lek_11 (Лекции в PDF)

Лекция № 11Деформация балок при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.Метод начальных параметров. Универсальное уравнение упругой линии.11. ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ11.1. Основные понятия и определенияРассмотрим деформацию балки при плоском изгибе. Ось балки под действием нагрузки искривляется в плоскости действия сил (плоскость x0y), приэтом поперечные сечения поворачиваются и смещаются на некоторую величину.

Искривленная ось балки при изгибе называется изогнутой осью илиупругой линией.Деформацию балок при изгибе будем описывать двумя параметрами:1) прогиб (y) – смещение центра тяжести сечения балки по направлению, перпендикулярному к ее оси.Не путать прогиб y с координатой y точек сечениябалки!Наибольший прогиб балки называется с т р е л о й п р о г и б а (f=ymax);2) угол поворота сечения (ϕ) – угол, на который сечение поворачивается относительно своего первоначального положения (или угол между касательнойк упругой линии и первоначальной осью балки).В общем случае величина прогиба балки в данной точке является функциейкоординаты x и может быть записана в виде следующего уравнения:y = y ( x) .Тогда угол между касательной к изогнутой оси балки и осью x будет определяться из следующего выражения:dytg ϕ =.dxВвиду малости углов и перемещений, можем считать, чтоdyϕ≈dxугол поворота сечения есть первая производная от прогиба балки по абсциссесечения.11.2.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балкиИсходя из физической природы явления изгиба, можем утверждать, что изогнутая ось непрерывной балки должна быть непрерывной и гладкой (не72имеющей изломов) кривой. При этом деформация того или иного участкабалки определяется искривлением его упругой линии, то есть кривизной осибалки.Ранее (формула (10.8), лекция 10) нами была получена формула для определения к р и в и з н ы б р у с а (1/ρ) при изгибеMz1=.ρ E ⋅ JzС другой стороны, из курса высшей математики известно, что уравнениекривизны плоской кривой выглядит следующим образом:d2y± 21dx=.3ρ⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤ 2⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦Приравняв правые части данных выражений, получим д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е и з о г н у т о й о с и б а л к и , которое называется т о ч ным уравнением изогнутой оси брусаd2yMzdx 2=.3E⋅Jz⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤ 2⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦В координатной системе прогибов x0y, когда ось y направлена вверх, знакмомента определяет знак второй производной от y по x.Интегрирование данного уравнения, очевидно, представляет некоторыетрудности.

Поэтому его, как правило, записывают в упрощенной форме, пренебрегая величиной в скобках по сравнению с единицей.73Тогда дифференциальное уравнение упругой линии балки будем рассматривать в виде:Mzd2y=.(11.1)2dxE ⋅ JzРешение дифференциального уравнения (11.1) найдем, интегрируя обе егочасти по переменной x:M ( x)dy(11.2)ϕ==∫ z⋅ dx + C1 ,dx l E ⋅ J zy = ∫∫M z ( x)E ⋅ Jz⋅ dx + C1 ⋅ x +D1 .(11.3)Постоянные интегрирования C1, D1 находят из граничных условий – условийзакрепления балки, при этом для каждого участка балки будут определятьсясвои постоянные.Рассмотрим процедуру решения данных уравнений на конкретном примере.Дано:Консольная балка длиной l, загруженная поперечной силой F.

