11 (Лекции в PDF), страница 2

По закону Дальтона давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений каждого из газов р = р1 + р2. С другой стороны, из уравнения Менделеева – Клапейрона для смеси:m RT, где m=m1+m2 – суммарная масса смеси,p= ⋅µ VТ.к. концентрация молекул n =1й курс. 2й семестр. Лекция 11и для каждого из газов можно найти парциальное давление p1 =Откуда5m1 RTm RT⋅, p2 = 2 ⋅.µ1 Vµ2 Vm1 + m2 RT m1 RT m2 RT=+.Следовательно,µVµ1 Vµ2 V( m + m2 ) µ1µ2 =mµ1µ 2µ1µ 2µ= 1=.m1µ 2 + m2µ1α1mµ 2 + α 2 mµ1 α1µ 2 + α 2µ128 ⋅ 10-3 ⋅ 32 ⋅ 10-3µ1µ 2=≈ 28,9 ⋅ 10-3 кг/моль.♣-3-3α1µ 2 + α 2µ1 0 ,75 ⋅ 32 ⋅ 10 + 0 ,25 ⋅ 28 ⋅ 10Замечание.

Смесь газов, приведенная в задаче близка по составу к обычному воздуху. Поэтомукгможно для воздуха принять µ ВОЗДУХА ≈ 29 ⋅ 10-3.мольДлина свободного пробега молекулы.Длина свободного пробега молекулы λ - это среднее расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами.Замечание. Если молекула чаще сталкивается с другими молекулами, чем со стенками сосуда,то это означает, что размеры сосуда много больше длины свободного пробега.Рассмотрим газ, состоящий из одинаковых молекул. Размерами молекул не пренебрегаем, но средние значения величин скоростей молекул считаем одинаковыvОТН 2ми.Две молекулы столкнутся, если центр одной из них находится нарасстоянии не большем, чем d=2r от центра другой при их встречном1движении (r – радиус молекулы).

Пусть одна из них покоится, а втораяналетает с относительной скоростью vОТН. Рассмотрим прямой цилиндр,Lсвязанный с этой покоящейся молекулой, определяемый условием, чтовнутри цилиндра не должно быть других молекул. Если объём этого ци2линдра V0 = Lπ d (L – расстояние до соседней молекулы), то объем всего газа можно определить как V=N⋅V0, где N – количество молекул.

Тогда концентрация молекулNN111n= == =. Откуда получаем, что L =.2V NV0 V0 Lπ dπ d 2nЕсли λ - длина свободного пробега, то время между двумя последовательными столкновениями не зависит от системы отсчета. Пусть <v> - средняя скорость молекул, тогдаvLλ∆t ==, откуда λ =L.vОТНvvОТНµ=Относительная скорость двух молекул vОТН = v 2 − v1 , поэтому( vОТН )2= ( v 2 − v1 , v 2 − v1 ) = v 22 + v12 − 2v1v 2 cos αУсредняем это выражение( vОТН )2= v 22 + v12 − 2 v1v 2 cos α2πДля среднего значения должно выполняться∫0Поэтому( vОТН )2cos α dα =2π∫ cos α dα = 0 , откудаcos α = 0 .0= v22 + v12 = 2 v 2 , так как по предположению v 22 = v12 = v 2 .Вообще-то, v 2 ≠ v , но в грубом приближении можно записать vОТН ≈ 2 v .21.2π d 2 nВеличина σ = π d 2 называется эффективным сечением взаимодействия молекул.

Принято считать, что эта величина слабо зависит от температуры.Окончательно, для длины свободного пробега молекул получаем формулу λ =1й курс. 2й семестр. Лекция 116Длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна концентрации молекул1λ=.2σ nvСредняя частота соударений молекул газа между собой ν == 2σ n v .λЭкспериментальные подтверждения молекулярно-кинетической теории.Наиболее известными экспериментами, демонстрирующими молекулярную структурувещества и подтверждающими молекулярно-кинетическую теорию, являются опыты Дюнуайе иОтто Штерна, выполненные соответственно в 1911 и 1920 годах.

