402

Московский физико-технический институт(государственный университет)Цель работы: Изучение явления саморепродукции и применение его к измерению параметров периодических структур.В работе используются: лазер, кассета с сетками, мира, короткофокусная линза с микрометрическим винтом, экран, линейка.САМОРЕПРОДУКЦИЯЛабораторная работа № 402При дифракции на предмете с периодической структурой наблюдается интересное явление: на некотором расстоянии от предмета вдоль направления распространения волны появляется изображение, которое потом периодически повторяется — репродуцируется.Этот эффект имеет простое физическое объяснение. Если напути распространения плоской волны в плоскости z = 0 расположить транспарант (например, изображение предмета на фотоплёнке или стеклянной пластинке) с функцией пропускания, отличной от константы, то на выходе из него в плоскости z = 0 +волна уже перестанет быть плоской.

Если при этом функция пропускания транспаранта — периодическая функция координат, периодической функцией будет и комплексная амплитуда волны навыходе из транспаранта, т. е. в плоскости z = 0 + . Периодическому распределению комплексной амплитуды в плоскости z = 0 +будет соответствовать дискретный набор плоских волн с кратными пространственными частотами. При этом оказывается, что существуют плоскости (при z > 0), где все плоские волны имеютте же самые фазовые соотношения, что и в плоскости z = 0 + .В результате интерференции этих волн получается изображение,тождественное исходному периодическому объекту.Найдём выражение для расстояния между этими плоскостями.

Напомним, что плоской монохроматической волной называется волна вида(1)E(r, t) = a0 e−i(ωt−kr−ψ0 ) ,где амплитуда a0 — действительная постоянная, ω — круговая частота, k — волновой вектор (|k| = 2π/λ), ψ 0 — начальная фаза.Колебания происходят синфазно во всех точках плоскости:МОСКВА 2005kr = ux + vy +pk 2 − u2 − v 2 · z = const.3(2)Направление распространения плоской монохроматической волны характеризуется волновым вектором k, а u и v есть проекцииего на оси координат x и y соответственно.

В дальнейшем мы будем опускать зависимость от времени e −iωt и использовать дляописания монохроматической волны комплексную амплитуду. Дляплоской волны (1) комплексную амплитуду можно представить ввидеf (x, y, z) = a0 eiψ0 ei(ux+vy) ei√k 2 −u2 −v 2 ·z== f (x, y, 0) · ei√k 2 −u2 −v 2 ·z.(3)Таким образом, для того чтобы получить комплексную амплитуду плоской волны в произвольной плоскости z = const, надо еезначениев плоскости z = 0 домножить на фазовый множитель√222ei k −u −v ·z .Пусть плоская волна падает перпендикулярно на транспарант,расположенный в плоскости z = 0, тогда для падающей волныu = v = 0, и комплексная амплитуда волны на входе в транспарант является константой a0 eiψ0 .

Комплексную амплитуду волныв плоскости z = 0+ на выходе из транспаранта получаем, умножив комплексную амплитуду на входе в транспарант на функциюпропускания транспаранта t(x, y). Это правило является определением понятия функции пропускания транспаранта. Если функцияпропускания периодическая с периодом d (для простоты рассмотрим одномерный случай t(x, y) = t(x)), то комплексная амплитуда на выходе из транспаранта a0 eiψ0 t(x) также периодическаяфункция с тем же периодом d. Согласно теореме Фурье (доказываемой в курсе математического анализа) периодическая функцияa0 eiψ0 t(x) может быть представлена в виде ряда Фурье — суммыгармонических составляющих с кратными пространственными частотами un = 2πn/d:f (x, 0+ ) = a0 eiψ0 t(x) = a0 +∞Xили в комплексной форме —f (x, 0+ ) =∞Xcn eiun x=n=−∞∞Xcn ei2πnxd.(4)n=−∞Опираясь на теорему единственности решения волнового уравнения при заданных граничных условиях, мы можем утверждать,что периодическому распределению комплексной амплитуды вплоскости z = 0+ будет соответствовать при z > 0 дискретный набор плоских волн с кратными пространственными частотами u n .Как видно из (3), для плоской волны с пространственнойчастотойpun волновой вектор k имеет проекции un , 0, k 2 − u2n .

Разложениеволны, продифрагировавшей на транспаранте, в ряд по плоскимволнам позволяет легко найти комплексную амплитуду волны впроизвольной плоскости z = const. Для этого достаточно домножить комплексные амплитуды плоских волн вpсуперпозиции (4)на соответствующий фазовый множитель exp(i k 2 − u2n · z):f (x, z) =∞Xcn eiun x ei√k 2 −u2n ·z.(5)n=−∞Каждая плоская волна в суперпозиции (4) приобрела при распространении от транспаранта до плоскости наблюдения z = constнабег фазы:pϕn = k 2 − u2n · z.Для параксиальных волн (un 1)ϕn ≈ kz −u2nz,2k(6)и, таким образом, разность набегов фазы для любых двух плоскихволн (с индексом n и m) равна∆ϕn, m = (u2m − u2n )zπλ= (m2 − n2 ) 2 z.2kd(7)n=1Легко видеть, что в плоскости наблюдения z 0 = 2d2 /λ разностьфазовых набегов оказывается кратной 2π для любых гармоник,45[an cos(nun x) + bn sin(nun x)]входящих в состав суперпозиции (4), т.

