lek_07 (Лекции в PDF)

Лекция № 7Критерии (теории) прочности и пластичности. Задачи теорий прочности. Эквивалентныенапряжения. Расчеты на прочность по классическим теориям прочности.7. КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ7.1. Задачи теорий прочности. Эквивалентные напряженияВажнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности деталипо известному напряженному состоянию. Если напряженное состояние вэлементах сооружения является одноосным (линейным), то определение момента появления опасных деформаций или разрушения осуществляется достаточно просто путем сопоставления максимальных деформаций или напряжений в опасном сечении элемента конструкции с допускаемым.Рассмотрим вопрос о прочности материала при сложном напряженном состоянии (плоском или объемном).

В этом случае, как показывают опыты, дляодного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений в зависимости от соотношений между ними. Экспериментально найти величины этих предельныхнапряжений, как это делалось при растяжении-сжатии, не представляетсявозможным – число возможных сочетаний величины и направления главныхнапряжений при сложном напряженном состоянии бесконечно велико. Приходится вводить некоторый критерий прочности или пластичности – гипотезу (предположение) о преимущественном влиянии на прочность материалапри сложном напряженном состоянии того или иного фактора, который якобы и ответственен за возникновение опасного состояния материала.

Предельное же значение этого фактора, определяющего прочность (пластичность) материала, находят из обычных опытов на растяжение. Таким образом, введение критерия прочности позволяет перейти от сложного напряженного состояния к эквивалентному, равноопасному ему (с точки зрения прочности материала) простому одноосному растяжению.Введем понятие э к в и в а л е н т н о г о н а п р я ж е н и я .Эквивалентное напряжение (σэкв) – это напряжение, под действием которогоматериал в условиях простого растяжения-сжатия оказывается в равноопасном состоянии с рассматриваемым сложным напряженным состоянием.46Тогда, для того чтобы провести расчет на прочность при сложном напряженном состоянии, необходимо сначала «перейти» от сложного напряженногосостояния к простому растяжению, то есть, используя наиболее подходящийдля данного случая критерий прочности или пластичности, найти эквивалентное напряжение.

Затем необходимо сравнить это эквивалентное напряжение с допускаемым, найденным из опытов на растяжение:σэкв ≤ [ σ] .Основной же задачей при выработке критерия прочности оказывается правильный выбор основного фактора, влияющего на прочность материала присложном напряженном состоянии.7.2. Классические критерии прочности (теории прочности)I.

Критерий наибольших нормальных напряженийВ качестве первого критерия прочности, называемого обычно п е р в о йт е о р и е й п р о ч н о с т и , был принят критерий наибольших нормальныхнапряжений, в соответствии с которым причиной разрушения материала считались наибольшее (из трех главных) нормальное напряжение.Согласно этому критерию, разрушение материала при сложном напряженномсостоянии, как и при простом растяжении-сжатии, наступает от действиявсего лишь одного напряжения |σ|max, при этом действие двух других напряжений не учитывается.Таким образом, эквивалентные напряжения для пластичного материала будутравны наибольшему по модулю главному напряжению:σ эквI = σ max ,а условие прочности запишется следующим образом:σ эквI ≤ [ σ ] .Обратим внимание, что эквивалентные напряжения всегда положительная величина.Данная теория прочности в настоящее время практически не используется,так как она подтверждается экспериментами лишь для некоторых оченьхрупких материалов (камень, кирпич, керамика и т.

п.).47II. Критерий наибольших линейных деформацийСогласно в т о р о й т е о р и и п р о ч н о с т и , в качестве критерия прочностипринимают наибольшую по абсолютной величине линейную деформацию.Предполагается, что нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает, когда наибольшая линейная деформация достигает своегодопускаемого значения, то естьε max ≤ [ ε ] .При этом допускаемая деформация материала определяется при простом растяжении-сжатии.Используя обобщенный закон Гука, запишем данное условие прочности внапряжениях.

