5 (Лекции в PDF), страница 2

Рассмотримпроекции на ось z: Lz = I z ω = I z ϕɺ , M z ( mg ) = −mgl sin ϕ .Уравнение вращения вокруг оси z:dLzɺɺ = −mgl sin ϕ= M z ВНЕШ или I z ϕdtЕсли выполняется условие малости колебаний: sin ϕ ≈ ϕ , то уравнение колебанийпримет видɺɺ = −ϕmglϕ.IzС учетом выражения для циклической частоты ω =периода колебаний физического маятника T = 2πmglполучаем выражение дляIzIz.mglПриведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом1й курс. 2й семестр.

Лекция 5TМАТ = TФИЗ , 2π7IzlI= 2π ПР , lПР = z .♣mglgmlЗамечание. Как показано в последних двух примерах, уравнения колебаний можно получить, вводя обобщенную координату - угол и обобщенную квазиупругуюсилу – момент силы тяжести.Математические сведенияСреднее значение (по времени) некоторой величины u(t) за интервал времени (t1,t2) – это такое постоянное значение <u>, для которого выполняется равенствоt2t2t1t1∫ u ( t ) dt = ∫t21u dt = u ⋅ ( t2 − t1 ) , поэтому u =u ( t ) dt . Если рассматривать вре( t2 − t1 ) ∫t11 tменной интервал ( 0; + ∞ ) , то в этом случае u = lim  ∫ u ( t ) dt  .t →∞ t 0Примеры1 t1 Adt  = lim  At  = A .∫t →∞ t 0 t →∞  t 1. Пусть А – некоторая константа.

Тогда A = lim 2. sin ( ωt + α )1 tt 11= lim  ∫ sin ( ωt + α ) dt  = − lim  cos ( ωt + α ) 0  = 0t →∞ tt→∞ωt 0(так −1 ≤ cos ϕ ≤ −1 для любых ϕ)1 t1 t 1 + cos ( 2ωt + 2α ) cos 2 ( ωt + α ) = lim  ∫ cos 2 ( ωt + α ) dt  = lim  ∫dt  =t →∞ t2 0 t →∞  t 0t1 11  1= lim   t +sin ( 2ωt + 2α )   =2 t →∞  t  2ω 0  212Аналогично cos ( ωt + α ) = 0 , sin 2 ( ωt + α ) = .Энергия и импульс гармонического осциллятораПусть задан закон движения осциллятора x = Acos ( ωt + α ) . Так как колебания незатухающие, то они продолжаются бесконечно долго, поэтому средние значениянадо искать на бесконечном интервале ( 0; + ∞ ) .1) Среднее значение проекции импульса для колебательного движенияpx = mv x = mxɺ = − mωA sin ( ωt + α ) , тогда px = − mωA sin ( ωt + α ) = 0 .1й курс.

2й семестр. Лекция 52) Среднее значение кинетической энергии WK =WK =mv 2x px2 m 2 2 2== ω A sin ( ωt + α )22m 2mω2 A2.43) Среднее значение потенциальной энергии WП =WП8kx 2 kA2cos 2 ( ωt + α )=22kA2=.4С учетом соотношения ω2 =kkA2получаем, что WК = WП =.m43) Найдём среднее значение механической энергии осциллятораWМЕХ = WК + WП = WК + WП =kA2.2Как и следовало ожидать, полная механическая энергия осциллятора остается постоянной.Фазовая плоскость.Фазовой плоскостью называется двумерное пространство, координатами вкотором является координата точки и проекция импульса (соответственно, обобщенная координата и обобщенный импульс).Для пружинного маятника из закона сохранения энергииpxWMEX =xmxɺ 2 kx 2 px 2 kx 2+=+= const222m2следует, что фазовая траектория точки, совершающей свободные незатухающие колебания – это эллипс22px 2 kx 2 kA2  px   x +=,  +   = 1,2m22 mk A   A главные полуоси которого a = mk A = mωA = mv max = pmax , b = A .Замечание.

В случае если система состоит из N осцилляторов, то фазовое пространство имеет размерность 2N.Векторная диаграмма.Рассмотрим радиус-вектор точки М, вращающейся вокруг начала координатс постоянной угловой скоростью ω. Угол между радиус-вектором и осью Х меня-1й курс. 2й семестр. Лекция 59ется с течением времени по закону ϕ = ωt + ϕ0 , где ϕ0 – егоYyМначальное значение.

