2 (Лекции в PDF), страница 2

Требование инерциальности системы отсчета весьма существенно. Первый закон выделяет инерциальные системы отсчета как такие системы, в61й курс. 2й семестр. Лекция 2которых материальная точка, на которую не действуют внешние силы, движетсябез ускорения. При переходе от одной системы отсчета к другой, ускорение преобразуется по правилу a1 = a2 + a21 (см. выше), и если новая система движется относительно старой без ускорения a21 = 0 , то ускорения точки в этих системах отсчёта одинаковые.

Поэтому во всех инерциальных системах отсчета второй законНьютона выглядит одинаково: ma1 = ma2 = ∑ F (т.к. векторы сил не меняются присмене системы отсчёта).Это равенство законов Ньютона в разных инерциальных системах отсчётавыражает собой принцип относительности Галилея для классической механики.3-Й ЗАКОН НЬЮТОНА.Формулировка закона. Две материальные точки действуют друг на друга с силамиодинаковыми по величине, природе этих сил, и противоположными по направлению:F12 = -F21F21F12Эти силы приложены к разным телам и лежатна одной прямой, проходящей через точки.Три закона Ньютона дают рецепт для решения задач динамики.Шаг 1.

Выбираем инерциальную систему отсчета.Шаг 2. Используя третий закон Ньютона, расставляем силы, действующие на материальную точку.Шаг 3. Вводим систему координат. Находим векторную сумму этих сил либо явно, либо в проекциях на оси системы координат. Применяя второй закон Ньютоналибо в векторной форме m ⋅ a = F , либо в проекциях maX = ∑ FX maY = ∑ FY maZ = ∑ FZНаходим ускорение точки. (Как правило, систему координат надо вводить такимобразом, чтобы можно было проще решить систему уравнений для нахожденияпроекций ускорения.)Шаг 4. По найденному ускорению определяем параметры движения, используякинематические соотношения.НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.При движении материальной точки относительно инерциальной системывторой закон Ньютона имеет вид:ma = ∑ F ,где a - ускорение тела относительно инерциальной системы. Формально второйзакон Ньютона связывает вектор ускорения в данной системе отсчета и векторсуммы всех сил, действующих на тело.1й курс.

2й семестр. Лекция 27Рассмотрим систему отсчета, которая движется относительно некоторойинерциальной системы с ускорением aC , и следовательно, она уже не являетсяинерциальной. Тогда ускорение тела в неинерциальной системе можно найти какразность ускорений a1 = a − aC или a = aC + a1 . Подставим это выражение в уравнение второго закона относительно инерциальной системы m ( aC + a1 ) = ∑ F . Еслипоследнее равенство переписать в видеma1 = ∑ F − maC ,то это выражение ФОРМАЛЬНО совпадает со вторым законом Ньютона, т.к. оносвязывает ускорение точки в системе отсчёта с некоторой суммой векторов,имеющей размерность силы. Только в правой части векторного равенства появилось дополнительное слагаемое FИН = -maC , которое называется силой инерции.Знак минус показывает, что вектор этой силы направлен против вектора ускорения системы отсчета.

Это фиктивная сила, в том смысле, что нет тел, которыесоздают эту силу и она пропадает при переходе к инерциальной системе отсчета.Иногда говорят, что инерциальные системы отсчета – это такие системы, в которых силы инерции равны нулю. (По современным представлениям силы инерциисоздаются всеми телами в нашей Вселенной.)ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК.Во многих задачах тело нельзя рассматривать как материальную точку, поэтому приходится рассматривать его как систему материальных точек, взаимодействующих друг с другом и с другими телами. При описании движения такойсистемы, состоящей, например, из N точек, необходимо описать движение каждойточки с учетом всех сил, действующих на нее.

Так как для любой точки имеетсятри уравнения движения (вдоль каждой из осей декартовой системы координат),то общее количество уравнений равно 3N. При увеличении числа N трудоемкостьописания движения возрастает многократно. При этом необходимо учитыватьтакже силы, действующие между точками системы (такие силы называют внутренними). Иногда такие силы даже нельзя точно описать. Также на точки системыдействуют силы со стороны тел, не входящих в систему (такие силы принято называть внешними). Все это в совокупности приводит к значительному увеличениютрудоёмкости описания движения.Кроме того, существуют объективные ограничения на возможность (аналитического) моделирования движения системы тел – например, задача описаниядвижения трех (всего-то!) тел уже не может быть решена в общем виде!Поэтому для моделирования движения системы весьма полезным являетсяпонятие центра масс.

