lek_09 (Лекции в PDF)

Лекция № 9Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении,напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого поперечного сечения.9. ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. КРУЧЕНИЕ9.1. Определение внутренних усилий при крученииКручение – простой вид сопротивления (нагружения), прикотором на стержень действуют моменты в плоскостях,перпендикулярных к продольной оси стержня.Стержень, работающий на кручение, в дальнейшем будем называть в а л о м .Используя метод мысленных сечений (см.

рисунок), находим величину внутренних усилий, действующих в сечении вала при кручении. Очевидно, что в данном случае нагружения из шести уравнений равновесия, составленных для отсеченной части стержня относительно внешних сил и внутренних усилий,лишь одно не обращается тождественно вноль:∑ M x = 0 ⇒ M x = M кр .Таким образом, при кручении в произвольном поперечном сечении вала из шести внутренних силовых факторов возникает толькоодин – внутренний крутящий момент (Мx).9.2. Определение напряжений и деформаций при крученииВыведем формулу для определения касательных напряжений τ и найдем зависимость между углом закручивания ϕ и внутренним крутящим моментомМx. Данная задача применительно к валам круглого сечения может быть решена с помощью элементарного математического аппарата, если ввести соответствующие гипотезы, которые достаточно хорошо подтверждаются экспериментами.Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:1) сечения, плоские до деформации, остаютсяплоскими и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один итот же угол ϕ, то есть каждое сечение поворачивается относительно оси x как жесткий тонкий диск;573) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.Статическая сторона задачиЧтобы определить напряжения в поперечных сечениях стержня, рассмотрим, прежде всего, статическую сторону задачи.Поскольку крутящий момент Мx – единственный внутренний силовой факторв поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения,можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.В сечении вала выделим элементарную площадку dA нарасстоянии ρ от продольной оси (ось x) стержня.

При кручении на площадке dA, будут действовать касательные напряжения τ, которые создадут элементарный крутящиймомент dMx относительно оси x:dM x = τ ⋅ dA ⋅ρ .Тогда полный момент, возникающий во всем сечении,найдем какM x = ∫ τ ⋅ρ ⋅ dA ,(9.1)Aгде τ – касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dA,расположенной на произвольном расстоянии (радиусе) ρ от центра сечения.Перпендикулярность вектора касательных напряжений радиусу объясняетсяотсутствием на поверхности вала касательных напряжений, параллельныхего оси, и, соответственно (по закону парности касательных напряжений),отсутствием касательных напряжений вдоль радиуса.Как видим, задача является внутренне статически неопределимой (см.

лекцию № 4), так как неизвестен характер распределения касательных напряжений по сечению – τ(ρ)=?. В соответствии с общим планом решения статически неопределимых задач, рассмотрим геометрическую картину деформаций.Геометрическая сторона задачиРассмотрим деформацию элемента стержня (вала) длиной dx, выделенного иззакручиваемого стержня в произвольной точке с координатой x.Условно примем, что левое сечение элемента dx остается неподвижным, аправое поворачивается на угол dϕ, создаваемый за счет закручивания вала на58длине dx. Один из радиусов OB, оставаясь прямым, поворачивается вместе ссечением на угол dϕ, при этом точка B переходит в положение B1, а образующая CB – в положение CB1, поворачиваясь на угол γ – угол сдвига в этойточке вала.Длину дуги BB1 найдем из рассмотрения треугольников OBB1 и CBB1:∪ BB1 = ρ ⋅ d ϕ = γ ⋅ dx ⇒dϕγ = ρ⋅.dx(9.2)Физическая сторона задачиЗапишем закон Гука, связывающий касательные напряжения с углом сдвига(см.

лекцию № 9)(9.3)τ = G⋅γ.Математическая сторона задачиПодставим выражение (9.2) в формулу (9.3):dϕτ = ρ⋅G ⋅,(9.4)dxа полученное выражение (9.4) – в формулу (9.1):dϕ(9.5)M x = ∫ ρ2 ⋅ G ⋅⋅ dA .dxAТак как в выражении (9.5) величины G и dϕ/dx, в соответствии с принятымигипотезами, остаются постоянными по данному сечению, то их можно вынести за знак интеграла:dϕMx = G⋅⋅ ∫ ρ 2 ⋅ dA .dx AВеличинаJ ρ = ∫ ρ2 ⋅ dAAназывается полярным моментом инерции и является геометрической характеристикой данного сечения (см.