Пусть длина радиус-вектораОМ=А. Координаты точки М:ϕOx = Acos ( ωt + ϕ0 ) , y = A sin ( ωt + ϕ0 )Xxописывают колебания осцилляторов вдоль осей X и Y.Данная форма представления колебаний называетсяамплитудной (векторной) диаграммой.Рассмотрим сложение двух колебаний одного направления: пусть два осциллятора совершают колебания вдоль оси Х с циклическими частотами ω1 и ω2x1 = A1 cos ( ω1t + α1 ) и x2 = A2 cos ( ω2t + α 2 ) .Зададим эти колебания на векторной диаграмме с помощью векторов.1-е колебание задаётся вектором A1 , который вращается вокруг начала координатс постоянной угловой скоростью ω1, угол вращения меняется по законуϕ1 = ω1t + α1 .2-е колебание задаётся вектором A2 , соответстYвенно, угол ϕ2 = ω2t + α 2 .y∑Тогда результирующему колебанию xΣ = x1 + x2y2А2y1ϕ2OδА∑сопоставим вектор AΣ = A1 + A2 с фазойXА1ϕ∑x2x1x∑ϕΣ = ωΣt + α ΣПо теореме косинусовϕ1AΣ2 = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos ( π − δ )Учтем, что cos ( π − δ ) = − cos δ ,δ = ϕ2 − ϕ1 = ( ω2 − ω1 ) t + α 2 − α1 , тогдаAΣ2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( ( ω2 − ω1 ) t + α 2 − α1 )tg ϕΣ =A sin ( ω1t + α1 ) + A2 sin ( ω2t + α 2 )yΣ y1 + y2=или tg ( ωΣt + α Σ ) = 1.xΣ x1 + x2A1 cos ( ω1t + α1 ) + A2 cos ( ω2t + α 2 )Соответственно, tg ( α Σ ) =A1 sin ( α1 ) + A2 sin ( α 2 )A1 cos ( α1 ) + A2 cos ( α 2 ).1й курс.

2й семестр. Лекция 510Остановимся подробнее на двух частных случаях.1) Пусть A1 = A2 := A , ω1 = ω2 := ω . Тогда AΣ2 = 2 A2 + 2 A2 cos ( α 2 − α1 ) = 2 A2 (1 + cos ( α 2 − α1 ) ) .Амплитуда результирующего колебания в этом случае не зависит от времени.Если разность начальных фаз колебаний α 2 − α1 = 2πn , где n – целое число, то наблюдается усиление колебаний AΣ = 2 A .Если разность начальных фаз колебаний α 2 − α1 = π + 2πn , где n – целое число, токолебания гасят друг друга AΣ = 0 .Для вывода формулы результирующего колебания воспользуемся соотношением β −β β +β cos β1 + cos β2 = 2 cos  2 1  cos  2 1  , поэтому, учитывая четность косинуса: 2  2 α 2 + α1  α − α1 xΣ = x1 + x2 = 2 A cos  2 cos  ωt +2  2 Амплитудой должно быть выражение, не зависящее от времени, но амплитуда неможет быть отрицательной величиной, следовательно α − α1 AΣ = 2 A cos  2, 2 Тогдаα 2 + α1 α − α1 xΣ = 2 A cos  2+ θ . cos  ωt +2 2 α 2 − α1  α 2 − α1  > 0 , то θ = 0 , если cos  < 0 то θ = π . 2  2 Если cos 2) Рассмотрим случай, когда амплитуды одинаковые A1 = A2 := A , но частоты отличаются на небольшую величину ω1 = ω , ω2 = ω + ∆ω , ∆ω << ω .

Для упрощения примем, что α1 = 0 и α 2 = 0 . Аналогично предыдущему случаю, получаем∆ω  ∆ω xΣ = x1 + x2 = 2 A cos t  cos  ωt +t.2  2 Пренебрегая в выражении для фазы второго сомножителя величиной ∆ω по сравнению с ω, получаем:1й курс. 2й семестр. Лекция 511 ∆ω xΣ = 2 A cos t  cos ( ωt + θ ) . 2 ∆ω  ∆ω t  > 0 , то θ = 0 , но если cos t  < 0 то θ = π . 2  2 Если cos Таким образом, при сложении колебаний близких частот возникает перио-x∑t0дическое изменение амплитуды и скачкообразное изменение фазы результирующего колебания – явление, которое называется биением.Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебанийравных и кратных частотРассмотрим траекторию точки, совершающей колебания одновременно подвум взаимно перпендикулярным направлениямx = Ax sin ( ωx t ) , y = Ay sin ( ω y t + ϕ ) .1) Пусть частоты колебаний одинаковые ωx = ω y := ω .Получим уравнение траекторииyx= sin ( ωt ) ,= sin ( ωt + ϕ ) = sin ( ωt ) cos ϕ + cos ( ωt ) sin ϕAxAy2 x yx=cos ϕ + 1 −   sin ϕ ,Ay Ax Ax 2 y   x   2x− cos ϕ  = 1 −    sin ϕA y Ax   Ax  21й курс.

2й семестр. Лекция 5 y Ay2122 x x ycos ϕ +   = sin 2 ϕ . − 2Ax Ay Ax Это уравнение линии второго порядка на плоскости.Если ϕ = 0 то получаем отрезок прямой.πЕсли ϕ= ± , то получаем эллипс2 y Ay22  x  +   = 1 .  Ax 2) Фигуры для некоторых других соотношений частот и разности фаз показаны нарисунках.ωx=ωyϕ=π/2Yωx=ωyϕ=0Ay0-AxAxX2ωx=ωy, ϕ=π/200AxX-Ay3ωx=ωy, ϕ=π/2YAy-AxAy-Ax-AyYYAyAxX0-AxAxX-Ay-AyСоотношение частот колебаний по фигуре можно определить из равенстваωx ny= ,ω y nxгде n – количество пересечений фигуры и прямой, параллельной соответствующей оси.1й курс. 2й семестр.

Лекция 513Траектория точки, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, при рациональном отношении частот колебаний называетсяфигурой Лиссажу. Условие рационального частот отношения означает, что отношение частот можно записать в виде рационального числа. В этом случае траектория является замкнутой. Если отношение частот не является рациональнымчислом, то траектория - незамкнутая линия..