E2NNN(16)Здесь мы положили N2 = N − N1 , а E2 − E1 = △E. Соответствующее отношение N1 /N найдём из выражения (14):N11=−△E/kTN1+e(17)откудаdEdC== −△EN ·dTdT11 + e−△E/kT3=△E 2 Ne−△E/kT·kT 2(1 + e−△E/kT )2(18)На Рис.4 изображён схематический график зависимости теплоёмкости газа, описываемого двухуровневой системой, оттемпературы.Рис. 4.4.) Рассмотрим теперь ситуацию, когда верхний уровень сильно вырожден.

Согласно определению числом вырожденияg называется число возможных состояний системы с заданной энергией. В соответствии с этим уравнение для числа частицпримет вид:−N2= N1 · egE2 − E1kT⇒N11=,N1 + g · e−△E/kT(19)а теплоёмкостьC=g△E 2 Ne−△E/kT·2kT(1 + g · e−△E/kT )2(20)Отметим максимум на графике теплоемкости (см. Рис.4). Этот эффект используют при изучении распределенияуровней энергии твердого тела. Такой эффект называется аномалией Шоттки. Найдём характерную температуру T ∗√пика в этом случае (с учётом ln g ≫ 1). Для этого представим выражение (20) в виде (положив при этом g = eα ):C=1△E 2 N△E 2 N· △E/2kT −α·=2−△E/2kT+α2kTkT 2(e+e)ch21△E−α2kTПродифференцируем это выражение по переменной T , а затем приравняем производную к нулю.△Esh−αd △E 2 N△E 3 N△E 2 N112kT = 0,=−···2T 43△E△E△EdT kT 2k2kTch2−αch3−αch2−α2kT2kT2kT△E· th2kT△E−α2kT(21)или(22)=1(23)Проанализируем полученное выражение.

Пусть x = △E/(2kT ). Рассмотрим теперь графики функций th x и 1/x (см.Рис.5). Так как α > 0, то, в полученном нами уравнении (23), разность x − α приводит к сдвигу функции th x в правопо оси X. Поскольку α ≫ 1, то с учётом графиков функций, можно сказать, что в их точке пересечения 1/x ≈ 0, аследовательно, и th(x − α) ≈ 0, откуда находим, что:△Ek ln gT∗ ≈(24)Далее, как мы уже сказали, из условия th(x − α) ≈ 0 следует, что (x − α) ≈ 0, а следовательно, и ch(x − α) ≈ 1, поэтому:△E 2 N(25)kT ∗ 2Найдём теперь ширину пика на Рис.4.