lek_08 (Лекции в PDF)

Лекция № 8Сдвиг элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений и деформаций при сдвиге. Понятие о чистом сдвиге. Закон Гука для сдвига. Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге. Расчеты на прочность.8. ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. СДВИГ8.1. Определение внутренних усилий при сдвигеКроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию № 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать д е ф о р м а ц и ю с д в и г а .Сдвиг – вид сопротивления, при котором стержень нагружендвумя равными силами (на малом расстоянии друг от друга),перпендикулярными к оси бруса и направленными в противоположные стороны.Примером такого действия сил на брус может быть разрезание ножницамипрутьев, деформация заклепок, болтов, сварных швов между металлическимилистами и т.

п. Вообще же на практике сдвиг в чистом виде получить трудно,так как обычно деформация сдвига сопровождается другими видами деформаций и чаще всего изгибом.Установим формулы для внутренних усилий, напряжений и деформаций, необходимые при расчетена сдвиг элементов конструкций, имеющих формубруса. Пусть известна внешняя нагрузка F, вызывающая сдвиг одной части бруса относительно другой. Используя метод мысленных сечений (см. рисунок), находим величину внутренних усилий, действующих в сечении бруса. Очевидно, что в данномслучае нагружения из шести уравнений равновесиялишь одно не обращается тождественно в ноль:∑ Fy = 0 ⇒ Qy = F .Таким образом, при сдвиге из шести внутреннихусилий (N, Qy, Qz, Mx, My, Mz) в сечении элементаконструкции возникают только одно – поперечнаясила (Qy или Qz).8.2.

Определение напряжений при сдвиге. Понятие о чистом сдвигеТак как поперечная сила Qy (или Qz) является единственным внутреннимусилием, возникающим в сечении стержня при сдвиге, и при этом она лежитв плоскости этого сечения, то и напряжения, возникающие здесь, должнылежать в плоскости сечения стержня. То есть при сдвиге в точках поперечного сечения стержня возникают только касательные напряжения τ.52В соответствии с определением (см. лекцию № 1), касательные напряжения τ,действующие в поперечном сечении (A) бруса, представляют собой интенсивность внутренних поперечных силdQτ=,dAисходя из чего можем записать (опуская соответствующие индексы):Q = ∫ τ ⋅ dA .AПри сдвиге условно считают, что касательные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения (τ=const), поэтомуQ = τ⋅ A.Тогда касательные напряжения при сдвиге определяются так:QFτ= ⇒τ= .AA(8.1)Рассмотрим характер напряженно-деформированного состояния, которое возникает в точках стержня при сдвиге.По закону парности касательных напряжений в продольных сечениях бруса, так же как и в его поперечных сечениях будут возникать только касательныенапряжения.

Тогда на гранях (параллельных соответствующим осям координат) бесконечно малого элемента, «вырезанного» в окрестности любой точкистержня при сдвиге, будут действовать только касательные напряжения τ. Такой случай напряженногосостояния называют ч и с т ы м с д в и г о м .Чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при ко-тором по граням прямоугольного элемента действуют только касательныенапряжения.Определим величину и направление главных напряжений при чистом сдвиге:σx + σ y 12σ1,3 =± ⋅ ( σ x − σ y ) + 4 ⋅ τ2xy ,22так как σx=σy=0, то можем записатьσ1 = τ xy ,σ3 = −τ xy .Направление главных площадок определяется углом α, который найдем поформуле2 ⋅ τ xytg2α = −,σx − σ yучитывая, что σx=σy=0,53tg2 ⋅ α = −∞ ⇒2⋅α = −π⇒2α=−π.4Как видим, при чистом сдвиге главные напряжения одинаковы по величине,противоположны по знаку (σ1=–σ3=τxy) и направлены под углом 45о к осистержня (третья главная площадка элемента совпадает с ненагруженной фасадной гранью элемента, следовательно σ2=0).8.3.

