Задачник по физике (термодинамика), страница 5

Найтиобъем V3, если известны объемы V1 иV2, и известно, что объемы V2 и V4равны.V2 V2P23P3P1P414V1V2=V4V3VРис. 1.9P1.100 Идеальный газ совершаетциклический процесс, представленныйна рис.1.10. Температуры газа всостояниях 1 и 3 равны Т1 = 300 К и Т3= 400 К соответственно. Определитьтемпературу газа в состоянии 2.P2=P3P1231V1=V2Рис. 1.10V3V252. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИОсновные понятия и законыТермодинамика – это постулативная наука о превращенииэнергии.

Выводы термодинамики основаны на общих принципах илиначалах, которые представляют собой обобщение опытных фактов.Первоеначалотермодинамикиявляетсяобобщениемэкспериментального материала и представляет собой одну из формзакона сохранения энергии применительно к тепловым процессам.Этот закон содержит три величины: внутреннюю энергию U,работу А и теплоту Q. Установим физический смысл этих величин.Внутренняя энергия. Внутренняя энергия U системы являетсяфункцией состояния, и ее изменениеU определяется лишьначальным и конечным состоянием системы, т.е.

не зависит от того,каким образом система перешла из одного состояния в другое.Внутренняя энергия идеального газа выражается формулой:iURT ,(2.1)2ii(2.2)UR T(P2 V2 P1V1 ) ,22где Р1,V1, Р2,V2 –давления и объемы газа в начальном и конечномсостояниях, i – число степеней свободы молекулы газа, - количествовещества, R = 8,31 Дж/(К моль) – универсальная газовая постоянная.Числом степеней свободы i называется количество независимыхкоординат, определяющих положение молекулы в пространстве.

Дляодноатомной молекулы i = 3 (все три степени свободы приходятся надолю поступательного движения). Для двухатомной жесткоймолекулы i = 5 (3 приходятся на долю поступательного движения и 2на долю вращательного движения). Для жесткой молекулы из трех иболее атомов i = 6.Изменение внутренней энергии U > 0, если Т > 0; изменениевнутренней энергии U < 0, если Т < 0.Работа газа. Работа газа, совершаемая при переходе из одногосостояния в другое, зависит не только от начального и конечногосостояний системы, но и от вида процесса, в котором происходитизменение состояния.Элементарная работа газа определяется выражениемA PdV ,(2.3)а полная работаV2APdV .V1(2.4)26Независимоотвидапроцесса,совершаемаяработаположительна, если в процессе происходит расширение газа( A 0, если dV 0 ), и отрицательна, если газ сжимается( A 0, если dV 0 ).Количество теплоты.

Количество теплоты при переходе изодного состояния в другое так же, как и работа, зависит от видапроцесса. Если к системе подводится тепло, то оно считаетсяположительным (Q > 0), если тепло отводится от системы, то оносчитается отрицательным (Q < 0).Первое начало (1 закон) термодинамики. В общем случаеколичество теплоты, сообщаемое системе, идет на изменениевнутренней энергии системы U и на совершение системой работы Апротив внешних сил:QU A.(2.5)Первое начало термодинамики обычно записывают для изменениясостояния системы, вызванного сообщением ей малой теплоты Q,совершением системой элементарной работы А и приводящего кмалому изменению dU внутренней энергии:Q dU A .(2.6)Следует отметить, что ни работа, ни теплота не являютсяфункциями состояния системы, а зависят от вида процесса, и поэтомуQ и А не являются полными дифференциалами.ТеплоемкостьТеплоемкостью тела С называется отношение теплоты Q,сообщаемой телу, к изменению температуры dT в рассматриваемомтермодинамическом процессеQC.(2.7)dTУдельной теплоемкостью суд называется теплоемкость единицымассы веществаQ.(2.8)с удm dTМолярной теплоемкостью Смол называется теплоемкость одногомоля веществаQС мол.(2.9)dTСвязь молярной и удельной теплоемкостейCмолгде- молярная масса газа.c уд ,(2.10)27Величина теплоемкости зависит от вида процесса, происходящегос газом.

