13 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 131Лекция 13.Тепловые и холодильные машины. Второе начало термодинамики. Цикл Карно. Теорема Карно.Термодинамическая шкала температур. Неравенство Клаузиуса. Термодинамическая энтропия. Закон возрастания энтропии. Третье начало термодинамики.Тепловые машины или тепловые двигатели, предназначены для получения полезной работы за счет теплоты, выделяемой вследствие химических реакций (сгорания топлива), ядерныхпревращений или по другим причинам. Для функционирования тепловой машины обязательнонеобходимы следующие составляющие: нагреватель, холодильник и рабочее тело.НагревательДвигательПодводимоетеплоХолодильникОтводимоетеплоХолодильником может являться, например, окружающая среда.В дальнейшем будет применяться понятие термостата, под которым подразумеваетсятело, находящееся при постоянной температуре и обладающее бесконечной теплоёмкостью –любые процессы получения или отдачи теплоты не меняют температуру этого тела.Циклический (круговой) термодинамический процесс.Рассмотрим циклический процесс, в котором нагреватель передает рабочему телу теплоту QН.

Рабочее тело совершает работу и затем отдает теплоQНхолодильнику Q′Х.Замечание.Наличие штриха означает. что берется абсолютноеpзначение указанной величины, т.е. Q′Х = QХ .AТакой круговой процесс называется прямым. В прямомпроцессе теплота забирается у более нагретого тела и послеQ′Хсовершения работы системой над внешними телами остатоктеплоты отдается менее нагретому телу. Тепловые машиныVработают по прямому циклу.Процесс, в котором теплота забирается у менее нагретого тела и отдается более нагретому телу в результате совершения работы над системой внешними телами, называется обратным.

По обратному циклу работают холодильные машины.Теплота, полученная системой, считается положительной QН>0, а отданная – отрицательной QХ.<0. Если Q′Х >0 – теплота полученная холодильником, то можно записатьQ′Х.= − QХ. = QХВнутренняя энергия – это функция состояния, поэтому при круговом (циклическом)процессе, когда система возвращается в исходное состояние, внутренняя энергия не изменяется.Из первого начала термодинамики следуетQЦИКЛ = ∆U ЦИКЛ + AЦИКЛ .Но так как ∆U ЦИКЛ = 0 , то′QЦИКЛ = QПОЛУЧ + QОТД = QПОЛУЧ − QОТДтак как QПОЛУЧ > 0 , QОТД < 0 .Коэффициент полезного действия (термический КПД) прямого цикла′AQ+ QОТД QПОЛУЧ − QОТДQQ′η = ЦИКЛ = ПОЛУЧ== 1 + ОТД = 1 − ОТДQПОЛУЧQПОЛУЧQПОЛУЧQПОЛУЧQПОЛУЧопределяется для циклических (повторяемых) процессов.

(Для нециклического процесса подобное отношение называется полезным выходом.)Замечание. Передача теплоты холодильнику является обязательной для циклическогопроцесса. Иначе рабочее тело придет в тепловое равновесие с нагревателем и передача теплоты1й курс. 2й семестр. Лекция 132от нагревателя будет невозможной. Поэтому КПД любой тепловой машины всегда меньше единицыQОТДη = 1−< 1.QПОЛУЧВ холодильной машине внешние тела совершают работу Авнеш по отводу теплоты от охлаждаемого тела Q2 и передачи теплоты к тепловому резервуару (обычно – это окружающаясреда) Q1′. КПД холодильной машины или холодильный коэффициент – это отношение отведенного количества теплоты к затраченной работеQ2Q2η ХМ ==AВНЕШ Q1′ − Q2Вообще говоря, этот коэффициент может быть как меньше единицы, так и больше единицы –всё зависит от работы внешних тел.Тепловой насос - устройство, «перекачивающее» теплоту от холодных тел к нагретым ипредназначенное, например, для обогрева помещения.