В этих опытах молекулярныепучки создавались путем испарения различных металлов, и поэтому молекулы исследуемыхгазов представляли собой атомы этих металлов. Такие эксперименты позволили проверитьпредсказания молекулярно-кинетической теории,123которые она дает для случая газов, молекулы ко7торых можно рассматривать как материальныеточки (т.е. для одноатомных газов).6Схема опыта Дюнуайе с молекулярнымипучками показана на рис. Стеклянный сосуд, ма45териал которого выбирался таким, чтобы обеспеСхема опыта Дюнуайе.чивать высокий вакуум, был разделён на три от1 - отделение, заполненное газом, 2 и 3 деления 1, 2 и 3 двумя перегородками с диафраготделения со сверхвысоким вакуумом, 4мами 4. В отделении 1 находился газ, в качестве- перегородки с диафрагмами, 5 - молекоторого в данном эксперименте были использокулярный пучок, 6 - след нерассеянногованы пары натрия, полученные при его нагревапучка, 7 - след рассеянных молекулнии.

Молекулы этого газа могли свободно пролетать через отверстия в диафрагмах, коллимирующих молекулярный пучок 5, то есть позволяющие ему проходить только в пределах малого телесного угла. В отделениях 2 и 3 был создан сверхвысокий вакуум, такой, чтобы атомы натриямогли пролетать их без столкновений с молекулами воздуха.Нерассеянный молекулярный пучок оставлял на торцевой стенке сосуда след 6. Но дажев случае сверхвысокого вакуума имело место рассеяние молекулярного пучка на краях диафрагм 4.

Поэтому на торцевой стенке сосуда имелась область «полутени» 7, в которой оставляли следы частицы, претерпевшие рассеяние. По мере ухудшения вакуума в отделении 3 область7 увеличивалась. По величине размытости следа рассеянных атомов натрия можно было оценить длину их свободного пробега. Такие оценки былипроведены Максом Борном на основании результатов3опытов, аналогичных опыту Дюнуайе.Одними из самых знаменитых опытов с молеку4лярными пучками были эксперименты Штерна, в кото1рых впервые удалось осуществить прямые измерения молекулярных скоростей. Наиболее известная схема опыта5Штерна показана на рисунке.

Платиновая нить 1, на которуюбыла нанесена капля серебра, находилась на оси двух2коаксиальных цилиндров 2 и 3, причём в цилиндре 2 имелась щель, параллельная его оси. Цилиндры могли вращаться вокруг своей оси. В опытах Штерна угловая скоСхема опыта Штерна.рость их вращения составляла 2...3 тысячи оборотов в ми1 - источник молекул, 2 и 3 - врануту.щающиеся цилиндры, 4 - щель,При пропускании через платиновую нить электриограничивающая молекулярныйческого тока она разогревалась до максимальной темперапучок, 5 - след молекулярноготуры порядка 1200 oС. В результате чего серебро начинапучка.ло испаряться, и его атомы пролетали через щель 4 цилиндра 2, затем оседали на поверхности цилиндра 3, оставляя на нём след 5.

Для не вращающихся цилиндров, атомы серебра, двигаясь прямолинейно,1й курс. 2й семестр. Лекция 117более-менее равномерно оседали на поверхности внешнего цилиндра, внутри сектора, соответствующего прямолинейному их распространению. Вращение цилиндров приводило к искривлению траектории молекул в системе отсчёта, связанной с цилиндрами и, как следствие, к изменению положения атомов серебра, осевших на внешний цилиндр.Анализируя плотность осевших молекул, можно было оценить характеристики распределения молекул по скоростям, в частности, максимальную и минимальную скорости, соответствующие краям следа, а также найти наиболее вероятную скорость, соответствующую максимуму плотности осевших молекул.При температуре нити 1200 oС среднее значение скорости атомов серебра, полученноепосле обработки результатов опытов Штерна, оказалось близким к 600 м/с, что вполне соответ3kTствует значению средней квадратичной скорости, вычисленному по формуле v КВ =.m0.