лекцию № 2).Таким образом, окончательно можем записатьdϕMx = G⋅⋅ Jρ ,(9.6)dx59или, подставляя (9.4) в (9.6),Mx =τ⋅ Jρ .ρВеличина касательных напряжений при кручении определяется следующимобразом:M ⋅ρτ= x .JρКак видим, касательные напряжения распределены по сечению вала по линейному закону и достигают максимальной величины на поверхности вала (при ρ=ρmax):M ⋅ρMτmax = x max = x ,JρWρгде Wρ=Jρ/ρmax – полярный момент сопротивления.Из формулы (9.6) легко найти и другие величины, характеризующие деформацию вала при кручении.Величинаθ=dϕdx(9.7)называется относительным (погонным) углом закручивания и имеет размерность рад/м.Используя выражение (9.6), найдем формулу для определения относительного угла закручивания:Mxθ=.(9.8)G ⋅ JρЗная формулы (9.7) и (9.8) для определения относительного угла закручивания, можно записать формулу для определения взаимного угла поворота двухсечений, расположенных на расстоянии l друг от друга:lMxϕ=∫⋅ dx .⋅GJρ0Если в пределах участка длиной l крутящий момент и геометрические характеристики сечения вала остаются постоянными, то угол закручивания можноопределить какM ⋅lϕ = θ⋅l = xG ⋅ Jρ609.3.

Напряженное состояние и виды разрушения при крученииИсследуем напряженное состояние при кручении.По закону парности касательных напряжений вдиаметральных сечениях вала возникают такие жекасательные напряжения, как и в поперечном сечении. При этом все остальные напряжения равнынулю, то есть при кручении возникает частныйслучай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг.Как было показано в лекции № 8, главные нормальные напряжения σ1 и σ3 при чистом сдвигепротивоположны по знаку, одинаковы по величине и в наиболее опасных точках (на поверхностивала) равны τmax:σ1 = τmax ,σ3 = −τmax .Кроме того известно, что главные напряжения причистом сдвиге действуют по линии (для цилиндрического образца – по винтовой линии), наклоненной к оси вала под углом 45о.Именно по этой линии, как показывают эксперименты, будут разрушатьсяхрупкие материалы (например, чугун), которые плохо сопротивляются растягивающим напряжениям.

Материалы, плохо сопротивляющиеся действиюкасательных напряжений, будут разрушаться в плоскостях действия наибольших касательных напряжений: например, в случае кручения деревянныхвалов с продольным расположением волокон трещины разрушения ориентированы вдоль образующей, а стальные валы в пластическом состоянии напрактике часто разрушаются по поперечному сечению, перпендикулярному коси вала.9.4. Расчеты на прочность и жесткость при крученииПри расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могутрешаться три задачи:а) проверочный расчет – проверить выдержит ли вал приложенную нагрузку;б) проектировочный расчет – определить размеры вала из условия его прочности;в) расчет по несущей способности – определить максимально допустимыйкрутящий момент.При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядокрасчета валов при кручении:611) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строятэпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого материала допускаемое напряжение [τ]=[σ]/2;3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при крученииM x maxτmax =≤ [ τ] .WρПроектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основеследующего соотношения:MWρ ≥ x .[ τ]Для сплошного круглого сечения Wρ = π ⋅ d 3 16 , отсюда можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его прочности:16 ⋅ M xd≥3.π ⋅ [ τ]Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткостьпо формулеMxθmax =≤ [ θ] ,G ⋅ Jρздесь [θ] – допустимый относительный угол закручивания вала.Если данное условие не выполняется, то необходимо выбрать размеры валаиз условия жесткости:Mx.Jρ ≥G ⋅ [ θ]Учитывая, что для сплошного круглого сечения J ρ = π ⋅ d 4 32 , можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его жесткости:32 ⋅ M xd≥4.G ⋅ π ⋅ [ θ]Окончательно выбирают диаметр d, удовлетворяющий условиям прочности ижесткости.62.