1, 2 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 2

Лекции 1 - 25Если рассмотреть равновесное излучение как термодинамическую систему, то к нейможно применить классическое распределение Больцмана. Вероятность нахождения системы водном из состояний со значением энергии En определяется выражением E exp  − n  kT pn = E ∑i exp  − kTi здесь суммирование проводится по полному набору дискретных значений { E0 ,E1 ,E2 ,...,EN } .Среднее значение энергии определится выражениемN< ε >= p0 E0 + p1 E1 + p2 E2 + ...

+ pN EN = ∑ pi Ei .i =0Для электромагнитной волны теплового излучения характерно излучение во всём диапазонечастот, поэтому набор энергий будет бесконечным {0 , ω, 2ω,...,nω,...} . Тогда∞∞ Ei  En  nω exp−Eexp−E∑ kT  i ∑ kT  n ∑ exp  − nω∞kT i =0n=0n=0< ε >= ∑ pi Ei = ∞= ∞=.∞ Ei  En  nω i =0exp  −exp  −exp  −∑∑∑ kT  kT  kT n=0i =0n =0Здесь для удобства немой индекс суммирования i заменён на n.

Учтем, что в бесконечной геометрической прогрессии ω  2 ω  3ω 1, exp  − , exp  − , exp  −, … kT  kT  kT  ω  ω знаменатель прогрессии равен exp  − . Если предположить, что exp  − < 1 , то сумма kT  kT равна∞1 nω  ω  2 ω exp  −.∑ = 1 + exp  − + exp  − + ... = ω  kT  kT  kT n =01 − exp  − kT Тогда среднее значение энергии∞ nω  ω  2ω  3ω exp  −∑ nω ω exp  − + 2ω exp  − + 3ω exp  − + ...kT kT kT kT n=0< ε >===∞ nω  ω  2ω  3ω −1+−+−+−+expexpexpexp...∑ kT  kT  kT  kT n=0  ω  2ω  3ω  ω  =  ω exp  − + 2ω exp  − + 3ω exp  − + ... ⋅ 1 − exp  − = kT  kT  kT  kT    ω  2ω  2ω  3ω  3ω = ω exp  − − ω exp  − + 2ω exp  − − 2ω exp  − + 3ω exp  − − ...

= kT  kT  kT  kT  kT  ω  2ω  3ω  ω   ω = ω exp  − + ω exp  − + ω exp  − + ... = ω exp  − 1 + exp  − + ... = kT  kT  kT  kT   kT  ω exp  −ω kT  =,= ω ω  ω 1 − exp  − exp  −1 kT  kT ∞6Семестр 4. Лекции 1 - 2ω. ω exp  −1 kT Следовательно, спектральная объемная плотность энергии будут равнаdN ωω2ωc1ω3АЧТuω,T =< ε >= 2 3. Откуда r ω ,T = uω ,T = 2 2.dVπc44π c ω  ω exp exp  −1 −1 kT  kT Закон излучения Планка.Спектральная энергетическая светимость АЧТ равна1ω3r АЧТ ω ,T = 2 2.4π c ω exp  −1 kT Следствия из формулы излучения Планка.т.е.

< ε >=ω1) Вид функции в законе Планка совпадает с формулой Вина r АЧТ ( ω,T ) = ω3 ⋅ F   .T 2) Найдем длину волны, соответствующую максимуму спектральной светимости АЧТ.3 2πc ω312πc12πc4π 2 c 2 λ АЧТАЧТ 2 πcТ.к. rλ ,T = rω ,T,= 2 2= 2 2=λ2λ2λ24π c4π c ω  2πc  2πc  5exp exp λ  exp  −1 −1 − 1 kT  kT λ  kT λ  2 2dd 4π c АЧТ=тоr( = 0 , откудаω ,T )dλdλ  5  2πc   λ exp  − 1  kT λ    2πc 4π2 c 2 ⋅ exp 2 22 2d 4π c 4π c  kT λ  2πc = 0 ,=−5+2dλ  5 kT λ 2 2πc    2πc  62πc5λ exp λ  exp  − 1 − 1 λ  exp  − 1  kT λ    kT λ   kT λ   2πc exp  2πc kT λ = 5. 2πc   kT λ exp  kT λ  − 1  2πcполучаем трансцендентное уравнение x ⋅ exp ( x ) = 5 ( exp ( x ) − 1) .Вводя обозначение x =kT λРешение этого уравнения x0≈4,965114232.

