lek_05 (Лекции в PDF)

Лекция № 5Теория напряженного состояния. Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения.Линейное, плоское и объемное напряженное состояние. Определение напряжений прилинейном и плоском напряженном состоянии. Решения прямой и обратной задач.5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадкиНапряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении.Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие приэтом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица поразному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в однойи той же точке напряжения различны по различным направлениям.В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос обопределении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они действуют, усложняется.

Для решения этого вопроса приходится специально исследовать законы изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих черезданную точку. Возникает проблема исследования н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я вточке деформируемого тела.Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующихпо всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.Исследуя напряженное состояние в даннойточке деформируемого тела, в ее окрестности выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которогонаправлены вдоль соответствующих координатных осей.

При действии на теловнешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными и касательными напряжениями –проекциями полных напряжений на координатные оси.Нормальные напряжения обозначают буквой σ синдексом, соответствующим нормали к площадке,на которой они действуют. Касательные напряжения обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, авторой – направлению самого напряжения (или наоборот).Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного вокрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:32⎛ σx⎜Tσ = ⎜ τ yx⎜⎝ τ zxτ xyσyτ zyτ xz ⎞⎟τ yz ⎟ .σ z ⎠⎟Эта совокупность напряжений называется т е н з о р о м н а п р я ж е н и й .Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть еслиизвестен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой изплощадок, проходящих через данную точку (заметим, что т е н з о р представляет собойособый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осейподчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорноеисчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллелепипеда, независимые (несвязанные друг с другом).

В этом легко убедится,составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относительно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действующих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходеот одной грани к другой ей параллельной, получим, чтоτ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy .Данные равенства называют з а к о н о м п а р н о с т и к а с а т е л ь н ы х н а пряжений.Закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикуляр-ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны между собой.В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множествовзаимно перпендикулярных площадок.

В том числе можно найти и такиеплощадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют г л а в н ы м и(более точно–площадки главных напряжений).Главные площадки – три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно-сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главнымплощадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают своиэкстремальные значения – максимум σ1, минимум σ3 и минимакс σ2 (σ1 ≥σ2 ≥σ3).

Тензорнапряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:⎛ σ1 0Tσ = ⎜⎜ 0 σ 2⎜0 0⎝330⎞0 ⎟⎟ .σ3 ⎟⎠В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестностиданной точки, различают три вида напряженного состояния:1) линейное (одноосное) – если одно главное напряжение отлично от нуля, адва других равны нулю ( σ1 ≠ 0, σ2 = 0, σ3 = 0 );2) плоское (двухосное) – если два главных напряжения отличны от нуля, аодно равно нулю ( σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 = 0 );3) объемное (трехосное) – если все три главных напряжения отличны от нуля( σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 ≠ 0 ).5.2. Напряжения на наклонных площадках при линейном напряженном состоянииЭлементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрестности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда – при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.Рассмотрим стержень, испытывающий простоерастяжение. Нормальные напряжения в его поперечных сечениях определяются следующимобразом:NF.σ0 ==A0 A0Касательные напряжения здесь равны нулю.Следовательно, эти сечения являются главнымиплощадками (σ1=σ0).Перейдем теперь к определению напряжений нанеглавных, наклонных площадках.

Выделимплощадку, нормаль к которой составляет с осьюстержня угол α. Проведенную таким образомнаклонную площадку будем обозначать α-площадкой, а действующие на ней полные, нормальные и касательные напряжения – pα, σα, ταсоответственно. При этом площадь α-площадки(Aα) связана с площадью поперечного сечениястержня (A0) следующим образом:Aα = A 0 cos α .Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений.Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросимодну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осе34вая сила (N) в сечении представляет собой равнодействующую полных напряжений pα. Следовательно,N = pα ⋅ Aα .ОтсюдаNNpα ==⋅ cos α = σ0 ⋅ cos α .Aα A0Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное напряжение на нормаль и плоскость α-площадки соответственно:σα = pα ⋅ cos α;τα = pα ⋅ sin α,или, учитывая, что pα = σ0 ⋅ cos ασα = σ0 ⋅ cos 2 α;τα =σ0⋅ sin 2α.2Из анализа формул видно, что1) при α=0 в поперечных сечениях стержня τα=0, σα=σ0 (σ1=σ0, σ2=0, σ3=0);2) при α=π/2 в поперечных сечениях стержня τα=0, σα=0;3) при α=±π/4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные напряжения τα= τmax= σ0/2 (нормальные напряжения σα= σ0/2).5.3.

