5 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 51Лекция 5. «Колебания»Гармонические колебания. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления равных и близких частот. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот. Свободные незатухающие колебания. Энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазоваятраектория. Физический маятник. Квазиупругая сила.Положение равновесия и квазиупругая сила.Рассмотрим одномерное движение тела под действием консервативной силы вдоль оси X. Для потенциальной энергии тела вблизи некоторой точки x0 можно записать выражениеdWW ( x ) = W0 +dx1 d 2W⋅ ( x − x0 ) +2 dx 2x0⋅ ( x − x0 ) + ...2x0Потенциальная энергия и вектор консервативной силы связаны соотношениемF = − gradWоткуда для проекции силы на ось X Fx = −Fx = − dW∂W= − dx∂xdW, т.е.dx+x0d 2Wdx 2⋅ ( x − x0 ) + ... .x0Далее будем предполагать, что точка x0 является положением равновесия, поэтому должно выполняться условие Fx = −WdWdx= 0 , тогда дляx0изменения потенциальной энергии вблизи точки x0∆W = W ( x ) − W0 ≈W0Fx0U(x0)FX1 d 2W2 dx 2⋅ ( x − x0 )2x0d 2Wи для проекции силы Fx ≈ − 2dx⋅ ( x − x0 ) .x0Рассмотрим случай, когда в точке x0 наблюдается ло-кальный минимум потенциальной энергии.

Тогдаd 2W> 0 и существует некотораяdx 21й курс. 2й семестр. Лекция 52окрестность точки U(x0), для которой выполняется W ( x ) > W0 и Fx > 0 при x < x0 ,Fx < 0 при x > x0 , то есть в этой окрестности вектор силы, действующей на тело,будет направлен к точке x0. А это значит, что при малых смещения тела из положения равновесия, сила будет стремиться вернуть тело обратно. Такое положениеравновесия называется устойчивым.Положение равновесия называется неустойчивым, если при малом отклонении от этого положения возникает сила, стремящаяся увести тело от положенияравновесия. Очевидно, в этом случае в точке наблюдается локальный максимумпотенциальной энергииВ случае, когдаd 2W<0.dx 2d 2W= 0 требуется дополнительное исследование.

Итак, выражеdx 2ние для консервативной силы вблизи положения устойчивого равновесия можнозаписать в векторной форме F = −k0 ∆x , а величину потенциальной энергииW= d 2W 1k0 ∆x 2 + const, где k0 =  2  . Такая форма записи для консервативной си2 dx  x = x0лы вблизи точки равновесия называется квазиупругой силой.Запишем второй закон Ньютона для тела, движущегося под действием квазиупругой силы вблизи точки устойчивого положения равновесияmax = Fx , где Fx = − k0 ( x − x0 ) .Введем ось Х так, чтобы x0 = 0 , тогда уравнение движения примет вид max = −k0 x .С учетом зависимости ax = ɺɺx это уравнение примет вид mxɺɺ = −k0 x илиɺɺx + ω0 2 x = 0где ω0 2 =k0> 0 .

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второгоmпорядка.Решением этого уравнения являются гармонические функциями от времени tx = Acos ( ω0t + α ) или x = A sin ( ω0t + β ) ,описывающие смещение от равновесного значения x0 = 0 .1й курс. 2й семестр. Лекция 53Замечание. Обе формы записи равноправны. Например, одна переходит в другуюπ2при β = α + .Так как гармонические функции синус и конус имеют минимальный период2π, то параметры процесса будут повторяться через минимальный промежутоквремени Т, называемый периодом колебаний: T =Учитывая, что величина ν =2π.ω01называется частотой колебаний (единицаTизмерения Гц - Герц), то величину ω0 =2π= 2πν называют круговой или цикличеTской частотой колебаний (единица измерения с-1.)Величина А – амплитуда колебаний - это модуль максимального смещения.По определению A>0 – всегда положительная величина.

Аргумент гармоническойфункции ( ωt + α ) называется фазой колебания, а величина α называется начальнойфазой колебаний - это фаза колебаний в момент времени t=0, который обычно называют начальным моментом времени.Таким образом, уравнениеɺɺx + ω0 2 x = 0описывает колебательный процесс, параметры которого изменяются периодически с течением времени. В этом колебательном процессе с течением времени сохраняется величина механической энергии WМЕХmxɺ 2 k0 x 2=+= const . Дейст22вительно:dWМЕХ d  mxɺ 2 k0 x 2 xɺx= +x + 2k0 xɺ = mxɺ ( ɺɺx + ω0 2 x ) = 0 . = 2m ɺɺdtdt  22 22Этот колебательный процесс принято называть свободными незатухающими колебаниями.1й курс.

