16 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 161Лекция 16.Термодинамические потоки. Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность и вязкость. Эффузия в разреженном газе. Физический вакуум. Броуновское движение. Производство энтропии в необратимых процессах.Явления переносаТермодинамические потоки, связанные с переносом вещества, энергии или импульса изодной части среды в другую возникают в случае, когда значения тех или иных физических параметров отличаются в разных точках объёма среды, т.е. когда система находится в неравновесном состоянии.

В результате чего система стремится к равновесию.При кинетическом описании потоков исследуются зависимости от времени статистических характеристик или функций распределения, описывающих движение частиц. Полученныефункции используются для нахождения локальных значений параметров среды и термодинамических потоков.При гидродинамическом описании рассматривается поток некоторой физической величины F, численно равный количеству этой физической величины, переносимой за 1 сек черезвыбранную поверхность. Для этого вводят понятие вектор плотности термодинамического потока физической величины jF .При описании термодинамических потоков предполагается, что в среде не происходитмакроскопического перемешивания, а перенос рассматриваемых величин осуществляется только благодаря хаотическому движению микрочастиц среды.

Т.е. физические параметры переносятся микрочастицами.Хотя каждая микрочастица и движется хаотически, но для неё можно выделить некоторый малый объём, в пределах которого физические величины в данный момент времени являются постоянными. Т.к. параметры каждой частицы могут измениться только при столкновениях, то в системе есть естественный пространственный размер - λ длина свободного пробега молекул. Поэтому в качестве малого объема следует принять λ3. Соответственно, все физическиевеличины следует рассматривать усредненными по времени движения частицы в пределах этого объема, а все протекающие процессы должны характеризоваться временем, большим, чемвремя усреднения.Поток количества частиц.Рассмотрим частицы, которые движутся прямолинейно вдоль оси Х со скоростью vх.

Всечастицы, которые пройдут через перпендикулярную площадку S⊥ за время ∆t,S⊥окажутся в области, объём которой V = S ⊥ ⋅ vx ⋅ ∆t . Если концентрация частицравна n, то количество частиц, попавших в этот объём равноN = n ⋅ V = n ⋅ S ⊥ ⋅ vx ⋅ ∆t .ХПотому величина плотности потока частиц вдоль оси Х определяется какNjx == n ⋅ vx .S ⊥ ⋅ ∆tТак как микрочастицы совершают хаотическое тепловое движение, то вероятность движения частицы в любом направлении должна быть одинаковой.

Но вдоль каждой из 3х координатных осей возможны движения в двух направлениях – «туда-и-обратно», поэтому величину1скорости для одного направления можно оценить как vx = v , где v - средняя скорость теп6лового движения. Тогда для плотности потока числа частиц вдоль любого направления1j = v n.61й курс. 2й семестр. Лекция 162Поток физической величины.Пусть рассматриваемая физическая величина, переносимая частицами, описывается некоторой функцией F, непрерывно-дифференцируемой воj′Ωj′′Ωвсём пространстве.XТак как частицы среды движутся хаотически, топоток физической величины определяется векторнойxx−λx+λсуммой потоков этой величины в разных направлениях.Рассмотрим поток вдоль некоторой оси Х. Плотность потока величины в поперечномсечении с координатой x определяется суммой двух встречных потоков jF = jF′ − jF′′ .

Так каквеличина F переносится молекулами, то с учётом усреднения по длине свободного пробега λjF′ = j ⋅ F x −λ и jF′′ = j ⋅ F x +λно j =1v ⋅n, F6x ±λjF = j ⋅  F≈Fx±x −λ−FdF⋅ λ , откудаdx xx +λ1dFdF 1dF = v n ⋅  F x −⋅λ − F x −λ = − v ⋅ n ⋅⋅λ ,6dx xdx x 3dx xт.е.1dFv nλ.3dx xСоответственно, поток величины F через площадку S перпендикулярную оси X J F = jF ⋅ S :jF = −1dFv n⋅Sλ.3dx xЗнак минус показывается, что поток направлен в сторону уменьшения величины F (как принятоговорить – «против градиента величины F»).Примеры процессов переноса.1) Диффузия – это процесс самопроизвольного выравнивания концентраций веществ в смесях.Например, в смеси двух газов условие отсутствия перемешивания состоит в том, что суммарноедавление постоянно.

По закону Дальтона p = p1 + p2 = n1kT + n2 kT = const , поэтому для концентрации n = n1 + n2 = const . Введем физическую величину – относительную концентрацию молеnкул одного из газов F1 = 1 , тогда для плотности потока концентрацииndn1d n 1jn1 = − v1 n ⋅ λ1  1  = − v1 λ1 1 .3dx  n 3dxdndn1Или jn1 = − D1 1 , J n1 = − D1S 1 где D1 = v1 λ1 - коэффициент диффузии. Если m1 – массаdxdx3молекулы, то плотность газа ρ1 = m1n1 , поэтому для потока плотности получается уравнениеdρJ ρ1 = − D1S 1dxкоторое называется первым законом Фика.2) Теплопроводность – процесс выравнивания температуры в различных точках среды. Молекулы газа, находясь в постоянном хаотическом движении, при упругих соударениях обмениваются кинетической энергией поступательного движения, что приводит к выравниванию темпе3ратуры.