Определение деформаций и закон Гука при чистом сдвигеРассмотрим деформацию квадратного элемента при чистом сдвиге (см. рисунок).Поскольку по граням элемента не действуют нормальные напряжения, товдоль граней нет и удлинений. В то же время диагональ, совпадающая с направлением σ1, удлинится, а другая диагональ, совпадающая с направлениемсжимающего напряжения σ3, укоротится. В результате квадрат трансформируется в ромб без изменения длины граней. Таким образом, деформация чистого сдвига характеризуется изменением первоначально прямых углов.Более наглядное представление о деформации элемента при сдвиге можнополучить, закрепив одну из граней (см. рисунок).54Малый угол γxy, на который изменяется первоначально прямой угол элементапри сдвиге, называется углом сдвига или относительным сдвигом:γ xy = ∠BAB1 .Величину абсолютного смещения грани обозначают ∆s и называют абсолютным сдвигом.Из треугольника BAB1 следует, что∆stgγ xy =.aУчитывая малость угла, можно считать, чтоtgγ xy ≈ γ xy ,тогда окончательно запишем взаимосвязь между относительным и абсолютным сдвигом элемента∆sγ xy =.(8.2)aЗависимость между нагрузкой и деформацией при сдвиге можно проследить по так называемой д и а г р а м м е с д в и г а , которую получают обычно из опытов на кручение тонкостенных трубчатых образцов (в стенках которых, как увидим далее, также возникаетнапряженное состояние чистого сдвига).

Для пластичных материалов диаграмма сдвигааналогична диаграмме растяжения и имеет с ней одинаковые характерные участки, в томчисле и участок упругости.Рассматривая деформацию сдвига в пределах упругости, найдем, что междууглом сдвига γxy и касательными напряжениями τxy существует линейная зависимость, которая носит название закона Гука при сдвиге и может быть выражена следующими формулами:τ xyγ xy =, или τ xy = G ⋅ γ xy ,(8.3)Gгде G – коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости присдвиге или модулем упругости второго рода и является константой для данного материала. Модуль сдвига может быть определен аналитически, если известны величины модуляЮнга и коэффициента Пуассона:G=E.2 ⋅ (1 + µ )Заметим, что все рассмотренные характеристики упругости материала E, µ, G, K взаимосвязаны, однако в сопротивлении материалов и в теории упругости только две из них (чаще всего E и µ) принимаются независимыми.Подставляя выражения (8.1) и (8.2) в формулы (8.3), можно записать законГука при сдвиге и во «внешних формах» (через абсолютные деформации ивнутренние усилия):Q⋅a∆s =,G⋅ Aгде a – расстояние между сдвигаемыми гранями; A – площадь грани.55Удельную потенциальную энергию деформации (см.

лекцию № 6) при сдвигеопределим, учитывая, что σ1 = τ xy , σ3 = −τ xy , следующим образом:1u=⋅ ⎡⎣σ12 + σ 22 + σ32 − 2 ⋅µ ⋅ ( σ1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ3 + σ3 ⋅ σ1 ) ⎤⎦ ⇒2⋅ E2 ⋅ (1 + µ ) 2τ2.⋅τ =u=2⋅ E2⋅G8.4. Расчет на прочность и допускаемые напряжения при сдвигеПроверим прочность элемента, испытывающего деформацию чистого сдвига. Пусть касательные напряжения на гранях элемента максимальны и равны τmax, а допускаемое напряжение для материала при растяжении – [σ].Если для материала известна величина допускаемых касательных напряжений при сдвиге [τ], то условие прочности может быть записано в виде:Qτmax = max ≤ [ τ] .(8.4)AВеличина допускаемых напряжений [τ] зависит от свойств материала, характера нагрузки, типа элементов конструкции и для чистого сдвига определяется обычно по III теории прочности:σ эквIII ≤ [ σ] .Учитывая, что по III теории прочностиσэквIII = σ1 − σ3 ,а при чистом сдвигеможем записатьσ1 = −σ3 = τmax ,τmax − ( −τmax ) ≤ [ σ] ,илиτmax ≤[ σ] .2(8.5)Сравнивая выражения (8.4) и (8.5), заметим, что по III теории прочности[ σ][ τ] = .2Полученную величину допускаемых касательных напряжений [τ] используютпри расчетах на прочность деталей, испытывающих деформацию сдвига, всоответствии с условием прочности (8.4).56.