15 (Лекции в PDF), страница 2

2й семестр. Лекция 157Экспериментальная проверка распределения МаксвеллаПервым экспериментальным подтверждением распределения молекул по скоростямможно считать результаты опыта Штерна, описанного выше. Но точность этого опыта была не123ϕ465LСхема опыта Ламмерта: 1 –печь; 2 – коллиматор; 3 – узкиещели; 4 – траектория молекул; 5 – детектор; быстро вращающиеся дискиhдостаточной для установления конкретного вида распределения.Прямые измерения скорости атомов ртути в пучке были выполнены в 1929 году Ламмертом. Идея опыта заключалась в следующем.Атомы легкоплавкого металла, разогретого до высокой температуры, вылетали из печи1, проходили коллиматор (направляющие щели) 2 и по траектории 4 попадали на соосные быстровращающиеся диски 6, в которых сделаны щели 3, повернутые на угол ϕ, а затем регистрировались детектором 5.

(В дисках было сделано несколько щелей для увеличения интенсивности). Вся система находилась в вакуумированной камере.Атомы могли пролететь щели в дисках, если величина их скорости попадала в определённый интервал [v0-∆v1, v0+∆v2], где скорость v0, определялась из равенстваL ϕ=v0 ωL - расстояние между вращающимися дисками, а величины2∆v1 , ∆v2 определялись размерами щелей, геометрией пучкаи т .д .1Изменяя угловую скорость вращения дисков ω можно было отбирать из пучка молекулы, имеющие определенную скорость v, и по регистрируемой детектором интенсивности судить об относительном содержании их в пучке.Таким способом удалось экспериментально проверить статистический закон распределения молекул по скоростям.

Позже, когда при создании ядерного оружия возникла необходимость выделения нейтронов с определеннойLкинетической энергией, подобная схема была применена в3 устройстве, названным нейтронным монохроматором, позволяющим получать энергетические спектры нейтронов.Схема опыта Эстермана.Несколько иначе был организован эксперимент по1 – печь; 2 – диафрагма с узкойопределению распределения по скоростям для атомов цещелью; 3 – детектор.зия, выполненный в 1947 году немецким физиком - экспериментатором Иммануэлем Эстерманом совместно с Симпсоном и Штерном.

В эсперименталь-1й курс. 2й семестр. Лекция 158ной установке пучок атомов цезия вылетал через отверстие в печи 1 с некоторой скоростью v ипод действием силы тяжести начинал двигаться по параболе. Атомы, прошедшие через узкующель в диафрагме 2, улавливались детектором 3, который можно было располагать на различных высотах h.

Величина отклонения h пучка в гравитационном поле Земли зависела от скорости атома. В этих опытах отклонение h составляло величину порядка нескольких долей миллиметра при расстоянии L от печи до детектора равном 2 метрам. Перемещая датчик и регистрируя количество атомов цезия, попадающих в детектор за единицу времени, можно было построить зависимость интенсивности пучка от величины h. Последующий пересчет, с учетом известной зависимости высоты h от скорости атома v, давал распределение по скоростям атомовцезия.Все проведенные эксперименты подтвердили справедливость полученного Максвелломраспределения по скоростям для атомных и молекулярных пучков.Распределение Максвелла-Больцмана.Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины ( x, y, z, v x , v y , v z ) , то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этихшести переменных: n f ( x, y,z, v x , v y , v z ) .

Считая пространственные переменные ( x, y,z ) и компоненты скорости ( v x , v y , v z ) статистически независимыми друг от друга, можно записатьфункцию распределения в этом шестимерном пространстве:n f ( x, y,z, v x , v y , v z ) = n ( x, y, z ) ⋅ f ( v x , v y , v z ) .Эта функция называется распределением Максвелла-Больцмана32W +W m  − ПkT Кn f ( x, y,z, v x , v y , v z ) = n0 . e 2πkT Замечание. При получении распределения Максвелла-Больцмана предполагалось, что температура газа не зависит от координаты точки. В частности, температура газа на всех высотах надповерхностью Земли при термодинамическом равновесии должна быть одинаковой.

С этим утверждением связан парадокс, всесторонне рассмотренный Максвеллом. Дело в том, что придвижении вверх молекулы газа должны затрачивать свою кинетическую энергию на преодоление силы тяжести, и поэтому их средняя кинетическая энергия (а, следовательно, и температура) должна уменьшаться. Но этого не происходит вследствие того, что при этом не все молекулы, из-за недостатка их кинетической энергии, смогут преодолеть силу тяжести. Молекулы,имеющие недостаточную кинетическую энергию, не могут подняться высоко, что приведет, всоответствии с распределением Больцмана, к уменьшению их концентрации с высотой. Поэтому температура газа останется неизменной.Функция распределения в случае, когда кинетическая энергия зависит только от скорости v , а потенциальная - только от радиус-вектора r частицы, имеет вид: W ( r ) + WК ( v )  WП ( r ) + WК ( v ) 1f ( r , v ) = exp  − П , где Θ = ∫ ∫ exp  −dVdVv .ΘkTkTVv VЗдесь V - объем, занимаемый системой в координатном пространстве, Vv - соответствующий объем в пространстве скоростей.