При этом тепло Q2 отбирается у окружающей среды, имеющей меньшую температуру, и воздуху в помещении отдается теплота Q1′ .Тепловой насос работает по обратному тепловому циклу. (Этот принцип обогрева называетсядинамическим отоплением). КПД теплового насоса равен отношению теплоты, переданной помещению к затраченной работеQ1′Q1′ηТН ==.AВНЕШ Q1′ − Q2Так как теплота, отводимая от окружающей среды больше 0, то КПД теплового насоса большеединицы. Но для КПД этого же прямого цикла QПОЛУЧ = −Q1′ , QОТД = −Q2 , поэтому−QПОЛУЧ11Q1′ηТН ====ηQ1′ − Q2 −QПОЛУЧ + QОТДQОТД1−QПОЛУЧт.е. КПД теплового насоса равен обратной величине КПД прямого цикла.Цикл КарноРеальные процессы в тепловых машинах являются необратимыми (всегда есть потери).Максимальный КПД имеет тепловая машина, у которой цикл состоит только из равновесныхсостояний.Замечание.

Для возникновения теплопередачи необходима разность температур. Однако, возникающие тепловые потоки вызывают неравновесность процессов. В идеальном случае процессдолжен протекать бесконечно долго при постоянной тем1пературе.QНpВ идеальной тепловой машине подобный подход реализован в виде цикла Карно.2Цикл Карно состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов.Процесс 1-2 – изотермический. В этом процессе газ полу4чает тепло от нагревателя-термостата, расширяясь при по3стоянной температуре ТН.Q′ХПроцесс 2-3 – адиабатический – газ расширяется без теплообмена.VПроцесс 3-4 – газ отдает тепло холодильнику-термостату,сжимаясь при постоянной температуре ТХ.Процесс 4-1 – адиабатический – газ сжимается без теплообмена.

Цикл в последовательности 12-3-4-1 является прямым циклом. Обратный цикл осуществляется в холодильной машине.Найдем КПД цикла Карно.1й курс. 2й семестр. Лекция 133QПОЛ = QН = A12 > 0 так как газ расширяется, QОТД = QХ = A34 < 0 так как газ сжимается.V V Для изотермических процессов A12 = νRTН ln  2  , A34 = νRTХ ln  4  V1  V3 Для адиабатических процессов TН V2γ−1 = TХ V3γ−1 и TН V1γ−1 = TХ V4γ−1 , поэтомуTН V2γ−1 TХ V3γ−1V V=, откуда 2 = 3 > 1 .γ−1γ−1TН V1TХ V4V1 V4КПД цикла Карно η = 1 −QОТДQПОЛУЧV νRTХ ln  4 Т -ТТT V3 = 1−= 1 − Х , т.е. η = Н Х = 1- Х .ТНТНTНV νRTН ln  2  V1 Второе начало термодинамики.Первое начало термодинамики не накладывает никаких ограничений на направлениепротекания термодинамического процесса, в то время как опыт показывает, например, на невозможность самопроизвольной передачи тепла от менее нагретого тела к более нагретому телу.

Направление протекания термодинамического процесса определяется вторым началом термодинамики.Формулировка Клаузиуса второго начала термодинамики.Теплота самопроизвольно, без изменения в окружающих телах, не может перейти от менее нагретого тела к более нагретому.Формулировка Томсона второго начала термодинамики.В природе невозможен круговой процесс, единственным результатом которого была бымеханическая работа, совершаемая за счет отвода теплоты от теплового резервуара.Эти формулировки эквивалентны.1) Пусть не выполняется постулат Клаузиуса, т.е. возможен самопроизвольный переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Рассмотрим циклически процесс, при котороммашина получает тепло Q1 от нагревателя, совершает работу и передает теплоту Q′2 холодильнику.

При этом тепло может самопроизвольно переходить от холодильника к нагревателю. Тогда можно так подобрать параметры процесса, что вся теплота Q′2, отданная холодильнику возвращается к нагревателю. Нагреватель при этом потеряет количество теплоты равное работемашины A= Q1 - Q′2. Остальных изменений в окружающих телах не происходит. Следовательно, нарушается постулат в формулировке Томсона.2) Пусть не выполняется постулат Томсона. Тогда тепловая машина забирает тепло у холодильника и полностью превращает её в работу. Эту работу можно направить на нагрев более горячего тела. Нарушается формулировка Клаузиуса, так как в окружающих телах нет никаких изменений.Замечание. Второе начало термодинамики запрещает создание вечного двигателя второго рода, полностью превращающего в работу всю полученную энергию.

(Вечный двигательпервого рода совершает работу без получения энергии).Теоремы Карно.1-я теорема Карно.КПД любой тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, не зависит отприроды рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температур нагревателя и холодильника.2-я теорема КарноКПД любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше КПД тепловой машины с обратимым циклом Карно при условии равенства температур их нагревателейи холодильников ηНЕОБР < ηОБР .1й курс.

