o16a (физика лабы 2 курс 3-й семестр (методички))

Московский государственный технический университет им. Н.Э.БауманаБалабина Г.В.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЗРАЧНОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИМетодические указания к лабораторной работе О-16А по курсу общей физики.Москва, 2001Изложены основы теории дифракции света в параллельных лучах, рассмотрены основныехарактеристики дифракционной решетки как спектрального прибора.Цель работы - определение параметров прозрачной дифракционной решетки с помощью дифракционного спектра.Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении волнв среде резкими неоднородностями (например, при прохождении через малые отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т.п.), и связанных с отклонением от законов геометрической оптики.

Дифракционные явления существенны, если длина волны λ соизмерима с размерами препятствия (b - диаметром отверстия) или края преграды (в этом случае сохраняют силу такие понятия как волновая поверхность, фронт волны; при λ<<b - дифракционные явления несущественны).Для нахождения распределения интенсивностей дифракционной картины используетсяприближенный метод Гюйгенса - Френеля: бесконечно малые элементы волновой поверхностирассматриваются как источники вторичных сферических когерентных волн, амплитуды которых пропорциональны площади элемента; амплитуда колебаний в любой точке пространства заволновой поверхностью определяется интерференциейвторичных волн.Рассмотрим дифракцию при прохождении светаABDчерез прозрачную дифракционную решетку, которая используется для получения дифракционного спектра.ϕϕECДня видимого света простейшая дифракционная решеткапредставляет собой стеклянную пластинку с большимϕϕϕчислом тонких параллельных щелей (до 1000 на 1 мм)одинаковой ширины b и находящихся на равных расстояниях а друг от друга.

Величина d=а+b называетсяпериодом или постоянной решетки.ЛПусть на решетку нормально падает параллельный пучок монохроматического света (рис.1). Тогда наэкране Э, расположенном в фокальной плоскости линзыЛ, будет наблюдаться дифракционная картина - чередование темных и светлых полос, параллельных щели b.Распределение интенсивности в дифракционнойкартине определяется распределением интенсивностей отдифракции от каждой щели и от взаимной интерференЭции волн от всех щелей.POРасчет дифракционной картины от одной щели спомощьюметода зон Френеля дает для амплитуды колеРис.

1баний Аϕ дифрагируемых волн выражениеπbsin sin ϕ  λAϕ = A0πbsin ϕλ(1)где А0 - амплитуда колебаний дифракционного максимума нулевого порядка, т.е. при угле ϕ=0.Выражение (1) обращается в ноль для углов ϕ, удовлетворяющих условиюπbsin ϕ = ± kπλгде k=1,2,……,или,b sin ϕ = ± k λ .(2)Равенство (2) определяет положение минимумов для дифракции от щели. Условие дифракционных максимумов определяется максимумами функцииπbsin sin ϕ  λ,πbsin ϕλчто приводит к трансцендентному уравнениюπb πbtg sin ϕ  =sin ϕ λ λЭто уравнение решается графически и имеет корни приπbπbsin ϕ = 1,43π ;sin ϕ = 0 ;λλπbsin ϕ = 2,46π , …λОтсюда условия 1-го, 2-го и т.д. максимумов для одной щели запишутся в виде:(3)b sin ϕ = ±1,43λ , b sin ϕ = ±2,46 λ , ...

.На рис. 2 представлено распределение интенсивности колебаний для дифракции от одной щели.−2λb−λb0λb2λbsinϕРис. 2Если плоская монохроматическая волна проходит через прозрачную решетку, то на экране вфокальной плоскости линзы наблюдается более четкая и яркая картина чередования светлых итемных полос по сравнению с одиночной щелью.При дифракции на решетке колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, поскольку эти точки принадлежат одной и той же волновой поверхности. Следовательно, колебания,приходящие в точку наблюдения P от разных щелей, когерентны. Для нахождения результирующей интенсивности при действии всех щелей необходимо найти фазовые соотношения между этими когерентными колебаниями.