Пусть наибольшее относительное удлинение будет равно ε1,тогда1ε max = ε1 = ⋅ ⎡⎣σ1 − µ ⋅ ( σ 2 + σ3 ) ⎤⎦ .EДопускаемые деформации при растяжении-сжатии связаны с допускаемыминапряжениями также по закону Гука:[ σ][ε] = .EТаким образом, условие прочности можем записать в виде:σ1 − µ ⋅ ( σ2 + σ3 ) ≤ [ σ] .Эквивалентное напряжение в этом случаеσ эквII = σ1 − µ ⋅ ( σ 2 + σ3 ) ,а, окончательно, условие прочности:σ эквII ≤ [ σ] .Данная теория также в настоящее время редко применяется в инженернойпрактике, так как находит экспериментальное подтверждение лишь для некоторых хрупких материалов (легированный чугун, высокопрочная сталь).48III. Критерий наибольших касательных напряженийЗдесь в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой теории, предполагается, что предельноесостояние материала наступает, когда наибольшее касательное напряжениедостигает своего допускаемого значения, которое определяется из опытов нарастяжение-сжатие.

В этом случае условие прочности принимает вид:τmax ≤ [ τ] .Максимальные касательные напряжения при объемном напряженном состоянии определяются какσ − σ3τmax = 1,2тогда допускаемые касательные напряжения, определяемые при простом растяжении, можно найти следующим образом:[ σ][ τ] = .2Таким образом, окончательно, условие прочности по III теории прочностизапишем в виде:σ эквIII ≤ [ σ] ,где эквивалентное напряжениеσэквIII = σ1 − σ3 .Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов,одинаково работающих на растяжение и сжатие.

Недостаток ее заключается втом, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ2, которое, как показывают эксперименты, также оказывает, хотя и не значительное, влияние на прочность материалов.IV. Критерий удельной потенциальной энергии формоизмененияВ качестве критерия прочности в этом случае принимают количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда,когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего49предельного значения, которое определяется из опытов на простое растяжение-сжатие. Здесь условие прочности можно записать так:uф ≤ ⎡⎣uф ⎤⎦ .Запишем удельную потенциальную энергию формоизменения через главныенапряжения при объемном напряженном состоянии1+ µ ⎡222uф =⋅ ( σ1 − σ2 ) + ( σ 2 − σ3 ) + ( σ3 − σ1 ) ⎤⎦6⋅ E ⎣откуда при растяжении-сжатии1+ µ2⎡⎣uф ⎦⎤ =⋅ [ σ] .3⋅ EОтсюда, условие прочности, записанное через нормальные напряжения, примет видσ эквIV ≤ [ σ ] ,при этом эквивалентные напряжения будем определять по формуле:1 ⎡222σэквIV =⋅ ( σ1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ3 ) + ( σ3 − σ1 ) ⎤ .⎦2 ⎣Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

При этом четвертаятеория более точно, чем третья, описывает появление в материале малыхпластических деформаций. По сути дела эти две теории более правильно называть теориями пластичности.V. Теория МораСогласно теории Мора, два напряженных состояния равноопасны, если длясоответствующих двух главных напряжений ( σ1′ , σ′3 и σ1′′, σ′′3 ) соблюдаетсясоотношениеσ1′ − k ⋅ σ′3 = σ1′′ − k ⋅ σ′′3 .Отсюда вытекает формула для эквивалентного напряжения:σэквM = σ1 − k ⋅ σ3 .50Здесь коэффициент k представляет собой отношение предельных напряженийпри одноосном растяжении и при одноосном сжатии. Если принять, что коэффициенты запаса прочности по отношению к предельным напряжениямрастяжения и сжатия одинаковы, то k можно определить из выражения:[σ ]k= + .[ σ− ]Окончательно условие прочности по теории Мора запишется следующим образом[σ ]σ эквM = σ1 − + ⋅ σ3 ≤ [ σ + ] .[ σ− ]Теория прочности Мора позволяет установить сопротивление разрушениюматериалов, обладающих разными сопротивлениями растяжению и сжатию.Как видим, гипотеза Мора (как и III теория) не учитывает влияния промежуточного главного напряжения σ2 – это несомненный ее недостаток.

Опытыпоказывают, что достаточно точные результаты гипотеза Мора дает для напряженных состояний смешанного типа, то есть для тех случаев, когда σ1 иσ3 имеют разные знаки.Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую(или третью) теории прочности для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть для хрупких материалов(для них в настоящее время пока еще применяют и вторую теорию прочности).51.