Молярные теплоемкости при постоянном объеме ипостоянном давлении можно выразить через число степеней свободыi(2.11)CмолR,V2i 2(2.12)CPмолR,2и, соответственно, изменение внутренней энергии газа можновыразить через его теплоемкость при постоянном объеме:(2.13)dU CмолdT или U CмолT.VVУравнение Майера выражает связь между молярнымитеплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении(2.14)CPмол СмолR.VПоказатель адиабатыCPмолСмолVс Pудс удVi 2.i(2.15)Соотношения (2.11), (2.12) и (2.15) позволяют выразить молярныетеплоемкости газа через показатель адиабаты:RR.(2.16)Cмол, CPмолV11Используя понятие молярной теплоемкости, можно первое началотермодинамики (2.6) записать в видеCмол dT dU PdV(2.17)Выражение (2.17) позволяет решать многие задачи термодинамикипри различных процессах, в частности на определение теплоемкостипри различных процессах, расчет работы, совершаемой газом, и др.Применение первого начала термодинамики дляизопроцессов1.

Изотермический процесс Т = const.Изменение внутренней энергии (2.2), (2.13)idUR dT CмолdT 0 , так как dT = 0. (2.18)V2илиU 0.Теплота Q расходуется на совершение работы газом противвнешних силQAили согласно (2.4)28V2QAV2PdVV1RTV1dVVRT lnV2V1RT lnP1.P2Теплоемкость при изотермическом процессе бесконечноэто следует из соотношения (2.7), т.к.

Q 0, a dT 0 .2. Изохорический процесс V = const.Работа газа равна нулю, так как нет изменения объемаA 0, т.к. V = 0.Подводимое тепло идет на изменение внутренней энергииiQ dUR dT CмолdTV2или в интегральной формеQU CмолT.V3. Изобарический процесс Р = const.Изменение внутренней энергииdU CмолdT или U CмолVVРабота газаA PdVилиA P( V2 V1 )R(T2 T1 ) .T.(2.19)велика,(2.20)(2.21)(2.22)(2.23)(2.24)Количество теплотыQdUACмолdTVRdTCPмол RdT(2.25)или в интегральной формеQCPмолTi 2R2T.(2.26)Адиабатический процессАдиабатический процесс – это термодинамический процесс,происходящий без теплообмена с окружающей средой Q = 0. Этотпроцесс осуществляется при быстром расширении или сжатии.Первое начало термодинамики для адиабатического процессаимеет видAdU(2.27)или(2.28)AU U1 U2 ,т.е.

при адиабатическом процессе система совершает работу за счетубыли внутренней энергии. При расширении (А > 0) газ охлаждается,т.к. U 1 U 2 , при сжатии (А < 0) газ нагревается, т.к. U 1 U 2 .Теплоемкость системы при адиабатическом процессе С = 0 (этоследует из соотношения 2.7), т.к. Q 0, dT 0.Уравнение Пуассона выражает связь между термодинамическимипараметрами при адиабатическом процессе29PVconst ,(2.29)где - показатель адиабаты, определяемый по формуле (2.15).Уравнение Пуассона в координатах (Т – V) и (Т – Р) имеет видT V 1 const ,(2.30)1T Pconst .Работа газа при адиабатическом процессеAV2V1PdVP1V111V1V21RT111(2.31)V1V21.(2.32)Если при адиабатическом процессе температура изменяется от Т 1до Т2, то работу, согласно (2.13) и (2.16), можно вычислить по формулеR(2.33)AU(T1 T2 ) .1Примеры решения задачЗадача 2.1 Определить внутреннюю энергию азота массойm = 0,56 кг, который вначале находится при температуре Т 1 = 300 К.Найти, какая часть внутренней энергии при этой температуреприходится на долю поступательного движения и какая часть на долювращательного.

Затем азот изобарно нагрели до Т2 = 500 К.Определить изменение внутренней энергии газа. Молярная массаазота равна = 0,028 кг/моль.РешениеВнутренняя энергия азота при начальной температуре по (2.1)i mU1RT1 ,2где i – число степеней свободы. Для азота (жесткая двухатомнаямолекула) i = 5, тогда5m5 0,56 8,31 300U1RT1125 кДж.22 0,028Из пяти степеней свободы молекулы газа 3 степени свободыприходятся на поступательное движение молекулы, а 2 степенисвободы - на вращательное движение.С учетом этого часть внутренней энергии, приходящаяся на долюпоступательного движения, равна3 5 0,6;1а часть внутренней энергии, приходящаяся на долю вращательногодвижения, равна2 5 0,4.2Изменение внутренней энергии при изобарическом нагреве равно305m5 0,56R(T2 T1 )8,31 200 83,1кДж.22 0,028Задача 2.2 Углекислый газ (СО2) массой m = 2,2 кг, занимающийобъем V1 = 4 м3 при температуре Т1 = 300 К, сжали адиабатически так,что конечное давление увеличилось в k = 2 раза.