е. совпадают фазовые соотношения между колебаниями, которые создаются всеми плоскими волнами, входящими в состав суперпозиции (4) в предметнойплоскости z = 0+ и в плоскости изображения z1 = 2d2 /λ. Поэтомув результате интерференции этих волн мы получаем изображение,тождественное исходному периодическому объекту. Описанное явление называется эффектом саморепродукции. Световая волна сама (без каких-либо линз или зеркал) создает изображение исходного объекта. Ясно, что все сказанное справедливо и для любогорасстояния zN , кратного z1 :zN =2d2N.λ(8)Таким образом, левее плоскости П1 мы будем наблюдать, хотя и слегка размытые, репродуцированные изображения решетки.Правее плоскости П2 репродуцированных изображений не будет.Экспериментальная установка.

Хорошим приближением к плоской волне в нашем эксперименте является излучение лазера. Лучлазера падает перпендикулярно на периодический объект О, установленный в плоскости P0 (рис. 2).За плоскостью P0 (в плоскостях P1 –PN ) периодически по z возникают изображения объекта, которые с помощью линзы Л можнопоочерёдно проецировать на экран, установленный в плоскости Э.Если убрать линзу, то на экране наблюдается картина дифракциилуча лазера на периодическом объекте.ОКГОЛЭНа опыте, вследствие ограниченности поперечного сечения светового пучка лазера, наблюдаются только несколько репродуцированных изображений решетки. Поясним этот эффект с помощьюрис.

1.На нем изображены толькоП1П2Отри продифрагировавших луча:n=+1соответственно нулевого (n = 0):и ± первого порядка (n = ±1).n=0zТам, где эти лучи перекрываn=−1ются, образуется интерференциzонная картина с периодом, какРис. 1. Принципиальная схемараз равным периоду решетки d.дифракции на сетке. Между сетСпроектировав картину с помокой 0 и плоскостью П1 наблюдащью линзы на экран, мы увидимются репродуцированные изобраизображения синусоидальной режения сеткишетки с плавным переходом отмаксимумов к минимумам.

Для того чтобы наблюдать более тонкие детали, необходимо, чтобы в плоскости наблюдения перекрывались лучи более высоких дифракционных порядков. На краях,где перекрываются только два луча (n = 0 и n = +1 или n == 0 и n = −1), также образуется интерференционная картина спериодом d, но менее контрастная.Экран устанавливается достаточно далеко от объекта, так чтопродифрагировавшие лучи, соответствующие различным порядкам дифракции (sin ϕn = nλ/d), разделяются.Измерив расстояние между дифракционными максимумами ирасстояние от объекта до экрана, мы определим sin ϕ n и d.В нашей работе в качестве периодических объектов применяется мира — набор различным образом ориентированных одномерных решеток разного периода (рис. 4), а также двумерная решеткасетка.

Сетку можно рассматривать как две взаимно перпендикулярные решетки. Узкий пучок монохроматического света, пройдячерез первую решетку с вертикальными штрихами, должен датьсовокупность максимумов, расположенных вдоль горизонтальнойлинии.67P0 P1 PNРис. 2. Схема установки: ОКГ — гелий-неоновый лазер, 0 — двумерная решетка, PN — плоскости, где наблюдаются репродуцированныеизображения, Л — короткофокусная линза, Э — экран для наблюдения изображения объектаrsssnyr +2 ?sttts +1stv tstts 0s −1Световой пучок, соответствующийкаждому максимуму, проходя через вторую решетку, распадается на новую совокупность пучков, дающих максимумывдоль вертикальной линии. В результате главные максимумы возникают тогда,когда одновременно выполняются условияr s s s r −2nx-−2 −1 0 +1 +2(9)Рис.

3. Спектр решёткисеткиd sin ϕx = nx λ,d sin ϕy = ny λ,tгде nx и ny — два целых числа, характеризующих порядки дифракционных максимумов, ϕx и ϕy — направления на главные дифракционные максимумы в горизонтальной и вертикальной плоскостяхсоответственно (рис. 3). Максимумы показаны кружками, размеры которых характеризуют интенсивность.ЗАДАНИЕВ работе предлагается:А) определить периоды сеток сначала по их спектру на удалённом экране; затем по увеличенному с помощью линзы изображению сеток и, наконец, по результатам измерения расстояниймежду репродуцированными изображениями сеток;Б) повторить измерения для нескольких элементов миры (рис. ??).А.

Исследование двумерных решётокI. Определение периода решёток по их пространственному спектру1. Включите в сеть блок питания лазера. Пронаблюдайте на экранераспределение интенсивности в излучении лазера. Из-за переотражения в выходных стёклах лазера на его выходе может бытьнесколько лучей. Следите за лучом с максимальной яркостью.Настройку системы следует вести, наблюдая за пятном света налисте бумаги. Яркость излучения зелёного лазера можно ослабитьс помощью светофильтра.Попадание прямого луча на сетчатку глаза опасно!82. Закрепите кассету с двумерными решётками (сетками) вблизи выходного окна лазера так, чтобы в окошке под отверстием с сеткойбыл виден её номер (в каждой кассете 6 разных решёток). Вращением барабана (наружного кольца кассеты) решётки можно менять.3.