ErinaceusMathstat (методичка по ТВиМС(МАИ)), страница 2
Описание файла
Файл "ErinaceusMathstat" внутри архива находится в следующих папках: методичка по ТВиМС(МАИ), Generated. PDF-файл из архива "методичка по ТВиМС(МАИ)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "теория вероятности и математическая статистика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
С учётом достаточно большого n = 61, можно говорить о нормальном распеределении. Построим интервал:Ŷ − YP (−u0.975 < p< u0.975 ) = 0.952σ L(X T X)−1 LT1.4146 + 2.1985x − 3.0580x2 − Y< u0.975 ) = 0.95P (−u0.975 < √1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4P(√1.4146+2.1985x−1.9600 1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4 −3.0580x2<Y<√1.4146+2.1985x+1.9600 1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4 −3.0580x2 ) == 0.95Доверительный интервал для Y на уровне надежности 0.95 —√[1.4146+2.1985x−1.9600 1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4 −3.0580x2 ,√1.4146+2.1985x+1.9600 1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4 −3.0580x2 ]125Доверительная трубкаНа графике точками изображен график реального сигнала.Синем цветом показана фунция√y(x) = 1.4146+2.1985x+1.9600 1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4 −3.0580x2Зеленым —√y(x) = 1.4146+2.1985x−1.9600 1.1655 + 0.1143x − 0.0394x2 − 0.0177x3 + 0.0044x4 −3.0580x2Красным —y(x) = 1.4146 + 2.1985x − 3.0580x2134Гистограмма по остаткам от регрессии1ВычисленияPp−1Вычислим остатки по формуле yk − j=0(θj xjk ), где = 4, k ∈ [1, 61].
То есть, ε0i =yi − ((1.41465935878) + (2.19857699421)xi + (−3.05805898891)x2i ).Остатки:1[6.02970033502001, 3.7961893179144113, −4.3926769800784058, 8.9631014410416157,3.963524581274406, −0.69140755937999643, −12.301694980921603,−8.1673376833503895, −0.48833566666640849, −5.5646889308695933,2.9036025240400001, 1.3165386980623985, −8.3258804088023943,3.4763452034456002, 7.1232155348064037, −9.3852694147199998,−8.3491096451335984, −0.96830515643439874, −0.55285594862240206,8.3972379783023996, 8.4519766243400003, 0.21135998949040058,6.1353880737535995, 2.4340608771296002, 2.6473783996183999,−2.9746593587800003, 1.2379476019344, 7.5951992817615999,3.0170956807016003, −7.5063632012456001, 2.9048226359199996,−1.1293468078016002, −1.7188715324104016, −4.6137515379063982,1.0360131757104014, −5.7795773915599993, 8.3894767602824025,−2.8768243687623993, −1.5584807786943973, −13.295492469513604,3.012140558779997, 0.36441830618640836, −0.038659227294406406,−6.697092041662394, 4.6891198630824, 6.4199764869400013,−5.4045221700895993, 5.4156238919936044, −4.1195853268104017,3.4898501734984038, 6.2439303929200065, 12.442655331454411,−3.0139750108983918, −8.225960634138417, −0.19330153826561514,−3.9159977232800145, 6.005950810818419, −5.2274559359703687,0.28378203635358545, −1.960335272209619, 1.0401921383400179]Отсортированные остатки:1[−13.295492469513604, −12.301694980921603, −9.3852694147199998,−8.3491096451335984, −8.3258804088023943, −8.225960634138417,−8.1673376833503895, −7.5063632012456001, −6.697092041662394,−5.7795773915599993, −5.5646889308695933, −5.4045221700895993,−5.2274559359703687, −4.6137515379063982, −4.3926769800784058,−4.1195853268104017, −3.9159977232800145, −3.0139750108983918,−2.9746593587800003, −2.8768243687623993, −1.960335272209619,−1.7188715324104016, −1.5584807786943973, −1.1293468078016002,−0.96830515643439874, −0.69140755937999643, −0.55285594862240206,−0.48833566666640849, −0.19330153826561514, −0.038659227294406406,0.21135998949040058, 0.28378203635358545, 0.36441830618640836,1.0360131757104014, 1.0401921383400179, 1.2379476019344, 1.3165386980623985,142.4340608771296002, 2.6473783996183999, 2.9036025240400001,2.9048226359199996, 3.012140558779997, 3.0170956807016003,3.4763452034456002, 3.4898501734984038, 3.7961893179144113,3.963524581274406, 4.6891198630824, 5.4156238919936044, 6.005950810818419,6.02970033502001, 6.1353880737535995, 6.2439303929200065,6.4199764869400013, 7.1232155348064037, 7.5951992817615999,8.3894767602824025, 8.3972379783023996, 8.4519766243400003,8.9631014410416157, 12.442655331454411]На интервале [−13.30, 12.44] построим гистограмму.