2й семестр. Лекция 54Свободные незатухающие колебания.Колебания – движения или состояния, параметры которых повторяются вовремени. Колебания в той или иной мере встречаются во всех явлениях природы:от пульсации излучения звезд, движения планет до внутриклеточных процессовили колебаний атомов и молекул, колебаний полей.В физике особо выделяют механические и электромагнитные колебания (иих комбинации).Моделью для изучения механических колебаний является осциллятор – материальная точка или система, совершающая колебательное периодическое движение около положения устойчивого равновесия.

(Более того, термин осцилляторприменим к любой системе, если описывающие ее величины периодически меняются во времени.) Простейшие примеры осцилляторов – грузик на пружине, маятник.Пример. Груз массы m на невесомой пружине жестxкости k движется по гладкой горизонтальной поверхности (пружинный маятник).

Найти период егоколебаний. Сопротивлением воздуха пренебречь.Решение. Запишем уравнение его движения в проекции на горизонтальное направление Xma = -FУПР = -k ⋅ x или a = -kx.mkгде x – величина растяжения пружины. Т.к. a = ɺxɺ , то получаем уравнение ɺɺx = − x .mЗдесь ω0 2 =k2πmи период колебаний T = = 2π.mω0kМеханическая энергия груза на пружине WМЕХ =mxɺ 2 kx 2+.♣22Пример. Найдем период колебаний математического маятника - материальной точки массы m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длины l.1й курс. 2й семестр.

Лекция 55Решение. Рассмотрим движение маятника в тот момент, когда он поднимается.Отклонение нити от вертикали зададим угловой координатой ϕ. При этом еслиугол ϕ увеличивается (против часовой стрелки), то касательное ускорение точкинаправлено против направления движения.

Поэтому уравнение движения имеетвид:maτ = −mg ⋅ sinϕ .Вблизи положения равновесия проекция сила тяжести должнаdбыть представлена как квазиупругая сила. Если выполняется ус-Zловие малости колебаний, то sin ϕ ≈ ϕ , поэтому длина дуги окружности x = lϕ , следовательно, проекция силы тяжестиϕmϕmgmg ⋅ sinϕ ≈mgmg⋅ lϕ =⋅ x . Поэтому коэффициент в выражении дляllквазиупругой силы k0 =mg.

Касательное ускорение связано с угlɺɺ ), поэтому,ловым ускорением соотношением aτ = ε ⋅ l (где ε = ϕglɺɺ + ⋅ ϕ = 0 .после сокращения массы m получим: ϕС учетом выражения для циклической частоты ω =вид T = 2πgпериод колебаний имеетll. Механическая энергия математического маятникаgWМЕХ =mxɺ 2 k0 x 2 mxɺ 2 mg x 2+=+.222l 2При движении по окружности x = lϕ , xɺ = lϕɺ , поэтомуWМЕХ =ml 2 ϕɺ 2 mg l 2 ϕ2 ml 2 ϕɺ 2 mgl ϕ2+=+.2l 222Уравнение колебаний для математического маятника можно вывести,используя уравнение динамики вращательного движения.Проведем ось Z через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаниймаятника, тогда момент инерции материальной точки относительно оси Z:I z = ml 2 , момент импульса точки L = I z ϕɺ направлен вдоль оси Z, а момент силы тя-1й курс. 2й семестр. Лекция 56жести M z = −mgl sin ϕ ≈ −mglϕ (плечо силы тяжести относительно оси d = l sin ϕ ≈ lϕ )направлен против оси Z.Закон вращательного движения точки вокруг оси Z:dLz= M z илиdtɺɺ = − mgl ϕ .♣ml 2 ϕПример.

Найдем период колебаний физического маятника - тела массы m, которое может совершать колебанияzпод действием силы тяжести (инерции) вокруг горизонϕтальной оси, не проходящей через центр масс тела. СопроСmgтивлением воздуха пренебрегаем.Решение. Проведем из центра масс тела C перпендикулярк оси вращения z. Пусть длина этого перпендикуляра равна l.Положение тела зададим углом отклонения от вертикали этого перпендикуляра ϕ.При этом если угол ϕ увеличивается (тело поворачивается против часовой стрелки), то вектор момента импульса L направлен вдоль горизонтальной оси z на нас.Момент внешней силы тяжести относительно оси z направлен от нас.