В данном случае удобно использовать графический метод - метод векторных диаграмм.Разобьем (мысленно) открываемую часть волновой поверхности на очень узкие одинаковые по!площади полоски, параллельные щелям. Пусть ∆ Ai - вектор амплитуды колебаний от i-той по!лоски. Тогда вектор A результирующего колебания в точке наблюдения P представится в видесуммы!A=∑!∆ Ai =∑!!∆ Ai представляет вектор колебаний A1 от первой щели, соответст-по всемщелямТак как величинапо 1 − ойщеливенно величина∑по 2 − ойщели∑по 1 − ойщели!∆ Ai +∑по 2 − ойщ ели!∆ Ai + " +∑по N − ойщ ели!∆ Ai!!∆ Ai - вектор колебаний A2 от второй щели и т.д., то вектор результи-!рующего колебания A от всех щелей может быть представ-!!AN!Aδ!A1!A2!!!!!лен суммой A = A1 + A2 +...+ A j +...+ AN , где A j - векторколебаний, создаваемый j-той щелью. В одном и том же направлении все щели решетки излучают свет (вторичные!волны) совершенно одинаково; поэтому все векторы Ajδδравны по модулю и зависят от угла дифракции ϕ.

Геометри!ческое сложение векторов Aj представлено на рис.3. Каждый вектор повернут относительно предыдущего на один итот же угол δ, равный разности фаз колебаний, возбуждаемых соседними щелями.!!Сдвиг фаз δ между векторами амплитуд A j и A j + 1 опреде-ляется оптической разностью хода лучей ∆ от подобных точек двух соседних щелей до точки наблюдения Р. Из рис.1видно, что ∆=BC=DE=... . Или ∆ = d sin ϕ . ПоэтомуРис.

3δ =2π∆ 2π d sin ϕ=λλ(4)Для тех направлений, для которых δ=±2πт, возникает максимум интенсивности. Тогда соотношение(5)d sin ϕ = ± mλхарактеризует положение главных максимумов дифракционной решетки.При углах ϕ, удовлетворяющих условию (5), результирующий вектор амплитуды колебаний!!!равен A = NAϕ , где Aϕ - вектор амплитуды колебаний от одной щели; N - число щелей решетки.

Следовательно, интенсивность главных максимумов в N2 раз больше интенсивности Iϕ, создаваемой одной щелью в направлении угла ϕ(6)I = N2I ,решϕРассмотрим теперь направления дифрагируемых лучей, удовлетворяющих условию (2).!Очевидно, что все векторы Aj в этом случае равны нулю и результирующее колебание в соответствующей точке экрана Э также равно нулю. Это означает, что условие (2) - условие мини-мума интенсивности для одной щели - является также условием минимума для дифракционнойрешетки.Между каждыми двумя главными максимумами находятся по (N -1) добавочных минимумов, получаемых за счет взаимного погашения колебаний от отдельных щелей.

Минимумполучается, если фаза колебаний от последней N-ой щели отличается от фазы колебаний от 1ой щели на величину, кратную 2π; соответственно, различие в фазе 2-х соседних колебаний2πдолжно удовлетворять условию δ =m ′ . С учетом (4) получаемNm′(7)λd sin ϕ = ±Nгде m′′=1 ;2; ... , N - 1; N + 1; ... . Иначе говоря m′′ принимает все целочисленные значения,кроме 0; N; 2N; … , т.е.

кроме тех, при которых условие добавочных минимумов (7) переходитв условие главных максимумов (5).I−3λd−2λd−λ0dλd2λd3λdsinϕРис. 4Между добавочными минимумами располагаются слабые добавочные максимумы. Число их между главными максимумами составляет N - 2. На долю добавочных максимумов приходится неболее 4% интенсивности ближайшего главного максимума. На рис. 4 представлено распределе-ние интенсивности монохроматических волн при прохождении их через дифракционную решетку с 4-мя щелями.

Пунктирная линия соответствует дифракции на одной щели шириною b.Дифракционная решетка является оптическим прибором и используется для получениядифракционных спектров. Если через дифракционную решетку проходит немонохроматический свет, она разлагает его в спектр. При угле ϕ =0 получается максимум нулевого порядка(m=0) , одинаковый для всех длин волн. По обе стороны от него располагаются максимумы±m порядков, причем волны с меньшей длиной волны λ располагаются ближе к нулевому максимуму, чем волны с большей длиной волны (см. формулу (5)).

Иначе говоря, максимумы фиолетовых лучей будут расположены ближе к центру, чем максимумы красных лучей для одногои того же порядка.Основными характеристиками дифракционной решетки являются угловая дисперсия Dϕи разрешающая способность R. (Иногда R называют разрешающей силой).Угловая дисперсия- это отношение углового расстояния δϕ между двумя спектральны-ми линиями λ1 и λ2 одного порядка к разности длин волн δλ=λ1- λ2 , т.еDϕ =Или с учетом (5)Dϕ =δϕ.δλ(8)m.d cos ϕ m(9)где ϕm - угол дифракции для спектра m - порядка.Таким образом, видим, что угловая дисперсия характеризует способность дифракционнойрешетки пространственно разделять световые лучи различных длин волн.