Определить конечныйобъем V2, температуру T2, давление P2 и изменение внутреннейэнергии U. Молярная масса углекислого газа равна = 0,044 кг/моль.UРешениеУчитывая, что углекислый газ (СО2) трехатомный, число степенейсвободы i = 6. Показатель адиабаты для углекислого газа равенi 2 81,33 .i6Конечный объем газа найдем из уравнения Пуассона P1V1 P2 V2 .Учитывая, что P2 kP1 , получим:V14V22,38 м3.1/1/ 1,33k2Для нахождения температуры Т2 воспользуемся уравнением11адиабаты в переменных (Т – Р) - T1P1T2P21:0,331,33T2 T1k300 2356 К.Изменение внутренней энергии для адиабатического процесса равноi m2,2UR(T2 T1 ) 38,31 (356 300 ) 70 кДж.20,044Задача 2.3 Некоторую массу идеального газа сжали в k раз (пообъему) один раз адиабатически, другой раз изотермически.Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково.

Найтиотношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.Решение1. При адиабатическом процессе Q = 0, и работу, затраченную насжатие газа, можно рассчитать по формуле (2.32):V0 / kA1PdVV0 / kP0 V0V0V0dVVP0 V0(kгде Р0 и V0 – начальные параметры газа.2. При изотермическом процессе Т = const:V0 / kA2PdVV0V0 / kP0 V0V0dVVНаходим отношение соответствующих работP0 V0 ln k .11),131A1k 1 1.A 2 ( 1) ln kЗадача 2.4 Кислород, занимающий объем V1 = 1 м3 поддавлением Р1 = 2 105 Па, нагрели сначала при постоянном давлениидо объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давленияР2 = 5 105 Па. Построить графики процессов в Р – V координатах.Определить: 1) изменение внутренней энергииU газа;2) совершенную им работу A; 3) количество тепла Q, переданное газу.Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.РешениеГрафики процессов, происходящих сPгазом, изображены на рис.2.1.1.

НайдемизменениевнутреннейP23энергииU (2.2):i mUR(T3 T1 ) .2P121Число степеней свободы для кислорода(жесткая двухатомная молекула) i 5 .Температуры газа Т1 и Т3 выразим изV1V2Vуравнения Менделеева – Клапейрона (1.11):P1V1P2 V2Рис. 2.1T1; T3.mRmRОкончательно, изменение внутренней энергии55U(P2 V2 P1V1 )(5 10 5 3 2 10 5 1) 3,25 МДж.222. Найдем работу, совершенную газомA A1 2 A 2 3На участке 1-2 (изобарический процесс) работа выражаетсяформулой (2.24):A1 2 P1( V2 V1 ) .На участке 2-3 (изохорический процесс) работа равна нулю:A2 3 0 .Таким образомA A1 2 P1( V2 V1 ) 2 105 (3 1) 0,4 МДж.3.

Количество тепла Q находится по первому началутермодинамики (2.5):QU A 3,65 МДж.Задача 2.5молей идеального газа с показателем адиабатысначала адиабатически расширили по объему в k раз. Затем газизотермически сжали до первоначального объема, причем сжатие32происходилопритемпературеТ0.Изобразитьпроцессы,происходящие с газом в Р – V координатах. Определить:1) изменение внутренней энергии U газа; 2) работу А, совершеннуюгазом; 3) полученное газом тепло Q.РешениеВ Р – Vпроисходящиерис.2.2:1-2расширение,сжатие.1) Найдемэнергиикоординатах процессы,с газом показаны на–адиабатическое2-3изотермическоеизменениевнутреннейPP1T11P33P2UU1 2T02T0U2 3 .Изменение внутренней энергиипри адиабатическом расширенииR (T2 T1 ).U1 2CмолTV1V1V2VРис.

2.2Изменение внутренней энергии при изотермическом сжатииU2 3 0 ,т.к температуры газа Т2 = Т3 = Т0.Изменение внутренней энергии за два процессаR (T2 T1 ).U1В процессе 1-2 температура Т2 = Т0, а температура Т1 находитсяиз уравнения адиабаты (2.30):1T1V2k 1.T0V1С учетом этого изменение внутренней энергии за оба процессаравноRT0 (1 k 1 ).U12) Найдем работу, совершенную газомA A1 2 A 2 3 ,где А1-2 – работа при адиабатическом расширении (2.33)A1 2U1 2RT0 (k11)1А2-3 - работа при изотермическом сжатии (2.19),33V2RT0 ln k .V1Работа, совершенная газом за два процесса, равнаA2ART0 ln3RT0k111ln k .3) Найдем количество теплаQ Q1 2 Q 2 3 ,где Q1-2 = 0, т.к.