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянииПлоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложномсопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного состояния.Определим напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии. Рассмотрим элементарный параллелепипед, грани которого являются главнымиплощадками. По ним действуют положительные напряжения σ1 и σ2, а третье главное напряжение σ3=0.Проведем сечение, нормаль к которому повернута на угол α от большего из двух главных напряжений (σ1) против часовой стрелки (положительное направление α).

Напряжения σα и τα на этой площадке будут вызываться как действием σ1, так идействием σ2.Запишем п р а в и л а з н а к о в . Будем считать положительными следующие направлениянапряжений и углов: нормальные напряжения σ – растягивающие; касательные напряжения τ – вращающие элемент по часовой стрелке; угол α – против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α≤45o).35Плоское напряженное состояние может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух ортогональных(взаимноперпендикулярных) одноосных напряженныхсостояний.

При этом:σα = σ′α + σ′′α ,τα = τ′α + τ′′α ,где σ′α , τ′α – напряжения, вызванные действием σ1;σ′′α , τ′′α – напряжения, вызванные действием σ2.Напряжения при одноосном напряженном состоянии (отдействия σ1) связаны между собой какσ′α = σ1 ⋅ cos 2 α;σ1⋅ sin 2α.2Напряжения σ′′α , τ′′α , вызванные действием σ2, можно найти аналогично, нопри этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо подставить угол β= − ( 90o − α ) – угол между α-площадкой и напряжением σ2.τ′α =Отсюда получимσ′′α = σ2 ⋅ cos 2 ⎡⎣ − ( 90o − α ) ⎤⎦ ⇒τ′′α =σ2⋅ sin 2 ⋅ ⎡⎣ − ( 90o − α ) ⎤⎦ ⇒2Окончательно можем записатьσα = σ1 ⋅ cos 2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α =σ′′α = σ2 ⋅ sin 2 α;τ′′α = −σ2⋅ sin 2α.2σ1 + σ 2 σ1 − σ2+⋅ cos 2α;22(5.1)σ1σσ − σ2⋅ sin 2α − 2 ⋅ sin 2α = 1⋅ sin 2α.222На площадке, перпендикулярной данной, значения напряжений можно найтииз этих же формул, подставляя вместо угла α величину угла β= − ( 90o − α ) :τα =σβ = σ1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α =σ1 − σ 2 σ1 + σ 2+⋅ cos 2α;22σσσ − σ2τβ = − 1 ⋅ sin 2α + 2 ⋅ sin 2α = − 1⋅ sin 2α.222(5.2)Если сложить левые и правые части выражений для напряжений на α- и β-площадках, получим следующие равенства:1) σα + σβ = σ1 + σ 2 , из которого следует, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина и н в а р и а н т н а я , то есть не зависитот поворота площадки.362) τα=–τβ, которое еще раз указывает на закон парности касательных напряжений (знак«минус» связан с вышеприведенным правилом знаков для касательных напряжений).Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2) относительно напряжений σ1 и σ2,получим выражения для определения г л а в н ы х н а п р я ж е н и й п р ип л о с к о м н а п р я ж е н н о м с о с т о я н и и по известным напряжениям напроизвольных взаимноперпендикулярных площадках:σ + σβ 12(5.3)σmax = α± ⋅ ( σα − σβ ) + 4 ⋅ τα2 .22minОбозначения главных напряжений σmax, σmin здесь оправданы тем, что одно из трех главных напряжений равно нулю.Н а п р а в л е н и е г л а в н ы х п л о щ а д о к найдем, исключая из выражений(5.1), (5.2) величины σ1, σ2 и решая полученное уравнение относительноугла α:2 ⋅ ταtg2α = −.(5.4)σα − σβЗадачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут даваться впрямой и обратной постановке.П р я м а я з а д а ч а .

В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом α кглавным (аналитическое решение прямой задачи дается формулами (5.1) и(5.2)).О б р а т н а я з а д а ч а . В точке известны нормальные и касательные напря-жения, действующие по двум взаимно перпендикулярным произвольнымплощадкам, проходящим через данную точку; требуется найти направлениеглавных площадок и главные напряжения (аналитическое решение обратнойзадачи дается формулами (5.3) и (5.4)).Отметим, что именно о б р а т н а я з а д а ч а оказывается наиболее распространенной всопротивлении материалов, так как наиболее часто удается определить (теоретически илиэкспериментально) нормальные и касательные напряжения (σα, τα, σβ, τβ) на некоторыхпроизвольных площадках.

Затем по этим данным требуется найти положение главныхплощадок и величину главных напряжений, по которым и производится дальнейший расчет на прочность.37.