Откуда для длины волны λ MAX , соответствующеймаксимуму спектральной испускательной способности получаем выражение 2πc 2,9 ⋅10−3λ MAX =≈м.kT x0TСледовательно, вычисленное значение постоянной Вина b = 2 ,9 ⋅10−3 м⋅К практически совпадает с экспериментальным значением.3) Найдем интегральную светимостьСеместр 4. Лекции 1 - 273 ω +∞+∞+∞+∞3( kT )1ωk4x3 ω  kT 4=RT = ∫ r АЧТ ω ,T d ω = ∫ 2 2dω = ∫ 2 2 3dT∫0 exp ( x ) − 1 dx4π c4π c kT  4π2 c 2 3 ω  ω 000exp exp  −1 −1 kT  kT +∞x3Численный расчёт даёт значение ∫dx ≈ 6 ,5 , откуда RT ≈ 5, 65 ⋅10−8 ⋅ T 4 .expx−1()0Т.е.

вычисленное значение постоянной Стефана-Больцмана практически совпадает с экспериментальным.1ω34) Если в законе излучения Планка r АЧТ ω ,T = 2 2устремить ω → +0 , то с учетом4π c ω exp  −1 kT 1ω3ω2ω ω АЧТразложения exp ,получимвыражениеr≈=kT ,1≈+ω ,T4π2 c 2 1 + ω − 1 4π2 c 2kT kT kTсовпадающее с формулой Рэлея-Джинса. Т.е.

формула Рэлея-Джинса описывает случай, когдаэнергия кванта излучения много меньше энергии теплового движения ω << kT .5) Для примера представим графики r АЧТ ω ,T для некоторых температур. Для этого введём переωи перепишем закон излучения Планка в видеменную x =k3 ω 331,38 ⋅10−23 )k)((k3x3x3k АЧТr ω ,T = 2 2 2= 2 2 2=⋅4π c 4π c exp x − 1 4π2 ⋅ 9 ⋅10−161, 0552 ⋅10−68 ω xexp exp   − 1 −1 kT T 4rАЧТω,TДж/м26,0E+205,0E+20T=400, K4,0E+20T=300, K3,0E+20T=200, K2,0E+20T=100, K1,0E+200,00,01,0E+032,0E+033,0E+034,0E+035,0E+036,0E+03x, KСеместр 4.

Лекции 1 - 28Тогда r АЧТ ω ,T ≈ 6,6 ⋅1012x3. Графики такой зависимости для различных Т представленыxexp   − 1T выше.ФотоэффектФотоэлектрическим эффектом или внешним фотоэффектом называется явление испусканияэлектронов металлами под действием падающего света. (Явление испускания электронов веществом под действием падающего света называется фотоэмиссией).Явление фотоэффекта открыл Герц в 1887 г.Александр Григорьевич Столетов в конце 19 века установил законы фотоэффекта:1) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи;2) сила тока насыщения возрастает с увеличением освещённости;3) испускаемые под действием света частицы имеют отрицательный заряд.

(Э. А. фон Ленард иДж. Дж. Томсон затем установили, что это – электроны.)В установке для исследования фотоэффекта свет сквозь кварцевое стекло освещает каВакуумIКАIHVПГUЗ0Uтод, который вместе с анодом находится в вакуумированной колбе. Напряжение между катодоми анодом V можно регулировать (положительным считается напряжение, при котором потенциал катода меньше потенциала анода). Наличие тока в цепи регистрируют гальванометром Г.Вольт-амперная характеристика фотоэффекта свидетельствует1) при освещении катода ток в цепи есть даже при нулевом напряжении между катодом и анодом.

Это означает, что часть электронов, вылетевших с катода, попадает на анод.2) Наличие тока освещения говорит о том, что все электроны, вылетевшие с катода, попадаютна анод.3) При некотором обратном (задерживающем) напряжении фототок в цепи прекращается. Величина этого напряжения зависит от частоты падающего света, но не зависит от освещённости.Этот факт противоречит классическому описанию – при увеличении освещенности катода напряженность электрического поля увеличивается – поэтому скорость электронов вылетающихдолжна возрастать, т.е. величина задерживающего напряжения должна зависеть от освещённости.Формула Эйнштейна для фотоэффекта.А.Эйнштейн в 1905 г.

