4 (Лекции в PDF), страница 3

ТогдаКОННАЧКОННАЧWМЕХ− WМЕХ= AНЕКОНС = 0 , т.е. WМЕХ= WМЕХили mgH =v=4gH .3mv 2 I z ω23+. Откуда mgH = mv 2 ,2241й курс. 2й семестр. Лекция 410Пример. Рассмотрим удар двух тел. Под ударом подразумевается кратковременное взаимодействие тел.

Если соударяются два тела конечной массы, то выполняется закон сохранения вектора импульса.Удары можно подразделить на упругие и неупругие. При упругом (абсолютно упругом) ударе сохраняется суммарная кинетическая энергия тел. При неупругом, соответственно, не сохраняется. При абсолютно неупругом ударе теласлипаются и далее движутся вместе.По характеру взаимодействия удар можно описать как центральный и нецентральный.

При центральном ударе силы взаимодействия направлены вдольлинии, проходящей через центры масс тел. После центрального удара у тел, двигавшихся до удара только поступательно, не будет вращательного движения вокруг центра масс.По виду движения тел можно ввести прямой и непрямой удары. При прямом ударе существует такая система отсчета, в которой сила взаимодействия направлена вдоль относительной скорости движения тел. В такой системе отсчетапри прямом ударе тела до и после удара будут двигаться вдоль одной прямой линии.Пример. Тело массой m1 , движущееся со скоростью V налетает на неподвижное тело и после упругого центрального соударения отскакивает от него по углом 900 к первонаp2чальному направлению своего движения со скороp1стью V/2.

Определить массу неподвижного тела.Решение. Перейдем в систему отсчета, в которойплоскость движения совпадает с плоскостью XYсистемы отсчета. Так как удар упругий, то сохраp0няется импульс и механическая энергия. Закон сохранения импульса: p0 = p1 + p2 , где p0 – начальный импульс налетающего тела, p1 –конечный импульс налетавшего тела, p2 – конечный импульс тела, масса которогонеизвестна.Из рисунка видно, что векторы импульса образуют прямоугольный треугольник.Поэтому по теореме Пифагора: p 22 = p02 + p12 или m 22 V22 = m12 V 2 + m12 V12 .m1V 2 m1V12 m 2 V2 2=+.222 m 22 V22 = m12 V 2 + m12 V12Получили систему уравнений  m1V 2 m1V12 m 2 V2 2=+ 2222Второе уравнение умножим на 2m2: m1m 2 ( V - V12 ) = m 2 2 V2 2 и в правую часть под-Закон сохранения энергии:ставим первое уравнение: m1m 2 ( V 2 - V12 ) = m12 V 2 + m12 V12 .Отсюда m 2 =m1 ( V 2 + V12 )V 2 - V12или с учетом заданных значений скоростей:1й курс.

2й семестр. Лекция 411V2 m1  V 2 +4  5m2 == m1 . ♣232 VV 4Пример. Два шарика одинакового размера с массами m1 и m2 движутся со скоростями V1 и V2 вдоль одной прямой и упруго соударяются. Найти скорости шариков после удара.Решение. Поскольку удар, очевидно, является центральным и прямым, шарикипосле удара будут двигаться вдоль той же прямой. Запишем закон сохраненияимпульса в проекции на эту прямую:m1V1 + m 2 V2 = m1U1 + m 2 U 2 .Закон сохранения энергии:m1V12 m1V22 m1U12 m1U 22+=+.2222В итоге, получаем систему уравнений: m1V1 + m 2 V2 = m1U1 + m 2 U 22222 m1V1 + m 2 V2 = m1U1 + m 2 U 2 .Если первое уравнение переписать в виде: m1 ( V1 - U1 ) = m 2 ( U 2 - V2 ) ,а второе уравнение переписать в виде:m1 ( V12 - U12 ) = m 2 ( U 22 - V22 ) или m1 ( V1 - U1 ) ( V1 + U1 ) = m 2 ( U 2 - V2 ) ( U 2 + V2 ) ,то с учетом первого уравнения получаем: V1 + U1 = U 2 + V2 .Тогда U1 = U 2 + V2 - V1 , поэтому, подставив это выражение в первое уравнение, получаем:m1 ( 2V1 - U 2 - V2 ) = m 2 ( U 2 - V2 )Откуда: U 2 =2m1V1 + ( m 2 - m1 ) V2( m 2 + m1 )и U1 =2m 2 V2 + ( m1 - m 2 ) V1( m 2 + m1 ).♣Выводы из решения данной задачи.1) Пусть шары имеют одинаковые массы m1=m2 .

Тогда скорости U2=V1, U1=V2,т.е. шарики обмениваются скоростями после удара.2) Пусть масса второго шарика много больше массы первого шарика m2>>m1 .Тогда U2=V2, U1 = 2V2 - V1 . Таким образом, второй шарик не изменит своей скорости после удара. ♣Пример. На покоящуюся гладкую стенку под углом α к нормали со скоростью Vналетает шарик и упруго ударяется о стенку. НайтиXскорость шарика после удара.UVРешение.

Так как масса стенки много больше массы шарика, то, как видно из результатов решения предыдущейβзадачи, скорость стенки не изменится.YЗапишем закон сохранения энергии:αVmV 2 mU 2=или V 2 = U 222(энергию стенки не учитываем, так как она покоится). Т.е.1й курс. 2й семестр. Лекция 412скорость шарика сохраняется по величине.Стенка гладкая – сила трения отсутствует, поэтому импульс шарика вдоль оси Хсохраняется:mV ⋅ sinα = mU ⋅ sinβ .Следовательно, угол падения равен углу отражения: α=β.При упругом ударе о неподвижную стенку составляющая скорости, параллельнаястенке не изменяется, а составляющая скорости, перпендикулярная стенке изменяет свое направление на обратное.

Угол падения равен углу отражения.♣.