Оказывается, что для каждой системы точек существуетособая точка, ускорение которой определяется только внешними силами – этаточка называется центром масс системы.Центр масс.Рассмотрим, для простоты, систему из двух материальных точек. Запишемуравнения движения для каждой из них (второй закон Ньютона)1й курс. 2й семестр. Лекция 28 m1a1 = F1 m 2 a2 = F2Силы, действующие на точку можно разделить на две группы:1. силы, действующие со стороны другой точки (их называют внутренними поотношению к системе)2.

силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему (их называютвнешними). m1a1 = F1ВНЕШ + F1ВНУТРВНЕШ+ F2 ВНУТР m 2 a2 = F2Теперь сложим эти уравнения. Тогда внутренние силы, по третьему закону Ньютона, взаимно компенсируются, останутся только внешние. Векторную суммувнешних сил обозначим как FВНЕШ . В итоге, получаем:m1a1 + m 2 a2 = FВНЕШ .Введем новый радиус-вектор, который называется радиус-вектором центра масссистемы:RC =m1R1 + m 2 R 2.m1 + m 2Этот радиус-вектор определяет некоторую точку, которая называется центром масс системы. Здесь m1, m2 – массы точек системы, R1 , R 2 - их радиусвекторы. В знаменателе этого выражения стоит суммарная масса всех точек системы – ее называют массой системыmC =m1 + m2.Продифференцируем по времени (помним, что производная от радиус-вектора повремени равна вектору скорости) и получим вектор скорости центра масс:m1V1 + m 2 V2,mCm a + m 2 a2и, аналогично, ускорение центра масс: aC = 1 1.mCVC =Поэтому уравнение движения системы точек будет иметь вид:m1a1 + m 2 a2 = m С aС = FВНЕШ или aС =FВНЕШmСЦентр масс системы (тела) – это точка, масса которой равна массе всей системы(тела), а вектор ускорения (в инерциальной системе отсчета) определяется тольковнешними силами, действующими на систему (тело).

Поэтому при нахождениизакона движения системы точек можно считать, что вектор равнодействующейвнешних сил приложен к центру масс системы (тела).Следствия∑m Ri1) Радиус-вектор центра масс системы точек RC =∫ RdmRC =mm.imi. Для сплошного тела1й курс. 2й семестр. Лекция 29∑ mV∫ Vdmi i2) Скорость центра масс VC =. Для сплошного тела VC = mimС∑ma∫ admi i3) Ускорение центра масс aC =imС.m. Для сплошного тела aC = mm.4) Правила для нахождения центра масс системы.• Если у системы (тела) есть ось симметрии, то центр масс находится на этойоси.

Если осей симметрии несколько, то центр масс лежит на их пересечении. При этом центр масс тела может не принадлежать телу как точка (пример - кольцо).• Если систему разбить на части, для каждой из них найти центр масс, тоцентр масс системы можно найти по центрам масс частей.5) Вектор импульса центра масс pC = ∑ pi = ∑ mi Vi равен суммарному импульсуiiточек системы. Поэтому pC′ ( t ) = ∑ p′i ( t ) = ∑ mi Vi′ ( t ) = ∑ mi ai = mC aC = F ВНЕШ , т.е.iip′C (t) = FiВНЕШПроизводная от импульса центра масс системы (тела) равна векторной суммевнешних сил действующих на все точки системы (тела) в инерциальной системеотсчета.ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.Запишем второй закон Ньютона в импульсном виде (для инерциальной системыотсчета):p′C (t) = F ВНЕШ .Это векторное равенство. В трехмерном пространстве - это три уравнения дляпроекций на оси декартовой системы координат p′СX (t) = FX ВНЕШВНЕШ p′СY (t) = FY p′ (t) = F ВНЕШZ СZ1. Рассмотрим случай, когда на систему вообще не действуют внешние силы, (такая система называется замкнутой) или равнодействующая внешних сил равнанулю FВНЕШ = 0 .Это означает, что производная от вектора импульса системы равна нулю p′С (t) = 0 .Поэтому вектор суммарного импульса (замкнутой) системы остается постоянным.pС = m1v1 + ...