Введем физическую величину F = kT - энергия теплового движения центра масс мо2лекулы, тогда получаем уравнение13 dTjQ = − v n k λ32dxJF = −1й курс. 2й семестр. Лекция 163N3m νCV3νN A 3ν31dTk=k=R=но n k == ρ ⋅ CУД _V , поэтому jQ = − v ρ ⋅ CУД _V λ.2V 2V 2V 2V m3dx1Если ввести обозначение v ρ ⋅ CУД _V λ = æ - коэффициент теплопроводности, то плотность3dTdTпотока теплоты можно записать в виде jQ = −æ, а поток теплоты J Q = −æS.dxdx3) Вязкость (внутреннее трение) приводит к появлению силы сопротивления при движении тела в жидкоXFТРu(x)uсти или газе.

Вязкость вызвана переносом импульсаSмолекулами (при их хаотическом движении) междуhслоями газа (жидкости), скорость которых неодинакова. В частности, это можно наблюдать в следующемYопыте. Пусть две одинаковые тонкие достаточно длинные пластинки расположены в газе параллельно другдругу на расстоянии h. Если одна из них движется относительно другой с небольшой по величине скоростью u, то на каждую из пластин будет действовать сила трения, величина которойuFТР = ηS .hПараметр η называется коэффициентом вязкости.Для вывода уравнения вязкости, надо рассмотреть поток газа вдоль горизонтальной осиY, скорость которого меняется в поперечном направлении X.

Молекулы в газе движутся хаотически, но у каждой из них можно выделить некоторую среднюю скорость, равную скорости газаu. В качестве физической величины F рассмотрим импульс молекул газа F = m ⋅ u . Тогда1du1duплотность потока импульса j p = − v n ⋅ m ⋅ λ ⋅= − v ⋅ρ⋅λ ⋅ ,3dx3dx1duпоток импульса равен J p = − v ρλS.3dxdu uС учетом равенства FТР = J p , считая приближенно≈ в случае h>λ, получаем выражениеdx h1для коэффициента вязкости η = v ρλ . Поэтому3duduj p = −η , J p = −ηS.dxdxЗамечание. Между коэффициентами переноса существует зависимостьæ = η⋅ CУД _V = D ⋅ρ ⋅ CУД _V .Явления диффузии, теплопроводности, вязкого трения обусловлены взаимодействиеммолекул в газе и проявляются в случае, когда длина свободного пробега молекул много меньшехарактерных размеров протекающих процессов.При увеличении длины свободного пробега молекул все более значимыми становятсяявления, связанные со свойствами самих молекул, так процессы столкновения играют меньшуюроль.Состояние газа, при котором длина свободного пробега молекул λ сравнима с размерамисосуда L, в котором находится газ, называется вакуумом.

Различают низкий вакуум λ<<L, средний λ∼L и высокий (глубокий) вакуум λ>>L.Замечание. В определении вакуума важен размер сосуда, например, для воздуха в обычных условиях λ ≈ 10−6 м, поэтому в любой микроцарапине или микротрещине газ будет находиться в состоянии среднего вакуума.Эффузия – это явление медленного истечения газа из малого отверстия. Различают эффузию двух видов. В первом случае размер отверстия много меньше длины свободного пробега1й курс. 2й семестр. Лекция 164молекул – эффузия в разреженном газе. Во втором случае давление газа в сосуде настолько велико, что истечение газа достаточно точно описывается уравнениями гидродинамики.Эффузия в разреженном газе.Так как в этом случае длина свободного пробега много большеT2 , p 2размера отверстия, то процессы столкновения молекул играют незначительную роль, поэтому истечение становится молекулярным.Рассмотрим сосуд с газом, в котором есть перегородка с отверстием, меньшим по размеру, чем длина свободного пробега молекул вT1 , p 1сосуде.

Пусть левая часть находится при постоянной температуре Т1, аправая при Т2. Суммарная плотность потока молекул через отверстие111 8kT1 p1 1 8kT2 p22  p1p j = j1 − j2 = v1 n1 − v2 n2 =⋅−⋅=⋅− 2 .666 πm kT1 6 πm kT29πmk  T1T2 Предположим, что в начале процесса давления газа с обеих сторон были одинаковыми,но температуры разными, тогда поток молекул будет направлен в сторону части с большей температурой – это явление носит название тепловая эффузия. p2p ppПри равновесии суммарный поток j =⋅  1 − 2  = 0 , поэтому 1 = 2 .9πmk  T1T2 T1T2Как видно, условие равновесия для разреженного газа не является равенством давлений.12pИз формулы для плотности потока j =⋅следует, что молекулы с большей массой6 9πkm Tв меньшем количестве проходят через отверстие, чем молекулы с меньшей массой.

Таким образом, если в сосуде находится смесь газов, то возможно разделение смеси газов, находящихсяпри одинаковой температуре – изотермическая эффузия.Броуновское движение.Броуновское движение (иногда называют Брауновское движение) – беспорядочное движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием молекулокружающей среды. Исследовано в 1827 г. Броуном (Браун; Brown), который наблюдал в микроскоп движение цветочной пыльцы, взвешенной в воде.Частицы размером около 1 мкм и менее совершают неупорядоченные независимые движения, описывая сложные зигзагообразныетраектории.