2й семестр. Лекция 134Докажем 1-ю теорему Карно.Возьмем две тепловые машины, возможно, разной конструкции иНагревательиспользующие разные рабочие тела, но имеющие общие нагревательи холодильник и работающие по циклу Карно.QН1Q′Н2 Пусть КПД 1й машины больше чем КПД 2й машины η > η .12Q′Q′А1А2Это означает, что 1 − X 1 > 1 − X 2 .QН 1QН 2Q′Х1QХ2 Запустим 1ю машину по прямому циклу, а вторую по – обратному.Учитывая, что для прямого и обратного цикла выполняется равенстХолодильник1во ηПР =, соотношение для КПД примет видηОБРQ′QQQ′1 − X 1 > 1 − X 2 или X 2 > X 1QН 1QН′ 2QН′ 2 QН 1Установим связь между обеими машинами так, чтобы первая совершала работу над второй и,при этом, выполнялось равенство Q′X 1 = QX 2 .

Тогда QН 1 > QН′ 2 или QH 1 − QХ′ 1 > QH 2 − QХ′ 2 . Но этоозначает, что работа первой машины больше чем работа, которую надо совершить над второймашиной. ПоэтомуAОБЩ = A1 + A2 = QH 1 − QХ′ 1 − ( QH 2 − QХ′ 2 ) > 0 .Итак, общая теплота, получаемая холодильником, будет равна нулю, а у нагревателя будет отобрана теплота QН = QН 1 − QН′ 2 > 0 и при этом совершена работа AОБЩ > 0 . Противоречие со вторым началом термодинамики в формулировке Томсона. Следовательно, неравенство η1 > η2 невыполняется.Пусть теперь η1 < η2 .

Запустим первую машину по обратному циклу, а вторую – по прямому. Иповторим рассуждения.Отсюда следует, что машины имеют одинаковые КПД. Однако если рабочим телом одTной из машин является идеальный газ, то КПД такого процесса известен η = 1 − X .TНВ итоге получаем, что для любой тепловой машины, работающей по обратимому циклуКарноQ′Tη = 1− X = 1− X .QНTНQ′ TОтсюда следует полезное равенство X = X .QН TНДокажем 2-ю теорему Карно.В необратимых процессах неизбежны потери энергии, вызванные неравновесностьюпроцессов. Например, наличие трения приводит к дополнительному выделению тепла и уменьшению работы. Наличие потоков вещества приводит к потерям на кинетическую энергию и т.д.Следовательно, QНЕРАВ _ X < QРАВН _ X и ηНЕРАВ _ X < ηРАВН _ X .

Т.е.1−′QНЕРАВ_X< 1−′ _XQРАВ= 1−TXTНQНЕРАВ _ НQРАВ _ НQ′QОтсюда следует полезное равенство НЕРАВ _ X > НЕРАВ _ Н .TXTНТермодинамическая шкала температурТемпература Т была введена вначале эмпирическим путем с помощью газового термометра исходя из зависимости между давлением и температурой идеального газа.

Но уравнениедля идеального газа справедливо в ограниченном интервале значений давлений и температур.1й курс. 2й семестр. Лекция 135Из выражения для КПД машины, работающей по циклу Карно, следует, чтоQX TX=.QН TНВообще говоря, это соотношение позволяет опытным путём ввести новую абсолютную шкалутемператур, которая не зависит от свойств рабочего тела и такую, что КПД для цикла Карнобудет зависеть только от новых температур и будет выполняться равенствоQXT= Φ (TX ,TН ) = X .QНTНРассмотрим цикл Карно 1-2-5-6 с температурами нагревателя Т1 и холодильника Т3, состоящий из двух «подциклов» 1-2-3-4 и 3-5-6-4 с промежуточной температурой Т2.pДля всех трех циклов можно записатьQ′Q′Q2′= Φ (T2 ,T1 ) , 3 = Φ (T3 ,T2 ) , 3 = Φ (T3 ,T1 ) .Q1Q2Q1Q′ Q ′ Q ′Так как 3 = 3 2 , то при этом должно выполнятьсяQ1 Q2 Q11 Т1Q124Т26Q′2Φ (T3 ,T1 ) = Φ (T2 ,T1 ) Φ (T3 ,T2 ) .Но левая часть не зависит от Т2.