6 (Лекции в PDF), страница 2

2й семестр. Лекция 66Резонансная криваяABA0 Bβ= 0 , 04ω012108β= 0 , 07ω06β= 0, 2ω04β= 0, 4ω0β= 0 ,1ω0β= 0 ,3ω02x000,20,40,60,811,21,41,61,82График зависимости разности фаз от частотыθ3β= 0, 4ω02,52β= 0 ,3ω01,5β= 0, 2ω01β= 0 ,1ω0β= 0 , 07ω0β= 0 , 04ω00,5x000,20,40,60,811,21,41,61,82Ширина резонансной кривой ∆Ω R - это интервал частоты, в пределах которого амплитуда колебаний отличается от резонансной амплитуды в пределах A ( Ω ) ≥(Т.е.

энергии колебаний отличаются не более чем в 2 раза).AR.21й курс. 2й семестр. Лекция 6f0Учитывая, что AB _ REZ =находим(ω20ИлиAB _ REZ(ω20=AB(ω20− Ω 2 ) + 4β2 Ω 222β ω02 − 2β2− Ω 2 ) + 4β2 Ω 2f0и AB =2β ω02 − 2β2=(ω207−Ω)2 2+ 4β Ω2− Ω 2 ) + 4β2 Ω 2,22.2β ω20 − 2β22(ω= 2,2β ω02 − 2β2− Ω 2 ) + 4β2 Ω 2 = 2 2β ω02 − 2β2 .220Откуда получаем квадратное уравнение Ω4 + ( 4β2 − 2ω02 ) Ω2 + ( ω02 − 4β2 ) = 0 .2Дискриминант этого уравнения D = 16β2 ω20 − 48β4 = 16β2 ( ω02 − 3β2 ) .Корни квадратного уравнения(Ω )21,2− ( 4β2 − 2ω02 ) ± 4β=(ω20− 3β2 )2= − ( 2β2 − ω02 ) ± 2β(ω20− 3β2 ) .Так как ( ω20 − 4β2 ) > 0 , то ( Ω2 )1,2 = ω02 − 2β2 ± 2β ( ω02 − 3β2 ) > 0 .2Откуда находим только положительные решенияΩ1 = ω02 − 2β2 − 2β(ω20− 3β2 ) и Ω 2 = ω02 − 2β2 + 2β(ω− 3β2 ) .20Поэтому для ширины резонансной кривой получаем(ω∆Ω R = Ω 2 − Ω 2 = ω02 − 2β2 + 2β20− 3β2 ) − ω02 − 2β2 − 2βСледовательно, этот параметр определен при β <Найдем отношениеΩ REZ=∆Ω R(ω20ω03ω − 2β + 2β2Ω REZ=∆Ω RΩ REZ 2 + 2β.Ω REZпри малом значении β .∆Ω Rω02 − 2β220− 3β2 ) .(ω20− 3β2)−(ωω − 2β − 2β20220− 3β2Ω REZ(Ω2REZ− β2 ) − Ω REZ 2 − 2β(Ω2REZ− β2 )),илиΩ REZ Ω REZ≈.∆Ω R2βУчтем, что при малых β выполняется Ω REZ ≈ ω0 ≈ ω , поэтомуΩ REZ Ω REZω2π π≈≈== = Q,∆Ω R2β2β 2βT δгде величины ω, δ, Q характеризуют затухающие свободные колебания даннойколебательной системы.Рассмотрим также отношениеДля малого затухания β:AB _ REZA0≈AB _ REZA0 Bω0=Q.2β=1ββ221− 2 2ω0ω0.1й курс.

2й семестр. Лекция 68Следствия.1) Для вынужденных колебаний добротность колебательной системы характеризует резонансныесвойства колебательной системы. Добротностьравна отношению резонансной частоты к широтерезонансной кривой (при малом затухании). Отсюда следует, что чем выше добротность, тем ужеАВАВ2(«острее») резонансная кривая ∆Ω R =А0ВΩ∆ΩRΩ REZ.Q2) Добротность при малом затухании также характеризует отношение амплитуды при резонансе кстатическому отклонению системы под действиемпостоянной силой такой же величиныAB _ REZA0≈Q..