Voprosy_Dlya_Podgotovki_K_Ekzamenu_Iidu (Вопросы)

Вопросы для подготовки к экзаменупо курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения»для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТ(в квадратных скобках указаны номера лекций по конспекту проф. Иванкова П.Л.электронный ресурс http://mathmod.bmstu.ru/Docs/Eduwork/idu/idu.html)1.

Сформулировать определение первообразной. Сформулировать свойства первообразной инеопределённого интеграла. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частямдля неопределённого интеграла. [Л. 1,2.]2.Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.Интегрированиепростейших дробей. [Л. 3.]3. Сформулировать свойства определенного интеграла.

Доказать теорему о сохраненииопределенным интегралом знака подынтегральной функции. [Л. 5–6.]4. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему об оценкеопределенного интеграла. [Л. 5–6.]5. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему об оценке модуляопределенного интеграла. [Л. 5–6.]6. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о среднем дляопределенного интеграла.

[Л. 5–6.]7. Дать определение интеграла с переменным верхним пределом. Сформулировать идоказать теорему о производной от интеграла с переменным верхним пределом. [Л. 7.]8. Сформулировать свойства определенного интеграла. Вывести формулу Ньютона —Лейбница. [Л. 5–7.]9. Дать геометрическую интерпретацию определенного интеграла. Сформулировать идоказать теорему об интегрировании подстановкой для определенного интеграла. [Л.

5–7.]10. Сформулировать свойства определенного интеграла. Интегрирование периодическихфункций. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. [Л. 5–7.]11. Сформулировать свойства определенного интеграла. Сформулировать и доказатьтеорему об интегрировании по частям для определённого интеграла. [Л.

7.]12. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать идоказать признак сходимости по неравенству для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]13. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать идоказать предельный признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]14.

Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать идоказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]15.Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода и признакисходимости таких интегралов. Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимостидля несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]16.

Фигура ограничена кривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывестиформулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры. [Л. 11.]17. Фигура ограничена лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой r = f (ϕ). Здесь r и ϕ — полярныекоординаты точки, 0 6 α < β 6 2π, где r и ϕ — полярные координаты точки. Вывести формулудля вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры. [Л. 11.]18. Тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченнойкривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b).

Вывести формулу для вычисленияс помощью определенного интеграла объема тела вращения. [Л. 12–13.]19. Кривая задана в декартовых координатах уравнением y = f (x), где x и y —декартовые координаты точки, a 6 x 6 b. Вывести формулу для вычисления длины дуги этойкривой. [Л. 12–13.]20. Кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (ϕ) > 0, где r и ϕ —полярные координаты точки, α 6 ϕ 6 β.

Вывести формулу для вычисления длины дуги этойкривой. [Л. 12–13.]21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Интегрирование линейныхнеоднородных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли (метод “u · v”)и методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной).

[Л. 15.]22. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка. Интегрирование дифференциальных уравнений n-гопорядка, допускающих понижение порядка. [Л. 17.]23. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения линейногодифференциального уравнения n-го порядка. Доказать свойства частных решений линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

[Л. 18–19.]24. Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане линейно зависимых функций. [Л. 18–19.]25. Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно независимых частныхрешений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.]26. Сформулировать и доказать теорему о существовании фундаментальной системырешений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

[Л. 18–19.]27.Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.]28. Вывести формулу Остроградского — Лиувилля для линейного дифференциальногоуравнения 2-го порядка. [Л. 18–19.]29. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка при одном известном частном решении.

[Л. 18–19.]30.Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейногонеоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 20–21.]31. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корнейхарактеристического уравнения.

[Л. 20–21.]32. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корнейхарактеристического уравнения. [Л. 20–21.]33. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (являющейся квазимногочленом).Сформулировать и доказать теорему о наложении частных решений. [Л.

20–21.]34. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для нахождения решениялинейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка и вывод системысоотношений для варьируемых переменных. [Л. 20–21.]При ответе на теоретические вопросы билета формулировки теорем должнысопровождаться определениями используемых в них понятий.

Знание остальныхтеорем, определений и понятий из программы курса может потребоваться приответе на дополнительные вопросы экзаменатора.Задачи для подготовки к экзаменупо курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения»для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТВ экзаменационный билет входят один теоретический вопрос и четыре задачи. Каждая иззадач относится к одной из следующих тем:• неопределенные интегралы;• приложения определенного интеграла;• несобственные интегралы;• дифференциальные уравнения (ОДУ), допускающие понижение порядка;• линейные ОДУ с правой частью специального вида;• линейные ОДУ с правой частью общего вида.При подготовке к экзамену рекомендуется прорешать следующие задачи.Модуль 11.

Неопределенные интегралы.ZZZZ √45 + ln xx2 dx2dx.1.2..1.3.x cos 2x dx.1.4.e2x cos 3x dx.1.1.xx6 − 1ZZZZ4x + 1dx√√tg3 x dx..1.8.1.5.ln x dx.1.6.dx.1.7.2 + 4x − x2x 3x2 − 2x − 1√ZZZ3√dxx−12√√1.9..1.10.(cosx+sinx)dx.1.11.dx.2324 sin x + 3 cos xx−1+ x−1ZZZ 3dxdxx +x+11.12..1.13..1.14.dx.5 − 2 sin x + 5 cos x(x + 1)(x + 2)(x + 3)x(x2 + 1)2. Приложения определенного интеграла.√√2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x + 4, y = − x + 2 и осью Ox.Сделать чертёж.2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos3 t, y = a sin3 t.

Сделатьчертёж.2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой ρ = 2(1 + cos ϕ) и лучами ϕ = 0,πϕ = . Сделать чертёж.32.4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченнойлиниями y = e−2x − 1, y = e−x + 1 и x = 0. Сделать чертёж.2.5.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченнойx2линиями y =+ 2x + 2 и y = 2. Сделать чертёж.22.6. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой x = at2 ,y = a ln t (a > 0) и осями координат, вокруг оси Ox. Сделать чертёж.2.7. Найти объём тела, образованного вращением кривой r = a sin2 φ вокруг полярной оси.Сделать чертёж.2.8. Найти длину дуги кривой y = x2 от точки (−1, 1) до точки (1, 1). Сделать чертёж.2.9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой x = 2 cos t,y = 4 sin t. Сделать чертёж.3.