Материал балки (E), форму и размеры ее сечения(Jz) также считаем известными.Определить закон изменения угла поворота ϕ(x) и прогиба y(x) балки по еедлине и их значения в характерных сечениях.Решениеа) определим реакции в заделке∑ Fy = 0 ⇒ RA = F ,∑MA= 0 ⇒ M R = − F ⋅ l.б) методом мысленных сечений определим внутреннийизгибающий моментM z ( x ) = RA ⋅ x − M R = F ⋅ x − F ⋅ l .в) определим угол поворота сечений балкиM ( x)F ⋅ x − F ⋅lϕ( x) = ∫ z⋅ dx + C1 = ∫⋅ dx + C1 ⇒E ⋅ JzE ⋅ JzF ⋅ x2F ⋅l ⋅ xϕ( x) =−+ C1 .2 ⋅ E ⋅ Jz E ⋅ Jz74Постоянную C1 найдем из условий закрепления, а именно – в жесткой заделке угол поворота равен нулю, тогдаϕ ( x = 0) = 0 ⇒C1 = 0 .Найдем угол поворота свободного конца балки(x=l)F ⋅ l2ϕ( x = l ) = −.2 ⋅ E ⋅ JzЗнак «минус» показывает, что сечение повернулось по часовой стрелке.г) определим прогибы балки⎛ F ⋅ x2F ⋅l ⋅ x ⎞−y ( x ) = ∫ ϕ ⋅ dx + C2 = ∫ ⎜⎟ ⋅ dx + D1 ⇒E ⋅ Jz ⎠⎝ 2 ⋅ E ⋅ Jzy ( x) =F ⋅ x3F ⋅ l ⋅ x2−+ D1 .2 ⋅ 3⋅ E ⋅ Jz 2 ⋅ E ⋅ JzПостоянную D1 найдем из условий закрепления, а именно – в жесткой заделке прогиб равен нулю, тогдаy ( x = 0) = 0 ⇒D1 = 0 .Найдем прогиб свободного конца балки (x=l)1 F ⋅ l3y(x = l) = −.3 E ⋅ JzЗнак «минус» показывает, что сечение опустилось вниз.11.3.

Универсальное уравнение упругой линии. Метод начальных параметровИспользование изложенной техники определения перемещений для балок,имеющих несколько участков, оказывается достаточно трудоемким, так какдля n участков число произвольных констант (C и D) возрастает до 2n. Дляуменьшения вычислительной работы в подобных случаях был разработан рядметодов, в том числе и м е т о д н а ч а л ь н ы х п а р а м е т р о в , позволяющий при любом числе участков свести решение к отысканию всего двух констант – прогиба и угла поворота в начале координат.Для реализации метода начальных параметров необходимо при составленииуравнения моментов по участкам и интегрировании этого уравнения придерживаться следующих правил:751) начало координат необходимо выбирать общимдля всех участков в крайней левой (или правой)точке балки;2) все составляющие уравнения моментов на предыдущем участке должны сохраняться неизменными в уравнении моментов последующих участков;3) в случае обрыва распределенной нагрузки еепродлевают до конца балки, а для восстановлениядействительных условий нагружения вводят«компенсирующую» нагрузку обратного направления4) интегрировать уравнения на всех участках следует, не раскрывая скобок.Рассмотрим некоторый отрезок балки, нагруженной произвольной системой сил и моментов (реакции опор также представляем как внешние силы),и составим для нее уравнение моментов в произвольном сечении с соблюдением указанных правил:M ( x ) = F1 ⋅ x + F2 ⋅ ( x − aF2 )(x − a )+ q⋅q22+ M0 .Группируя подобные слагаемые, запишем данное уравнение в самом общемвиде:( x − aFi )1( x − aqi ) 20M ( x ) = ∑ M i ⋅ ( x − aM i ) + ∑ Fi ⋅+ ∑ qi ⋅.(11.4)12В формуле (11.4): aM, aF, aq – координаты точки приложения внешнего момента, силы или начало распределенной нагрузки.