Формула позволяет описывать равновесное распределение для достаточно произвольной термодинамической системы.Полученные выше функции распределения описывают случай, когда полная энергиячастицы W принимает непрерывный ряд значений. При статистическом описании системы, частицы которой могут принимать только некоторый дискретный набор значений энергии W1, W2,W3, …, Wm, необходимо использовать вместо функции распределения вероятность P(Wi) нахождения частицы в состоянии со значением энергии Wi: В случае дискретных состояний можнозаписать следующее выражение для этой вероятности P(Wi):m1 W  W P (Wi ) = exp  − i  , где Θ = ∑ exp  − i  .Θ kT  kT i =11й курс. 2й семестр. Лекция 159Эта формула называется распределением Больцмана для дискретных состояний.

Если полноечисло частиц в системе равно N, то количество частиц Ni в состоянии с энергией Wi определяется по формуле: N i = P (Wi ) N .Равновесные флуктуации.Флуктуации – это случайные отклонения какого-либо параметра термодинамическойсистемы от его среднего значения. Флуктуации возникают из-за хаотического теплового движения частиц термодинамической системы. В любой, даже равновесной системе существуютслучайные отклонения от средних значений параметров, которые можно экспериментально наблюдать при долговременных измерениях. Например, флуктуации давления проявляются вброуновском движении малых твёрдых частичек, взвешенных в жидкости.Если среднее значение некоторого параметра x равно <x>, то флуктуация этого параметра определяется как отклонение значения от среднего∆x = x − xОчевидно, что среднее значение флуктуации равно нулю ∆x = x − x = x − x = 0 .Однако средний квадрат уже, вообще говоря, не равен нулю( ∆x )2=(x −x)2= x2 − 2x x + x2= x2 − 2 x x + x2= x2 − x .2Аналогично, для некоторой функции параметра ϕ ( x )( ∆ϕ ( x ) )Величина( ∆ϕ ( x ) )22=(ϕ ( x))2− ϕ( x) .2называется средней квадратичной флуктуации, а( ∆ϕ ( x ) )ϕ( x)2- сред-ней квадратичной относительной флуктуации.Флуктуациям в равновесном состоянии подвержены и внутренняя энергия, и давление, итемпература и т.д.

Для всех термодинамических параметров их относительные флуктуации обратно пропорциональны корню из числа частиц в системе:( ∆x )2β.xNКоэффициент можно принимать за единицу β=1 при оценочных расчетах.Пример. Оценить относительные равновесные флуктуации температуры газового термометра,содержащего один моль газа.=Решение. Для одного моля N = 6 ,022 ⋅1023 моль-1. Тогда( ∆T )T2=1≈ 1, 29 ⋅10−12 . ОчевидNно, это очень малая величина.Статистическое обоснование второго начала термодинамики.Для равновесных систем вероятность возникновения флуктуации обратно пропорциональна её величине – чем больше величина отклонения, тем меньше вероятность её возникновения. Например, вероятность того, что все молекулы газа соберутся в одной части сосудаочень мала, т.е. процесс самопроизвольного перехода в неравновесное состояние маловероятен,что согласуется со вторым началом термодинамики.

Всякий самопроизвольный необратимыйпроцесс переводящий систему из неравновесного состояния в равновесное с гораздо большейвероятностью протекает в природе, чем обратный ему процесс. Необратимыми являются тепроцессы, вероятность протекания которых в прямом направлении выше, чем в обратном. Это1й курс.

2й семестр. Лекция 1510приводит к возникновению в природе преимущественного направления протекания термодинамических процессов. Термодинамической величиной, характеризующей направление протекания процесса, является энтропия.Пусть в сосуде, объем которого V0 находится одна молекула. Тогда вероятность того,Vчто она будет находиться в части сосуда, объём которой V, равна p (V ) = . Если молекул две,V02NV V то p (V ) =   , а если их число равно N, то p (V ) =   . Поэтому отношение вероятностей V0  V0 p (V2 )NV для разных объёмов равно= 2  .p (V1 )  V1 С другой стороны, рассмотрим изотермическое расширение идеального газа от объёмаV1 до объёма V2.

В этом случае dU=0, поэтому δQ=δA=νRT⋅dV. Следовательно,V2V δQ 2dVS 2 − S1 = ∫= ∫ νR= νR ln  2  .TV V1 1V1 p (V2 ) V NОднако, νR =R = Nk , поэтому S2 − S1 = k ln  2  = k ln  .NA V1  p (V1 ) Из этой формулы следует, что энтропия состояния пропорциональна вероятности того, что система придет в это состояние.Статистическим весом G макроскопического состояния называется величина, численноравная количеству равновесных микросостояний, с помощью которых может быть реализованорассматриваемое макросостояние. Статистический вес пропорционален вероятности G ∼ p. Если система состоит из N частиц, каждая из которых может находится в одном из К дискретныхN!состояниях, то статистический вес системы равен G =, а соответствующая вероN1 ! N 2 ! ...N 2 !KN!ятность p =K − N , где Ni – число частиц в состоянии с номером i, и ∑ N i = N .N1 ! N 2 ! ...N 2 !i =1Данное рассуждение может служить обоснованием для формулы Больцмана, связывающей энтропию со статистическим весомS = k ln G .Замечание.

Для статистической энтропии также выполняется закон аддитивности - если систему разбить на две невзаимодействующие между собой части, то G = G1 ⋅ G2 иNS = k ln G = k ln G1 + k ln G2 = S1 + S 2 .Замечание. С законом возрастания энтропии связана «тепловая смерть» Вселенной, т.е. состояние с максимальной энтропией и максимальным статистическим весом. Но в такой системедолжны происходить флуктуации. Сегодняшнее состояние Вселенной является такой флуктуацией..