Длинна интрервала равна 25.74.Разобъем интервала на 9 отрезков. Обычно, длины отрезков выбираеются равными,но это совсем не обязательно. Все наши отрезки будут иметь длину hk = 2.86.Граничные точки отрезков будут:[’−13.3’, ’−10.4’, ’−7.6’, ’−4.7’, ’−1.9’, ’1.0’, ’3.9’, ’6.7’, ’9.6’, ’12.4’]1Отрезки имеют вид:123456789[[[[[[[[[−13.30, −12.30,]−9.39, −8.35, −8.33,−7.51, −6.70, −5.78,−4.61, −4.39, −4.12,−1.72, −1.56, −1.13,1.04, 1.04, 1.24, 1.32,3.96, 4.69, 5.42, 6.01,7.12, 7.60, 8.39, 8.40,12.44,]−8.23, −8.17,]−5.56, −5.40, −5.23,]−3.92, −3.01, −2.97, −2.88, −1.96,]−0.97, −0.69, −0.55, −0.49, −0.19, −0.04, 0.21, 0.28, 0.36,]2.43, 2.65, 2.90, 2.90, 3.01, 3.02, 3.48, 3.49, 3.80,]6.03, 6.14, 6.24, 6.42,]8.45, 8.96,]Их длины, можно записать в виде массива:1[2, 5, 6, 8, 12, 13, 8, 6, 1]Вычислим pk = nnk , где nk — число элементов выборки попавших в k-ый отрезок n—всего элементов вывборки.
Найдем высоту прямоугольника гистограмммы vk = pk /hkдля каждого отрезка.Высоты будут иметь вид:1[0, 0.011464770872207701, 0.028661927180519249, 0.034394312616623096,0.045859083488830804, 0.068788625233246192, 0.074521010669350046,0.045859083488830804, 0.034394312616623096, 0.0057323854361038505]152Гистограмма165Гипотеза: ошибки наблюдения имеют гауссовскоераспеределениеПроверим гипотезу H0 при помощи хи-квадрат критерия Пирсона на уровне значимости 0.05 по остаткам от регрессии: εi = yi − (θ0 + θ1 xi + θ2 x2i + θ3 x3i ) ∼ N (0, δ 2 ).Параметры подлежащие оценке:• вектор θ,• дисперсия δ 2Имеем:1.4147θ̂ = 2.1986 −3.058161δ̄ 2 =1 X(yi − ((1.41465935878) + (2.19857699421)xi + (−3.05805898891)x2i ))261 − 3 i=1δ̄ 2 = 33.2557462284δ̄ = 5.766779537Для критерия хи-квадрат, используем инервалы, из раздела про гистограмму, но,так как, область значений гауссовского распределения [−∞, ßf ty] то левая границапервого инервала заменяется на −∞, а правая граница последнего — на ∞.В итоге:1.
[−∞, −10.4356982694]2. [−10.4356982694, −7.5759040693]3. [−7.5759040693, −4.71610986919]4. [−4.71610986919, −1.85631566908]5. [−1.85631566908, 1.00347853102]6. [1.00347853102, 3.86327273113]7. [3.86327273113, 6.72306693124]8. [6.72306693124, ∞]17Для каждого из этих интервалов надо вычислить вероятность попадания в него реализации гауссовской величины.
Для [ai , bi ] будет: p̂i = Φ0 ( bδ̄i ) − Φ0 ( aδ̄i ).−10.4356982694−∞) − Φ0 () = 0.03517711673215.7667795375.766779537−7.5759040693−10.4356982694Φ0 () − Φ0 () = 0.112262752695.7667795375.766779537−4.71610986919−7.5759040693Φ0 () − Φ0 () = 0.1670310880545.7667795375.766779537−1.85631566908−4.71610986919Φ0 () − Φ0 () = 0.1953063546895.7667795375.7667795371.00347853102−1.85631566908Φ0 () − Φ0 () = 0.1794738693455.7667795375.7667795373.863272731131.00347853102Φ0 () − Φ0 () = 0.1296126371945.7667795375.7667795376.723066931243.86327273113Φ0 () − Φ0 () = 0.07355928184525.7667795375.766779537∞6.72306693124Φ0 () − Φ0 () = 0.07355928184525.7667795375.766779537Φ0 (Если сложить все p̂i , то получится 1.0.
Что соостветствует площади под графикомгауссщвской функции распределения. Всего скорее, наше предположение правильное, применим критерий Пирсона.8Xn2mgn =− 61 ∼ χ2 (8 − 1 − 4)61p̂mm=1Квантиль χ2 распределения на уровне надежности 0.95 равна 7.8147. Квантильχ2 распределения на уровне надежности 0.99 равна 11.3449. Реализация gn есть2.95576144525. Гипотеза принимается в обоих случаях.186ВыводыВ ходе выполнения лабораторной работы был изучен метод наименьших квадратови примен для оценки полезного сигнала.
Был получен результат:ŷ(x) = 1.4146 + 2.1985x − 3.0580x2Построены доверительные интегралы для сигнала и его параметров. Найдена оценкадисперсии ошибки наблюдения.σ 2 = 33.2557462284При помощи критерия Пирсона, была проверена гипотеза, о том, что закон распеределения ошибки гауссовский. Гипотеза принята на уровне значимости 0.05.19.