построил теорию фотоэффекта (за эту работу он получил Нобелевскую премию по физике). Он предположил, что электромагнитное излучение не только испускается квантами, но поглощается тоже квантами. Тогда по закону сохранения энергииω = AВ + EКИН _ МАХ или hν = AВ + EКИН _ МАХСеместр 4. Лекции 1 - 29т.е. энергия поглощённого кванта энергии расходуется на совершение электроном работы повыходу из металла (величина АВ называется работой выхода из металла) и на сообщение электрону кинетической энергии движения.Величина работы выхода АВ – это минимальная величина энергии, затрачиваемая на выход электрона из металла. В этом случае электрон приобретает максимальную кинетическуюэнергию ЕКИН_МАХ. В других случаях возможна ситуация, при которой электрону понадобитсязатратить больше энергии для выхода, поэтому и его кинетическая энергия будет меньше максимальной.Данная теория позволила объяснить экспериментальные результаты для фототока.Если между катодом и анодом приложить обратное напряжение (при котором потенциалкатода выше потенциала анода), то на электроны, вылетающие из катода, будет действовать сила, направленная против их движения.

Следовательно, электроны будут тормозиться. Электрический ток прекратиться в тот момент, когда максимальная кинетическая энергия электроновбудет израсходована на работу против сил электрического поля0 − EКИН _ МАХ = AКУЛ = q ( ϕ K − ϕ A ) = −eU З(здесь учтено, что заряд электрона отрицательный q= −e.) Тогда, с учётом формулы Эйнштейнадля фотоэффекта EКИН _ МАХ = ω − AВ находим выражение для задерживающего напряженияω − AВhν − AВили U З =eeТ.о.

задерживающее напряжение зависит от частоты падающего излучения.Если выполняется равенство ω = AВ или hν = AВ , то фототок прекращается даже при отсутствии напряжении между катодом и анодом.Величина частоты света, при которой фототок прекращается, называется красной границей фотоэффектаAAωКР = В или ν КР = В .h(Название красная граница возникло потому, что для некоторых металлов эта частота соответствует красному цвету.)hcСоответственно, длина волны красной границы фотоэффекта λ КР =.AВПример.ЭлементАВ, эВАВ, ДжνКР , ГцλКР, м-1914K2,153,44⋅105,19⋅105,77849⋅10-7Na2,273,63⋅10-195,48⋅10145,47302⋅10-7Cu4,477,15⋅10-191,08⋅10152,77936⋅10-7UЗ =Число вылетающих электронов пропорционально числу квантов, поэтому при увеличении освещённости, когда число квантов излучения увеличивается, количество электронов тожеувеличивается, следовательно, фоток увеличивается.Фотоны.На основе результатов теории фотоэффекта А.

Эйнштейн предложил гипотезу, что излучение не только излучается и поглощается квантами, но распространяется в пространстве тожеквантами. Квант электромагнитного излучения соответствует порции (части) электромагнитнойволны, которую позднее химик Гилберт Льюис предложил назвать фотон (1926 г.).С учётом этого названия формула Эйнштейна для фотоэффектаω = AВ + EКИН _ МАХ или hν = AВ + EКИН _ МАХможно трактовать так: энергия фотона расходуется на совершение электроном работы выходаиз металла и на сообщение электрону кинетической энергии.Семестр 4. Лекции 1 - 210Замечание. В многофотонных процессах для выхода электрона требуется несколько фотонов. Вэтом случае уравнение Эйнштейна примет видN ω = AВ + EКИН _ МАХ или Nhν = AВ + EКИН _ МАХгде N – число фотонов.Замечание.

В отличие от внешнего фотоэффекта внутренний фотоэффект – это переход электрона в новое состояние с более высоким уровнем энергии.Вальтер Боте в 1925 году провёл опыт, подтверждающий существование квантов излучения (фотонов). Схема опыта такова: тонкая металлическая фольга облучалась слабым рентгеновским излучением. По обе стороны от фольги стоялигазоразрядные счётчики для регистрации излучения от фольги. По классической теории излучение фольги должно представлять собой сферическиеволны, распространяющиеся во все стороны. Следовательно, оба счётчикадолжны одновременно зарегистрировать эту волну.