Следует помнить, что сомножитель (x–a) должен быть всегда положительным, слагаемые с отрицательными значениями (x–a) отбрасываются.Здесь заметим, что сомножитель (x–aM)0 равен единице, но он необходим длясохранения подобия слагаемых при последующем интегрировании.Подставляя формулу (11.4) в выражения (11.2), можно записать универсальные уравнения для определения углов и прогибов балки при изгибе:1ϕ( x) =⋅ M ( x ) ⋅ dx + C1 ⇒E ⋅ Jz ∫1ϕ( x) =E ⋅ Jz⎡( x − aM i )1( x − aFi ) 2( x − aqi )3 ⎤⋅ ⎢∑ M i ⋅+ ∑ Fi ⋅+ ∑ qi ⋅⎥ + C1 ;11⋅ 22 ⋅ 3 ⎥⎦⎢⎣76y ( x) =1⋅ ϕ ( x ) ⋅ dx + C1 ⋅ x + D1 ⇒E ⋅ Jz ∫1y ( x) =E ⋅ Jz⎡( x − aM i ) 2( x − aFi )3( x − aqi ) 4 ⎤+ ∑ Fi+ ∑ qi⎢∑ M i⎥ + C1 x + D1 .⋅⋅⋅⋅2123234⎢⎣⎥⎦Покажем, что C1 и D1 являются единственными константами, причемC1 = ϕ ( x = 0 ) = ϕ0 ,D1 = y ( x = 0 ) = y0где ϕ0, y0 – угол поворота и прогиб балкив начале координат.Рассмотрим два участка балки, загруженной произвольной нагрузкой.

Составим для обоих участков универсальноеуравнение углов:⎡1x2x3 ⎤ϕI =⋅ ⎢ M 1 ⋅ x + F1 ⋅ + q ⋅⎥ + CI ,E ⋅ Jz ⎣22 ⋅ 3⎦1ϕII =E ⋅ Jz23⎡x − a) ⎤( x − a)(x2x3+q− q′⎢ M 1 ⋅ x + M 2 ( x − a ) + F1 + F2⎥ + CII .222323⋅⋅⎢⎣⎥⎦Для определения постоянных интегрирования CI и CII воспользуемся граничными условиями.

Тогда, при x=0 (из первого уравнения):ϕI=ϕ0=СI.Очевидно, что на границе участков (x=a) угол поворота должен быть одинаков, то есть при x=aдолжно быть ϕI(x=a)=ϕII(x=a):⎡1a2a3 ⎤ϕI ( x = a ) =⋅ ⎢ M 1 ⋅ a + F1 ⋅ + q ⋅⎥ + CI ,E ⋅ Jz ⎣22 ⋅ 3⎦1ϕII ( x = a ) =E ⋅ Jz⎡a2a3 ⎤⋅ ⎢ M 1 ⋅ a + F1 ⋅ + q ⋅⎥ + CII ,223⋅⎣⎦тогдаCI=CII=ϕ0.Проводя аналогичные рассуждения для уравнений, описывающих прогиббалки на двух соседних участках и на их границе, найдем, чтоDI=DII=y0.77Запишем окончательно универсальные уравнения метода начальных параметров:Q ( x ) = ∑ Fi + ∑ qi ⋅ ( x − aqi );M ( x ) = ∑ M i + ∑ Fi ⋅1ϕ ( x ) = ϕ0 + ϕ ш +E ⋅ Jz( x − aFi )11!+ ∑ qi ⋅( x − aqi ) 22!;⎡( x − aM i )1( x − aFi ) 2( x − aqi )3 ⎤⋅ ⎢∑ M i ⋅+ ∑ Fi ⋅+ ∑ qi ⋅⎥;1!2!3! ⎥⎦⎢⎣y ( x ) = y0 + ϕ0 x + ϕш ( x − aш ) +( x − aM i ) 2( x − aFi )3( x − aqi ) 4 ⎤1 ⎡++ ∑ Fi+ ∑ qi⎢∑ M i⎥.E ⋅ J z ⎣⎢2!3!4! ⎦⎥Величина ϕш – угол поворота в промежуточном(подвесном) шарнире, при этом aш – координаташарнира.Отметим, что при решении задач удобно записать универсальные уравнения сначала для наиболее удаленного от начала координат участка,тогда уравнения для предыдущих участков легкополучить, вычеркивая из полученного уравнениячлены, учитывающие нагрузку на последующихучастках.78.